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菲爾茲獎得主阿克沙伊?文卡特什（Akshay Venkatesh）對AI時代的數(shù)學重塑的哲學思考。

作者：阿克沙伊?文卡特什

（Akshay Venkatesh，普林斯頓高等研究院，2025-12-31）

即將發(fā)表于2026年《M×Φ 數(shù)學與哲學年鑒》第1期

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2026-4-17

摘要

本文將對當代數(shù)學實踐的反思與自動化如何重塑數(shù)學的討論相結合。我推測數(shù)學的概念語言可能經(jīng)歷劇烈重構，并以歷史案例為參照展開分析。

關鍵詞：自動推理；數(shù)學概念；同構異態(tài)（cryptomorphism）；數(shù)學心理學；數(shù)學現(xiàn)代主義

1. 引言

機械推理不僅會改變我們做數(shù)學的方式，更會改變數(shù)學本身是什么；這一問題必須由數(shù)學從業(yè)者與社會共同重新探討。為審視這一問題，我更傾向于聚焦人而非技術，嘗試從我們思考數(shù)學的方式而非其符號外殼去理解數(shù)學。

秉持這一寬泛理念，我將討論與數(shù)學自動化相關的若干主題：

• 第 2 節(jié)：機械化與形式化帶來的若干爭議；

• 第 3 節(jié)：推理機器可能如何改變數(shù)學的概念語言；

• 第 4 節(jié)：概念語言過往變遷的若干案例；

• 第 5 節(jié)：關于數(shù)學與社會關系的若干思考。

本文是我在哈佛大學首場阿爾福斯（Ahlfors）講座《推理機器時代的（重新）想象數(shù)學》的擴展文稿，部分術語適配當時聽眾：文中 “數(shù)學” 僅指純數(shù)學，“我們” 指代該領域的研究者與學生。

2. 機器中的幽靈

要思考我們的未來，就必須理解我們?yōu)楹我霎斚滤鲋�；為此，我們需要更深入地鉆研自身的歷史。

19世紀末至20世紀初，數(shù)學界彌漫著普遍的不安情緒（關于這一氛圍的討論，參見格雷的文獻 [27]）。非歐幾何的發(fā)現(xiàn)、我們的直覺無法預判各類病態(tài)函數(shù)、無窮集合引發(fā)的悖論 —— 這一切都表明，數(shù)學這門學科或許出現(xiàn)了嚴重問題。

學界對這些擔憂的回應，即所謂的基礎危機，塑造了現(xiàn)代數(shù)學�？梢哉f，數(shù)學經(jīng)歷了一次 “焦慮發(fā)作”，并試圖通過自我機械化來做出回應。

2.1 形式主義與基礎危機

希爾伯特1899年的《幾何基礎》對歐氏幾何進行公理化，極大提升了形式公理化方法在基礎與元數(shù)學問題研究中的地位。布盧門撒爾（Blumenthal）轉述希爾伯特（Hilbert）的一句俏皮話：

我們必須能夠用桌子、椅子、啤酒杯來替代點、直線、平面。

這句話道出了其核心精神（希爾伯特本人對此的觀點是微妙而復雜的。更深入的討論參見文獻 [16]。），且更大程度上契合了它所啟發(fā)的后續(xù)工作（見 2.2 節(jié)）。

換言之，若我們對幾何的模糊思考導致謬誤，便可通過切斷數(shù)學與危險幾何直覺的關聯(lián)來糾正方向。實踐中，這種切斷通過強制外化思維過程實現(xiàn)（克拉克（Clark）與錢伯斯（Chambers）提出的延展心智論題[12]，為外化這一概念提供了頗具啟發(fā)性的哲學視角。）：用可按規(guī)則操作的書寫符號替代直觀對象。如此實現(xiàn)的數(shù)學具有機械屬性；龐加萊（Poincaré）在對希爾伯特著作的評論 [42,44] 中已設想將公理輸入 “邏輯機器”—— 早在1900年，執(zhí)行數(shù)學推理的自動機構想便已存在。

龐加萊這里提到的是杰文斯（S. Jevons）的 “邏輯鋼琴”—— 這是一臺在1870年代制造的、用于解決邏輯難題的機器；巴貝奇（Babbage）則在1820年代造出了他的差分機；而17世紀寫成的《格列佛游記》，甚至早已構想過這樣一種機器：“哪怕最無知的人，只要支付合理的費用，再付出一點點體力勞動，就能在無需天賦、無需學識的情況下，寫出哲學、詩歌、政治、法律、數(shù)學和神學方面的著作……”

但這其中存在深刻張力：即便我們變得更像機器，這臺機器仍被人類創(chuàng)造者相互沖突的追求所縈繞。為說明這一點，我將分析對希爾伯特著作的兩種回應。

2.2 公設分析

一個略顯尷尬的事實是：我其實并不確切知道群、環(huán)、理想、域等概念的公理定義（該要求左逆、右逆，還是二者兼具？是否必須相同？）。授課時本該給出準確定義，我通常的做法是構想若干正例與反例，不斷補充性質，直至邊界清晰。每次結果略有不同 —— 同一結構本就存在多種公理化方式。

希爾伯特的著作在美國引發(fā)了對這一問題的系統(tǒng)性研究，即范?弗利克（Van Vleck）所描述的 “對幾何、代數(shù)、算術乃至力學的公理系統(tǒng)展開系統(tǒng)性探究”，常被稱作公設分析。例如：

• 1902年，愛德華?亨廷頓（Edward Huntington，現(xiàn)代數(shù)學家或許對這個名字并不熟悉。他畢生擔任哈佛大學工程學教授，還曾出任MAA美國數(shù)學協(xié)會主席。他的一項數(shù)學貢獻影響深遠：美國國會當前使用的政治席位分配方案，正是基于他與約瑟夫?希爾（Joseph Hill）共同設計的一套體系。）

• 給出群的三條公理表述，不久又補充四條公理版本；

• 稍后，伊萊亞金?穆爾（E liakam Moore ）給出 “從群論角度非常理想” 的五條公理版本；

• 1905年，倫納德?迪克森（ Leonard Dickson ）給出另一版四條公理。

每位作者都嚴謹驗證每條公理獨立于其余公理。此類研究還拓展至多種數(shù)學結構，參與數(shù)學家包括西奧多?希爾德布蘭特（Theodor Hildebrandt）、奧斯瓦爾德?維布倫（Oswald Veblen）、R.L. 穆爾（R. L. Moore），以及后續(xù)的喬治?伯克霍夫（George Birkhof）、諾伯特?維納（Norbert Wiener）等知名學者 [5,46]。

公設分析的表面特征常被融入數(shù)學潛意識。例如，亨廷頓在布爾代數(shù)公理化中使用帶圈符號⊕、?、⊙替代常規(guī) +、<、?，他解釋道：

圈形符號足夠陌生，提醒我們它們是未定義符號，除公設明確陳述外無其他性質；同時圈內(nèi)的 +、?、 <能讓我們以最小心理成本采用最有用的解釋。[32, p.292]< pan>

這種雙重用途符號反映了本質張力：導致我們犯錯的思維過程，同樣讓我們高效思考；相應地，數(shù)學家始終在直觀世界與形式世界之間的奇特中間地帶探索。

亨廷頓面向非數(shù)學讀者對公設分析的描述 [33] 極具啟發(fā)性。他清晰區(qū)分了公設的邊界與人類因素的介入：

我剛才提到的定理18便是例證。在我們所討論的論域中，類 K 內(nèi)的基本符號僅有 X 和′，但該定理包含新符號 ∨，通過定義引入系統(tǒng)：a∨b=(a′b′)′。問題隨即出現(xiàn)：為何有人想到引入這一定義？為何這一基本符號組合 (a′b′)′被視為極具特殊意義，值得單獨命名？數(shù)學本身無法給出答案，這一問題本屬于哲學范疇 —— 歸根結底，任何抽象演繹理論的構建都是人類主動行為的產(chǎn)物。

這種人類因素不僅介入定義，也介入問題：

例如定理18，一旦提出 “a (b∨c) 等于什么”，公設只允許唯一答案 “ab∨ac”。但公設并未要求我們必須提出這個問題。問題的源頭必須在比公設更深的領域尋找，即人類意志的領域。

同樣介入公設本身的選擇：

作為任何系統(tǒng)基礎的公設，構成該系統(tǒng)在其論域內(nèi)的定義；選擇某一定義而非另一定義作為討論對象，同樣是人類意志的體現(xiàn)。

換言之，外化并未消除人類因素，只是將其隱于無形；按亨廷頓的說法，對人類因素的研究 “本屬于哲學”。

現(xiàn)代（即基礎危機之后的）數(shù)學界，數(shù)學家關于這種人類維度的討論大多私下進行、不見出版物。但這類討論從未消失，并在緊張時期更為凸顯 （近期的例子包括：《美國數(shù)學會公報》第50期專刊，該期專門探討機器數(shù)學相關問題；以及瑟斯頓（Thurston）的論文 [48]，這篇文章是針對物理啟發(fā)式數(shù)學帶來的若干挑戰(zhàn)而撰寫的。）；基礎危機也不例外。

2.3 數(shù)學的心理學基礎

前文已提及龐加萊對希爾伯特的評論及其對邏輯機器的援引。龐加萊認可希爾伯特成就的意義，但同時表達了與亨廷頓高度相似的觀點：

給定一列命題，他發(fā)現(xiàn)所有命題均可從第一個邏輯推出。但他并不關心第一個命題的基礎及其心理起源。[44, p.22]

我們可以想象用椅子替代點，但真這么做會顯得荒謬 —— 如此表述的幾何根本無法理解。點、直線、平面的語言與桌子、椅子、啤酒杯的語言在形式上等價，但心理上絕不等價。

龐加萊不認為應摒棄心理學考量，這并非個例。菲利克斯?克萊因（Felix Klein）1912年開設了關于數(shù)學思維心理學基礎的完整研討班；L.E.J. 布勞威爾（L. E. J. Brouwer，他亦創(chuàng)造 “形式主義” 一詞）的直覺主義，深刻關注數(shù)學在人類經(jīng)驗與判斷中的起源：

…… 形式主義者希望將心理學家的任務留給從諸多可自洽發(fā)展的符號語言中篩選 “真正數(shù)學” 語言的工作…… 解釋我們?yōu)楹闻懦饽切┰试S命題既真又假的所謂矛盾系統(tǒng)，這并非數(shù)學家的任務，而是心理學家的任務。[11, pp.56,58]

恩里克斯（Enriques）在1912年ICM國際數(shù)學家大會演講中，將基礎危機定位為數(shù)學原理批判史的最新階段。他寫道：

若從歷史視角審視科學與批判得出這一結論，邏輯數(shù)學實用主義遠非開啟一個近乎隨心所欲、無限增殖奇幻構造的時代，反而讓研究對自身目標有了更高自覺；另一方面，通過純化邏輯，它證明了邏輯的局限性，以及深化其他心理要素的必要性 —— 正是這些要素賦予數(shù)學構造意義與價值。[24, 第 IX 節(jié)]

形式語言與數(shù)學實踐之間的錯位（例如我?guī)缀醪淮_切知道任何研究對象的精確公理），一直是數(shù)學家的不安來源；對替代基礎的探索延續(xù)至今。在我看來，這種探索反映了我們對結構與人類主觀經(jīng)驗相匹配的形式語言的渴望。例如，我們可能希望一種語言，其中符號 Q 在論證中的出現(xiàn)次數(shù)能忠實反映人類理解該論證的難度。在我看來，創(chuàng)造一種能真正追蹤數(shù)學思維的形式語言，本質上就是構建我們大腦部分功能的形式模型；理解這種語言等同于理解我們自身的思維過程。

2.4 公設分析的第二次生命

以亨廷頓工作為代表的公設分析（針對特定結構研究特定公理系統(tǒng)）在1930年左右逐漸式微。另一方面，更寬泛的公理結構理論被數(shù)學主流接納，例如模型論與邏輯學；相關思想在計算機科學的知識基礎中扮演關鍵角色。因此，二十年后電子計算機的出現(xiàn)讓該領域復興并延續(xù)至今（事實上，公設分析與當今數(shù)學形式化的趨勢之間，或許存在許多值得比較的有趣之處。例如，可參見阿維加德（Avigad）關于 “形式轉向” 的綜述 [3]，以及麥克貝斯（Macbeth）對 “傳統(tǒng)數(shù)學” 與 “形式化數(shù)學” 之間風格差異的討論 [38]。感謝亞歷克斯?康托羅維奇（Alex Kontorovich）就此問題帶來的富有啟發(fā)性的討論，以及為我指引的相關文獻。）—— 按其設計初衷，公設分析的問題本就比人類更適配機器。

事實上，若公設分析可由機器完成，為何不將推理規(guī)則（允許我們從一行推導至下一行的方法）也適配機器？約翰?羅賓遜（John Robinson）1965年的重要論文提出這一觀點：

傳統(tǒng)上，出于實用與心理原因，演繹單步推理要求足夠簡單，大體上可被人類單次智力活動判定為正確�！� 當執(zhí)行推理原則的主體是現(xiàn)代計算機器時，對推理原則復雜度的傳統(tǒng)限制便不再適用。[45, p.23]

羅賓遜與美國阿貢（Argonne）國家實驗室數(shù)十年的定理證明軟件項目密切相關，他的 “面向機器的邏輯” 對該項目發(fā)展至關重要——自動定理證明先驅、該項目長期負責人拉里?沃斯（Larry Wos）在一篇未公開專欄中寫道：

“…… 阿貢國家實驗室應用數(shù)學系主任威廉?F?米勒（William F. Miller）邀請了約翰?艾倫?羅賓遜（John Alan Robinson）。米勒將羅賓遜介紹給了我和丹?卡森（Dan Carson）。這次結緣對后來被稱為自動推理的領域產(chǎn)生了難以估量的影響。 羅賓遜在訪問阿貢實驗室期間，提出了他新的推理規(guī)則，他稱之為二元歸結法。二元歸結推理規(guī)則的提出，永遠改變了自動推理領域的歷史走向�！�

但這一轉變付出了代價。阿貢實驗室開發(fā)的軟件包 OTTER 被麥庫恩（McCune）用于證明如下命題 [41, 定理 1]：

滿足等式 x?(y?(((z?z?1)?(u?y)?1)?x))?1 = u （1）的二元運算 x?y 與一元運算 x?x?1， 即為群結構的乘法與逆運算。

這是群的單公理定義！——這并非首個單公理定義；希格曼（Higman）與諾伊曼（Neumann）早在1952年就在沒有計算機的情況下，給出了群所對應的二元運算 x,y ? xy?1 的單公理刻畫。完整列表可參見麥丘恩（McCune）的綜述文獻 [41]。以下是該等式約三十行機械證明的前三行 —— 你能看出每一步如何推導到下一步嗎？

x · (y · (((z · z?1) · (u.y)?1) · x))?1 = u ? x·((((y·y?1)·(z·u)?1)·(v·v?1))·(z· x))?1 = u ?(x·((y·(z·z?1))·(u·x))?1)=(((v·v?1)·(y·u)?1)·(w·w?1)) ?...

我絕不可能在課程中使用這種定義。同類案例比比皆是。這類證明可拆分為更小、更易理解的步驟，但會引發(fā)另一個問題：長度失控。

由此可見，機械證明并未摒棄心理因素。若機器要提供我們能理解、感興趣的證明，它必然（無論通過設計還是其他方式）反映那些如恩里克斯所說 “賦予數(shù)學意義與價值” 的心理層面。

3. 數(shù)學的概念基礎

正如我們所見，數(shù)學的形式化描述 —— 某種程度上正是出于設計目的 ——極難解讀。我們反而用一種介于自然語言與形式語言之間的表述來講述數(shù)學，它的詞匯由一系列專門術語構成，我將其非正式地統(tǒng)稱為概念：

光滑函數(shù)、微分、模算術、群、向量空間、希爾伯特空間、流形、度量、李群、同倫、索伯列夫空間、非黎曼超方（non-Riemannian hypersquare）等等。

概念兼具交流功能與認知功能。它們是記錄和表達我們思維過程的精簡方式，同時也是思維過程本身的一部分。就像亨廷頓所說的 “符號組合” 一樣，什么是概念、什么不是概念，很大程度上是人類的選擇。這些選擇在未來會如何改變？

3.1 概念的概念

歸根結底，我討論概念的目的是探究數(shù)學的心理表征。如2.3節(jié)所述，這一問題極為復雜，或許無法以人類可理解的方式有效呈現(xiàn)；相應地，我不得不對 “概念” 的精確含義保持尷尬的模糊 —— 以案例而非定義展開，不嚴格區(qū)分微分（過程）、模算術（理論）、群（公理化數(shù)學實體）等。

盡管如此，幾句非字面、非形式的導向性說明或有助于澄清我的意圖。我們可將概念想象為組織數(shù)學思想的樹狀節(jié)點（布爾巴基在數(shù)學理論組織與關聯(lián)中提出過類似圖景 [10]）。這棵樹的最上層位于自然語言世界，下層概念通過上層概念定義，僅被越來越小的群體理解。

例如，模 m 整數(shù)是 “公差為 m 的無窮等差數(shù)列”；希爾伯特空間是 “實 / 復向量空間 V 及其上的雙線性函數(shù)滿足……”。此處 “等差數(shù)列”“向量空間”“雙線性函數(shù)” 是更上層、更通用的概念，至少 “等差數(shù)列” 可被小學生理解。

我想強調(diào)的是：這棵概念樹與自然語言一樣，是活的有機體，隨時代、環(huán)境與文化自適應演變。

3.2 人類與機器對概念的不同使用

近期，DeepMind 的 AlphaProof 軟件 [31] 給出如下問題的解答：

求所有正整數(shù) a,b，使得對充分大的 n，a?+b 與 b?+a 的最大公約數(shù)與 n 無關。

答案僅可能是 a=b=1。我將對比（不展開細節(jié)）我與 AlphaProof 的解題思路。

看到這類問題，我的專業(yè)訓練讓我本能采用數(shù)論通用策略：將整數(shù)算術替換為模素數(shù)算術。對滿足條件的 a,b，固定素數(shù) p，考察模 p 方程：

a? ≡ ?b 且 b? ≡ ?a （mod p） （2）

若 n 滿足該方程，則 p 整除 gcd (a?+b, b?+a)。因此，若 a,b 滿足要求，上述方程要么對所有充分大的 n 成立，要么對所有充分大的 n 不成立。

模 p 算術的優(yōu)勢在于可應用常規(guī)高中代數(shù)工具；本例中，我通過取對數(shù)與代數(shù)運算分析方程，發(fā)現(xiàn)當 ab ≡ ?1（mod p）時會出現(xiàn)矛盾（即 p 整除 ab+1）。

要理解這一情形為何重要，我們用 α、β、π 分別表示 a、b、?1 的離散對數(shù)。原方程可改寫為： nα = β + π nβ = α + π 將第一個方程乘以 β，第二個方程乘以 α，可得：β2 + πβ = α2 + πα 也就是說，二次函數(shù) x2 + πx 在 x=α 和 x=β 處取值相等。根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性，這一等式成立的充分條件是：α + β = ?π 即等價于：ab ≡ ?1 (mod p)

對奇素數(shù) p，這一分析快速導出矛盾，故 ab+1 必為 2 的冪，再通過模 4 論證排除這一可能。

AlphaProof 呢？它直接猜測考慮模 ab+1 算術是有用的。沒人知道原因 —— 或許它嘗試了多種模約簡，尋找最簡化問題的方式。我不明白，將人類思維隱喻套用在機器上或許也無意義。

對素數(shù)乘積 pqr… 取模，本質等價于分別對 p,q,r… 取模；因此，模 ab+1 運算相當于同時對 ab+1 的所有素因子取模。從某種意義上說，AlphaProof 將我并行處理的論證（對每個 p 單獨分析）整合為一體。對訓練有素的數(shù)論學家而言，兩種視角不難轉換，但二者之間仍存在足夠大的心理距離，值得深入探究。

3.3 概念與思維經(jīng)濟性

面對新問題，我已形成本能反應：將整數(shù)算術替換為模素數(shù) p 算術，即數(shù)論術語中的 “模 p 約簡”。這一過程心理高效，節(jié)省時間與記憶空間，可適用于大量數(shù)論問題，無需記憶多種領域專用技巧；模素數(shù)算術還能復用小學階段熟悉的智力結構（加減乘除、對數(shù)）與相關直覺。

AlphaProof 在心理空間與時間上的限制與我完全不同，模素數(shù)約簡未必適配其限制。它確實使用了模算術，但通常針對合數(shù)模（即 ab+1）。合數(shù)模算術保留部分常規(guī)算術（加減乘），但丟失另一部分（除法、對數(shù)）

事實上，在我最初的論證中，恰恰在這一點上犯了錯誤：證明過程需要同時對 p 取模 和對 p?1 取模，而我在腦中混淆了二者，在不合法的情況下強行使用了模 p?1 除法。 所以，正如我們之前討論過的其他例子一樣：讓模算術變得直觀易懂的特性，也正是讓它變得危險的特性。我直到為這篇文章動筆時，才發(fā)現(xiàn)這個錯誤。

—— 這對我造成一定心理壓力，而 AlphaProof 的類似壓力仍待研究。

由此可見，模素數(shù) p 算術（即 p 元有限域）之所以成為數(shù)學宇宙的突出特征，正是因為它適配人類心理。高斯早已注意到模算術對現(xiàn)有心理結構的有效類比，他引入≡符號作為 = 符號的變體：

我們采用這一符號，是因為相等與同余之間存在類比。出于同樣原因，勒讓德在我們常引用的論著中對相等與同余使用同一符號。為避免歧義，我們做了區(qū)分。[25, §1]

對比亨廷頓的符號：一個額外的圈、一道橫線，便分隔了形式與直觀。

我再舉一例強調(diào)類比在概念中的作用。分析中常用函數(shù)希爾伯特空間（如 L2(R)）或更特殊的索伯列夫空間（Sobolev spaces），常見如下論證：

若 ||f?g||_{L2} ≤1 且 ||g?h||_{L2} ≤1， 則 ||f?h||_{L2} ≤2； 若取等號，則 g=(f+h)/2。

當然，你可以寫出所有定義、硬算不等式完成證明，難度不大。但希爾伯特空間將 “接近” 概念打包，無需每次重寫定義，且幾乎完美匹配我們對空間中點的幾何直覺，讓最終結論顯而易見，而非與積分苦戰(zhàn)。

由此可見，我們的心理、空間直覺，被編碼進承載復雜數(shù)學的概念中 —— 即便表面看似無幾何屬性的數(shù)學（如上述不等式）。

3.4 概念與交流

概念不僅對思考不可或缺，對分享思想也至關重要 —— 瓦爾德豪森（Waldhausen）曾精彩闡述：

論文的第一部分是一切基礎，或許因全程使用抽象語言而略顯嚇人。這很遺憾，但別無選擇。抽象語言的目的并非追求極致一般性，而是簡化證明，甚至讓某些證明得以被理解。建議讀者做個測試：取定理 2.2.1（最極端案例），將完整證明翻譯成不使用抽象語言的版本，再嘗試傳達給他人。[52, p.318]

數(shù)學交流需要構建格外穩(wěn)固的共享心理圖像（這甚至可被視為數(shù)學的定義性特征，見5.1節(jié)）。適配交流的概念未必適配思考，反之亦然；對某類聽眾有效的概念，對另一類可能失效。

例如，我近期論文[7]的核心概念之一是 “超球面簇”（hyperspherical variety），通過五條公理引入。精確定義在此無關緊要，關鍵是：在提出公理前，我們已完成該理論的大部分內(nèi)容。替代公理的是大量 “超球面簇” 案例、可生成新案例的操作集合、以及任何案例應滿足的性質列表 —— 這對理論構建已足夠有效。

一個概念在非形式化的狀態(tài)下長期存在，這絕非個例。

在梳理有限維向量空間的歷史時，格雷（Gray）寫道：

向量空間這個概念，很可能只是眾多例子中的一個 —— 數(shù)學家們早已使用多年，卻渾然不覺，或者說，并不需要知道它的存在。我們可以隨手舉出其他例子：半群在積分方程理論中早已被長期使用，甚至群也是如此。

對我們的思考而言，這些案例、操作與性質的混合體構成可用概念。我們本可將其轉化為形式定義，但很難傳達給不共享數(shù)學背景的外人。抽象的五條公理表述更不直觀，但更適配向匿名讀者交流。

類似評論適用于2.2節(jié)的討論。我對 “群” 的認知是案例、性質與圖像的混合體，而非公理。盡管這種混合體是高效思考工具，卻無法清晰交流；而公理可在幾分鐘內(nèi)向數(shù)學背景有限的本科生完整解釋。公理如同孢子：緊湊、自洽、完整，卻無生命，僅通過聽眾的心理努力被激活。

相比之下，對話的往復能讓說話者與聽眾達成共享心理圖像，即便單獨表述相當模糊。這有時允許使用更貼近思維過程的概念。在這一點及其他方面，數(shù)學的口頭文化與書面文化差異巨大，值得更細致研究。

3.5 概念與機器

斯蒂芬妮?迪克（Stephanie Dick）研究過數(shù)學家與 AURA（2.4節(jié)提及的OTTER前身）的交互：

在某種意義上，阿貢團隊用 AURA 完成傳統(tǒng)數(shù)學家面對新問題時常做的初步 “草稿工作”：嘗試多種情形、構造案例、尋找模式或有用類比，以指導證明思路。然而，將這部分工作外包給 AURA，從根本上改變了人類獲得的洞見類型 —— 所得洞見不再關于當前數(shù)學問題，而是關于計算機程序的行為。[22, p.502]

與機器交互改變了我們的思考與行為。未來，它將如何影響我們對概念的選擇？

概念將一組數(shù)學思想打包，讓我們能以單一單元吸收或傳遞，常復用現(xiàn)有直覺與心理能力，從而讓復雜論證適配我們有限的大腦，降低認知負荷；用馬赫（Mach）的老式說法，即實現(xiàn)思維經(jīng)濟性。

但機器（即便不算特別智能）也能幫我們實現(xiàn)思維經(jīng)濟性。機器與概念因此競爭相似功能，一方的可用性會改變另一方的使用方式。當機器能執(zhí)行數(shù)論或分析中的常規(guī)證明時，模素數(shù)約簡、將幾何直覺遷移到泛函分析的需求可能減弱。

值得注意的是，數(shù)學家已用 “工具 / 機制（machinery）” 描述某類概念；這類概念常組織一系列冗長但常規(guī)的計算，例如，弗蘭克?亞當斯（Frank Adams）在1971年的著作中，于題為“工具與機制（Machinery）” 的章節(jié)開頭給出了如下定義 [2，第2章]：

本章的目的是更詳細地考察1.7節(jié)中提到的研究方案……要完整實施這一方案所需要的定義、定理與證明整套體系，需要投入巨大的智力成本，這對不直接從事相關研究的人來說可能望而生畏。不少讀者或許還記得自己當初面對譜序列、層論，或是如今他們最常用的工具時，也曾有過同樣的感受。我們該慶幸自己不是研究代數(shù)幾何的。拓撲學家通常把這套體系稱作“工具 / 機制（machinery）”。

而使用時無需了解全部內(nèi)部細節(jié)（馬凱Marquis [39] 將這類工具與其他科學中的技術使用類比，這一對比值得進一步研究）。

將這類計算外包給機器，不僅會影響這套 “機制”，還會影響與之交互的各類次級概念，以此類推。以我個人為例，論文 [1] 的附錄構建了精細的概念框架，只為判斷單個符號的正負；我喜歡這個框架，但如果機器能完成，我們便無需付出這番努力。

概念仍會幫助我們彼此交流，但未來，它們還會幫助我們與機器交流—— 這必將改變我們對概念的價值判斷。正如我們花費時間設計提示詞、優(yōu)化搜索查詢以對接機械過程，我們也可期待概念被重新設計與優(yōu)化。

在我看來，機械推理很可能觸發(fā)數(shù)學語言與概念系統(tǒng)的徹底重構，以至于當代數(shù)學家與不久的未來數(shù)學家可能幾乎無法相互理解，至少需要付出巨大努力。這類重構在歷史上已發(fā)生多次，下文將展開討論。

4. 同構異態(tài)（Cryptomorphism）

我在上一節(jié)中提出，機器可能會導致我們的數(shù)學概念體系被徹底改寫。這樣的例子其實有很多：就像同一個故事可以通過不同角色的視角講出完全不同的味道，對同一段數(shù)學的兩種描述可以在形式上等價，但在心理認知上截然不同。這種現(xiàn)象有時被稱為同構異態(tài)（cryptomorphism），這個詞最初由伯克霍夫（Birkhoff）提出 [6, VI §11]，用來描述我們在2.2節(jié)已經(jīng)提到的現(xiàn)象：同一個數(shù)學結構可以有多種公理化方式。

伯克霍夫致力于對代數(shù)結構進行分類。他將代數(shù)結構公理化為由集合 S 與一族運算 f?:S?? → S（其中 n? 為不同整數(shù)）組成的系統(tǒng)。那么，兩個這樣的結構何時才算 “相同”？

雖然存在一個直觀的等價概念，但它并不完全令人滿意。例如，群可以通過兩種運算公理化：二元運算 x,y ? xy?1 與一元運算 x ? x?1；也可以僅用單一運算x,y ? xy?1 來公理化；還可以用許多其他方式。

正如伯克霍夫所言：

一個更為棘手的復雜性在于：同一個抽象代數(shù)結構，往往可以用多種彼此非多項式同構的方式來定義。

伯克霍夫接著給出定義：非正式地說，如果每個 f 都能用 g 表示，且每個 g 也能用 f 表示，那么結構 (S,f?,…,f?) 與 (S,g?,…,g?) 就是同構異態(tài)（cryptomorphic）的。

盡管伯克霍夫給出了形式定義，但我希望更靈活地理解同構異態(tài)：它指兩套都成立的數(shù)學命題體系之間可以相互翻譯，但它們在心智中的表征完全不同。作為區(qū)分標準，我們可以找這樣的問題：它能用兩種 “語言” 中的任意一種表述，但不同語言會引導出完全不同的解法；或者更通俗地說：在一種語言里看起來很自然的問題，翻譯成另一種語言后是否依然自然。

有些同構異態(tài)可以用數(shù)學語言精確刻畫 —— 比如射影幾何中的對偶性，或者任何有意義的范疇等價。但我更關心的是難以用簡單數(shù)學公式刻畫的同構異態(tài)：比如有些命題無法翻譯，有些命題則有多種翻譯。

在展示來自數(shù)學研究的例子之前，我們先用一個更直觀、更視覺化的例子來理解這個概念�？聪旅孢@張圖：

你可以把它理解成：(i)堆疊的立方體；或者(ii)用12個菱形拼成的正六邊形鋪砌（即密鋪、鑲嵌，菱形有三種朝向，用陰影區(qū)分）。

我們不難在 “鋪砌” 和 “立方體堆疊” 這兩類數(shù)學命題之間建立翻譯關系。但顯而易見的是，兩者在心智中的表征截然不同，會引導出完全不同的自然問題和解題思路。由于這種轉換非常具有沖擊力，這個例子在數(shù)學文獻中被廣泛研究，例如 [17, 49]。

本節(jié)我會給出四個例子。它們并非要直接說明機器如何做數(shù)學，而是為了表明：未來數(shù)學家之間彼此無法理解，是完全可能發(fā)生的事，并把 “同構異態(tài)” 提升為數(shù)學哲學中一個值得關注的重要話題。

本節(jié)比其他章節(jié)需要更多的數(shù)學背景，但我希望即使沒有專業(yè)基礎，也能抓住核心意思。

4.1 20世紀代數(shù)學的重構

20世紀代數(shù)學及相鄰代數(shù)幾何領域，連續(xù)重構成為常態(tài)。韋伯（Weber）與戈爾丹（Gordan）的視角強調(diào)代數(shù)學的算法與方程層面 —— 韋伯甚至將橢圓函數(shù)理論納入《代數(shù)學教程》Lehrbuchder Algebra，我們將在4.2節(jié)回到這一點（關于《代數(shù)學教程》中所呈現(xiàn)的代數(shù)學的更多討論，可參見科里（Corry）的文獻 [15]。）。

這一代數(shù)觀被諾特（Noether）的結構視角取代，隨后在布爾巴基（Bourbaki）、艾倫伯格–麥克萊恩（Eilenberg–MacLane）、格羅滕迪克（Grothendieck）的相繼影響下經(jīng)歷進一步重構�，F(xiàn)代，高階范疇語言再次重塑該領域的部分內(nèi)容。

如今我們或許已難以體會這些變革帶來的迷茫，以及它們在多大程度上是對過往內(nèi)容的重寫。前人的幾段引文可作說明：

安德烈?韋伊（André Weil）1944年在《代數(shù)幾何基礎》序言中寫道 [54]：

當然，每位數(shù)學家都有權使用自己的語言 —— 哪怕冒著不被理解的風險；我們同時代人對這一權利的行使，幾乎讓人擔心數(shù)學會重蹈巴別塔的覆轍。

結合上下文來看，韋伊的這段引文十分耐人尋味：畢竟，他的著作本身就是對代數(shù)幾何語言的一次重新梳理。對此，奧斯卡?扎里斯基（Oscar Zariski） 評價道：

“作者以歷史連續(xù)性為依據(jù)，為自己的研究方法辯護…… 但我們的前輩們即便能看到書中對原有理論的完善與補全，也幾乎不可能從韋伊的著作里，認出那個他們所熟知的理論體系�！�

馬塔克（Mattuck）1957年評謝瓦萊（Chevalley）的代數(shù)學著作時更為尖銳：

老一輩以直觀方式學會這些思想，使其適配思考，卻以嚴謹思維之名，不加任何解釋地將這套構造強加給年輕一代，這實在不公平……[40, p.416]

芒福德（Mumford，其導師扎里斯基Zariski是格羅滕迪克前一代學者）回憶另一輪轉型：

令人驚嘆的是，各類定理在每一代都以不同語言重新表述。扎里斯基與塞爾（Serre）實際上在做同一件事，但使用的語言完全不同。[43, p.103]

這些變革發(fā)生很久后，翻譯需求依然存在；我的斯坦福同事布萊恩?康拉德（Brian Conrad）有力地指出：

盡管韋伊對代數(shù)幾何發(fā)展作用重大，但沒人應再讀韋伊的《代數(shù)幾何基礎》；EGA 必須成為該學科的充分邏輯起點。因此，若某重要、有趣或有用定理的已發(fā)表證明本質上使用格羅滕迪克前方法，導致后代（或我）無法理解，而我需要理解該定理為何正確并找出概型論證明，我會嘗試整理成文。[13]

4.2 模函數(shù)

如前所述，韋伯《代數(shù)學教程》第三卷 [53] 專門討論橢圓函數(shù)理論，與代數(shù)主題有豐富關聯(lián)：一般五次方程無法用根式求解，但可用橢圓函數(shù)求解。

橢圓模函數(shù)（elliptic modular function）可定義為洛朗級數(shù)（Laurent series）：

∑_{m=m?}^∞ a? q? （0<|q|<1 收斂） （3）

在坐標 q=e^{2πiz} 下，關于 z??1/z 對稱。事實上，所有此類函數(shù)均可表示為一個特別重要的例子 j 的有理函數(shù)，j 的級數(shù)展開為：

j = q?1 + 744 + 196884 q + …

j 是現(xiàn)代大多數(shù)表述的標準對象，但韋伯對其重視程度低得驚人。相反，他頻繁使用一套晦澀的 “2 級” 函數(shù) f、f?、f?，由 j 在有限歧義下確定 ——f?、?f??、?f??是方程

((x3?16)/x)3=j （4）

的根。

這迫使一系列恒等式成立，例如：

f?f?f?=√2，f?=f??+f?? （5）

每個橢圓模函數(shù)均可由 f 表示，但 f 本身并非嚴格意義上的模函數(shù)，其變換規(guī)律更復雜。因此，j 為橢圓模函數(shù)理論提供了更優(yōu)雅的基礎。那韋伯為何使用更繁瑣、冗余的基？

該理論中的眾多代數(shù)奇跡之一是：若 Φ 是任意橢圓模函數(shù)且系數(shù) a?為有理數(shù)，則 Φ 在任意二次無理數(shù) z 處取代數(shù)值（即 z=a+i√b，a,b 為有理數(shù)）。這是復數(shù)乘法理論，19世紀數(shù)學的瑰寶，或許也是我進入數(shù)論的原因。

這一結論對 f 同樣成立，且f 的取值遠簡單于 j。例如，韋伯給出表格：f 在√?11、√?19、√?43、√?67、√?163 處的值分別為多項式

x3?2x2+2x?2, x3?2x?2, x3?2x2?2, x3?2x2?2x?2, x3?6x2+4x?2 （6）

的根；而 j 在√?11 處的值是一個復雜方程

x3 ?1122662608x2 +270413882112x ?653249011576832 = 0

的根，且情況愈發(fā)糟糕。

對現(xiàn)代計算機而言，這一區(qū)別意義不大；但對韋伯（大量手工計算）來說，f 相較于 j 的優(yōu)勢顯而易見。

從 j 表述到 f 表述的翻譯看似微小，不配稱作同構異態(tài)，但它在數(shù)論發(fā)展中扮演關鍵角色。1952年，高中教師黑格納（Kurt Heegner）解決高斯的類數(shù) 1 問題（即尋找所有 j(z) 為有理數(shù)的二次無理數(shù) z）。黑格納充分利用韋伯的函數(shù)： f (z)2 滿足簡單三次方程與由 (4) 導出的第二個方程之間的張力。

黑格納（Heegner）指出，對于特定的整數(shù) A、B，函數(shù) f(z)2 滿足如下形式的三次方程：y3+2Ay2+2By=2

將其與式 (4) 對比后，他推導出等式：(B?2A2)2=2A(A3+1)

該方程關于 (A,B) 的解僅有以下六組：

(0,0), (1,0), (?1,2), (2,2), (1,4), (2,14)

至少在我看來，這一方法的精神與韋伯高度一致：不聚焦單一不變量 j，而是研究更豐富的 f 集合，并利用它們之間的相互關系�，F(xiàn)代 “黑格納點” 理論可視為這一視角的延伸 [8, §3, §4]。

黑格納的證明在他生前被數(shù)學界忽視，直到其他證明出現(xiàn)后，其論證才被認定基本有效。韋伯著作的不精確性、黑格納的圈外人身份，都導致其證明被駁回；但或許另一個原因是：韋伯的直白風格已過時。然而，正是韋伯的直白風格讓他使用 f，而 f 之間的關系被黑格納高效利用。

4.3 純線性代數(shù)與應用線性代數(shù)

我曾在陽光明媚的斯坦福校園與同事杰克?波爾森（Jack Poulson，數(shù)值線性代數(shù)專家）有過如下對話：

“我說，我不喜歡你們純數(shù)學家教特征值的方式�！� “怎么了？” “通過求特征多項式根來求特征值，這很荒謬。給我一個多項式讓我求根，我會構造以該多項式為特征多項式的矩陣，再用 QR 算法！”

杰克的評論體現(xiàn)了不同群體對線性代數(shù)的不同路徑。QR 算法得名于矩陣分解：將一般方陣 A 分解為

A=QR，Q 正交，R 上三角。 （7）

這類矩陣分解為諸多線性代數(shù)問題提供工具。

矩陣分解并非我線性代數(shù)教育的一部分（至少無系統(tǒng)講解）；總體而言，純數(shù)學家對其重視程度較低。然而，大多數(shù)標準矩陣分解等價于我在線性代數(shù)中以其他形式遇到的現(xiàn)象或定理。例如，我將 QR 分解視為格拉姆–施密特（Gram–Schmidt）正交化定理的一部分：

給定實希爾伯特空間 V 的基 e?,…,e?，存在標準正交基 q?,…,q?，使得對每個 j，e?,…,e?與 q?,…,q?張成相同空間（特別地，存在 V 的一個正交基）。

這等價于 QR 分解：取 V=R?，將 e?,…,e?作為矩陣 A 的列，q?,…,q?作為矩陣 Q 的列，則 A=QR，R 為上三角矩陣。

經(jīng)驗豐富后，QR 分解與格拉姆–施密特正交化之間的翻譯耗時不長，但二者側重點不同，引導不同思路。QR 算法本身便是例證：迭代過程 A=QR→A′=RQ，在一般性假設下，A 收斂至上三角形式，對角線元素即為 A 的特征值。

這是數(shù)值分析的絕對基礎事實，提供了數(shù)值穩(wěn)定的特征值計算方法，如杰克所言，可用于諸多其他問題。在我看來，QR 算法也是純數(shù)學的非凡成果，具有豐富的內(nèi)部代數(shù)結構，與托達可積系統(tǒng)密切相關 [47]。但純數(shù)學家并未發(fā)現(xiàn) QR 算法，且據(jù)我非正式調(diào)查，我們中很少有人了解它。

我們構建線性代數(shù)的方式讓純數(shù)學家甚至難以想到它：我們用存在性定理與基構造表述 QR 分解，而 QR→RQ 迭代在這種語言中幾乎無意義。

下表列出其他標準矩陣分解及我遇到它們的場景：除第一個外，我均在線性代數(shù)課中隱性接觸，在李群 / 代數(shù)群理論中顯性接觸 —— 并非作為矩陣特征，而是作為約化李群 / 約化代數(shù)群的性質。

矩陣分解

線性代數(shù)

李群 / 代數(shù)群

i.

A=XΛX?1

Λ 對角

A 對稱

X 正交

標準正交特征基存在性

極大環(huán)面共軛性

ii.

A=QR

R 三角

隱性：

格拉姆–施密特正交化

巖澤分解

iii.

SVD：A=UΣV

U,V 正交

Σ 對角

隱性：

二次型同時對角化

嘉當分解

iv.

PA=LU

P 置換

L 下三角

U 上三角

隱性：

行約簡

布呂阿分解

面向純數(shù)學家的線性代數(shù)講解，比面向數(shù)值分析家的講解更不強調(diào)矩陣分解。兩個領域在適當?shù)囊话阈耘c適用性水平上做出了不同選擇。

純數(shù)學家的線性代數(shù)方法關注在任意域上成立的運算（即允許加減乘除的標量概念）；特定于實標量的線性代數(shù)思想可能被視為過于專門化，進而被轉移到其他領域（如實李群理論）。相比之下，數(shù)值分析家主要關注在實標量上成立且數(shù)值穩(wěn)定的運算，因此通常更強調(diào)奇異值分解而非特征值分解。

不難想象兩個領域做出不同選擇，這很可能導致線性代數(shù)的不同概念化。

例如，純數(shù)學家可能會關注那些在一般環(huán)或除環(huán)上均成立的運算；而應用數(shù)學家則可能會尋求這樣的運算 —— 它們并非能抵御矩陣元素的微小擾動，而是能抵御少量元素的擾動（這一點在計算機科學領域中已得到實際應用）。

4.4 計算、概念與超幾何函數(shù)

純線性代數(shù)與應用線性代數(shù)的更本質區(qū)別在于：純方法中，矩陣根本不是主要對象，只是計算工具；純數(shù)學家眼中更基礎的對象是抽象得多的向量空間之間的線性變換，矩陣 “只是” 該對象的表示。

將算法概念替換為更抽象概念，是現(xiàn)代數(shù)學的典型特征。然而，有限維向量空間的語言（對矩陣與向量的算法語言進行概念打包）在純數(shù)學之外的領域基本未獲接受。

更普遍地說，無論抽象概念多么優(yōu)雅，算法形式有時更有機、更持久—— 德馬澤（Demazure）在消去理論中雄辯地闡述了這一點：

但對象是頑固的，顯式方法不斷重現(xiàn)。一項計算總是比特定時期局限它的理論框架更具一般性。二次方程求解起源于巴比倫泥板（引入歷史上第一個判別式），重現(xiàn)于二次型平方分解、勒讓德–高斯最小二乘法、格拉姆–施密特正交化……[21, p.336]

感謝詹姆斯?帕森（James Parson）提醒我關注德馬雷（Demazure）的這篇論文。該論文原文（法文）寫道：

“然而，研究對象往往執(zhí)拗不屈，顯式方法亦會不斷重現(xiàn)。一項計算的普適性，總是超越特定時期內(nèi)人們?yōu)槠湓O定的理論框架。源自巴比倫泥板的二次方程求解法（它也開創(chuàng)了歷史上首個判別式的應用），此后又相繼在二次型的平方分解、勒讓德 - 高斯最小二乘法、格拉姆 - 施密特正交化等理論中重煥生機……”

復雜計算有時像體力勞動：手與紙執(zhí)行思考，而非大腦。用概念框架替代這一過程，是試圖將過程內(nèi)化，讓手工計算可被認知與交流。然而，這與形式主義的沖動恰好相反—— 形式主義追求外化，將數(shù)學思維從大腦轉移到紙或機器。這是一種奇特的張力。

換言之：結果的計算性呈現(xiàn)本身已是形式主義表述，即按定義的推理規(guī)則逐步處理。數(shù)學家常選擇更精細的編碼：先將計算性表述替換為概念性表述，再將概念性表述重鑄于公理化框架。

特殊函數(shù)是計算被抽象替代的有趣案例。至少在純數(shù)學中，它們大多被邊緣化，但在諸多當代理論中仍可見其影子。為說明這一點，我們來看歐拉與高斯的神奇超幾何函數(shù)：

?F?(a,b;c;z) = ∑[(a)?(b)?/((c)?n!)] z? (a)?=a(a+1)…(a+n?1)

它參與大量優(yōu)美恒等式，如今很少被講授（我從未在任何課程中遇到，實屬遺憾�。�，但這些恒等式仍通過仍在講授的主題以不同方式被保留，原因在于：

(a) 在表示論中，?F?提供了 SL?(R) 群不可約表示的坐標顯式寫法，是維連金（Vilenkin）倡導的視角特例 [51]；

(b) ?F?滿足的微分方程僅涉及 z 與 d/dz 的多項式，使其可被引入純代數(shù)領域，催生超幾何 D - 模理論及其更代數(shù)化身 —— 超幾何層，卡茨（Katz）對此有深入研究 [34]。

針對這一例子，卡茨（Katz）這樣描述其推導過程：

“我們的核心發(fā)現(xiàn)是：從形式上看，該積分是函數(shù)f(x):=x???(1?x)????1與函數(shù)g(x):=x?a的加法卷積。隨后，我們將 f(x) 視為剛性局部系統(tǒng)的具體表現(xiàn)，將 g(x) 視為乘法群 G? 上庫默爾層（Kummer sheaf）的具體表現(xiàn)，并嘗試構造這兩類對象的加法卷積。從某種意義上說，我們?nèi)珪膬?nèi)容，正是先為這一思路建立嚴謹?shù)睦碚摶A，再加以充分運用�！�

我做過一個類似4.3節(jié)的練習：將?F?的標準恒等式列表，嘗試翻譯成更抽象的 (a)(b) 語言。結果發(fā)現(xiàn)，(a)(b) 確實能自然清晰地解釋部分公式，但 —— 呼應德馬澤的評論 ——無法解釋全部。事實上，部分公式根本不適合任一框架。

下表中 “？？” 表示我無法立即從給定視角 “自然” 推導出指定公式。最有趣的條目或許是最后一個：海涅（Heine）等人發(fā)現(xiàn)，超幾何級數(shù)理論整體可進行q-形變—— 系統(tǒng)修改項以引入額外參數(shù) q，使諸多恒等式保持有效。這一形變在表示論語境（量子群）中很晚才被發(fā)現(xiàn)，在代數(shù)幾何語境中仍未完全清晰（大概率與 q-形變德拉姆上同調(diào)（de Rham cohomology）相關）。

?F?(a,b;c,z) 性質 / 表達式表示論代數(shù)幾何

在 z=1 處的取值：

?F?(a,b;c,1)= Γ ( c ) Γ ( c ? a ? b )/( Γ ( c ? a ) Γ ( c ? b ))

矩陣系數(shù)的漸近性

滿足 、 、 的函數(shù)方程

平移函子

底層局部系統(tǒng)的剛性

∫?1 t??1(1- t)????1(1?zt)?? dt

（基礎）

計算

（中間層）

卷積

梅林 - 巴恩斯積分表示：

z?/(2πi)∫Γ(a+s)Γ(b+s)Γ(?s)/ Γ ( c + s ) d s

對偶

連分數(shù)

克勞森恒等式：

?F?2=?F?

局部系統(tǒng)的對稱平方

z 的代數(shù)變換

貝利（Belyi）映射

微分方程：

z(1?z)F′′+(c?(a+b+1)z)F′?abF=0

卡西米爾（Casimir）算子

平坦聯(lián)絡

q-形變：?φ?

量子群

q-形變德拉姆上同調(diào)（？）

這些主題觸及現(xiàn)代理論的最深處，卻與早于現(xiàn)代數(shù)學的符號恒等式呈現(xiàn)深刻平行。

4.5 數(shù)學在數(shù)學中的不合理有效性

一組新概念可從另一組概念演化而來，但上述案例揭示了更非凡的現(xiàn)象：數(shù)學家講述的故事一次次意外碰撞，戴維?科菲爾德（David Corfield）稱之為 “數(shù)學在數(shù)學中的不合理有效性”[14]。

此類案例不勝枚舉，我僅列舉幾個我最關注的：

• 戴德金（ Dedekind ）與韋伯（ Weber） [19] 發(fā)現(xiàn)理想與環(huán)擴張語言是重寫黎曼曲面理論的合適工具；

• 艾倫伯格（ Eilenberg ）與麥克萊恩（ Maclane）的合作 [23] 源于代數(shù)與拓撲計算的巧合；

• 緊連通李群成對出現(xiàn)的現(xiàn)象，被數(shù)學家 [36] 與物理學家 [26] 獨立發(fā)現(xiàn)，兩個相隔甚遠領域的成果后來被證實相關 [35]；

• 關于高范疇論與拓撲學的近期融合，約翰?貝茲（ John Baez ）有一段令人難忘的描述：

• 這有點像爬山，借助繩索與裝備翻越陡峭懸崖，卻在山頂發(fā)現(xiàn)假日酒店，意識到另一側有四車道高速公路直通山頂。[4]

我們該如何理解這些近乎奇跡的巧合？它們是否揭示了世界的統(tǒng)一性、數(shù)學文化的互聯(lián)性，或我們自身心智的局限性？我更愿意得出如下啟示：

做數(shù)學的本質之一，就是用一千種語言講述同一個故事。

5. 向外眺望

在自動推理的時代，人們對數(shù)學的概念圖景可以有許多種構想。我們究竟選擇哪一種，在很大程度上取決于我們希望數(shù)學成為什么樣子。

人們常常默認我們對此答案已有共識。但我并不這么認為；即便真有共識，每一代人也都需要重新思考這個問題。然而，數(shù)學家不能孤立地思考它，我們必須與周遭世界對話，并且是重新對話。我將以此相關的幾點思考作為本文的結尾。

5.1 戴維斯–赫爾希（Davis–Hersh）論題

思考數(shù)學的人類角色時，我發(fā)現(xiàn)戴維斯與赫爾希提出的以下論題非常有用：

對具有可復現(xiàn)性質的心智對象的研究，稱為數(shù)學。[18, p.399]

當然，其他人也提出過類似思想；戴維斯與赫爾希的表述格外簡潔。

這意味著什么？故事在人與人之間傳遞會改變，詞語對不同人意義略有不同，每次傳遞都會變化。但數(shù)學的交流幾乎不受此類改變影響。若我描述 “直角” 概念，你可能忘記，但不太可能以輕微錯誤的方式記住 —— 直角概念是剛性的。圍繞這一論題的精彩數(shù)學討論可參見博羅維克（Borovik） [9]。

我們可以從多方面提出質疑：“心智對象” 未能充分解釋外化思維（如書寫計算）的作用，也無法闡明同構異態(tài)現(xiàn)象（即不同可復現(xiàn)心智對象之間的意外關聯(lián)）�？蓮同F(xiàn)性存在程度差異；音樂、詩歌等活動也具有強可復現(xiàn)特征。我們不能忘記，可復現(xiàn)心智對象的構成受巨大文化影響 —— 想想為讓大腦適應數(shù)學所依賴的字母與數(shù)字，需要付出多么驚人的努力。

但戴維斯–赫爾希論題有兩個本質特征，使其特別適配本文目的：它將數(shù)學定位為人類活動（心智對象）與社會活動（可復現(xiàn)性質）。這為理解數(shù)學在人類文化中的角色提供了便利框架。

可復現(xiàn)心智結構提供心理確定性與審美滿足，支持精確交流與科學理解，調(diào)解共識 —— 即便在智能機器無處不在的時代，這些功能仍可能持續(xù)存在。

例如，若科學是對自然可復現(xiàn)性質的研究，那么順理成章（即便略顯草率）的結論是：科學的心智模型必然是可復現(xiàn)的認知對象，從這一視角看，同義反復地屬于數(shù)學。同樣明顯的是，心智可復現(xiàn)性與調(diào)解共識相關，并在一定程度上強制達成共識 —— 這種共識可視為現(xiàn)代文化中知識廣泛數(shù)學化的基礎。

算術事實是我們所有人必須認同的，無需了解其解釋；我們都認同珠穆朗瑪峰是世界最高峰，因為它的高度大于所有其他山峰，但我們很少追問山峰高度究竟測量的是什么。

數(shù)學與共識之間的關聯(lián)是雙向的。勞埃德（Lloyd）在其著作的第3章 [37] 中，探討了古希臘時期證明概念與政治、法律領域中說服需求二者間的關系。

5.2 重視交流

廣義上的數(shù)學扮演著基本的人類角色。但數(shù)學越高深，與這些人類功能的聯(lián)系就越脆弱。

第3節(jié)提及的概念（希爾伯特空間、環(huán)等）確實具備心智可復現(xiàn)特征，但其復現(xiàn)需要巨大努力，僅存在于連接自然語言與現(xiàn)代純數(shù)學語言的龐大訓練與教育基礎設施中；這一基礎設施的持續(xù)存在并非理所當然。

數(shù)學語言與自然語言的分離，是更廣泛主題的一部分 —— 數(shù)學作為智識傳統(tǒng)與更廣泛學術文化話語的分離。這是歷史學家杰里米?格雷（Jeremy Gray）所稱的數(shù)學 “現(xiàn)代主義轉型” 的一部分：

此處，現(xiàn)代主義被定義為自主的思想體系，幾乎無外部指涉，高度強調(diào)工作的形式層面，與日常世界保持復雜（甚至焦慮）而非樸素的關系……[28, §1.1.1]

數(shù)學作為自主研究領域的發(fā)展，讓我們得以探究極致復雜的結構，達到若 總被社會問責便永遠無法企及的深度。但這付出了極高代價。

當我們越來越遺忘人類思想的其他領域（包括人文、藝術與科學），我們也對自身產(chǎn)生漸進式失憶：丟失了幫助我們理解自身工作 “價值與意義” 的敘事。

當然，大多數(shù)數(shù)學家認同做數(shù)學有某種特別之處，否則我們不會選擇這條路；我們將其視為具有內(nèi)在意義的活動，無需外部認可。但我們在狹窄同行圈之外分享這一體驗的能力已減弱，這一損失也屬于我們。

盡管存在這一鴻溝，歸根結底，我們的數(shù)學仍是更廣泛文化的仆人。它是個體與集體思考的工具，僅在保持有用性的前提下存續(xù)。雖然我們與知識、學術的關系必將被自動推理改變（正如很久以前被書寫改變），獨立與共同思考的需求絲毫未減。數(shù)學在其中必然扮演角色，但我們不能想當然地認為這一角色與過去相同。

因此，當數(shù)學家思考未來時，我們對學科發(fā)展方向的思考不能止步于自身領域邊界。相反，我們需要與領域外的智識世界開展更嚴肅的對話；為此，我們需要將交流重新置于數(shù)學觀念的核心。

正如戴維斯與赫爾希雄辯地指出：可交流性并非數(shù)學的附屬品，而是其定義的一部分。

6. 致謝

感謝哈佛大學數(shù)學系的盛情款待，感謝講座聽眾對我另類選題的積極參與。

感謝斯蒂芬妮?迪克（Stephanie Dick）關于自動化與數(shù)學史的有趣對話，感謝邁克爾?哈里斯（Michael Harris）不懈倡導數(shù)學與人文學科的深度交融。衷心感謝同事杰里米?阿維加德（Jeremy Avigad）、阿拉溫德?阿索克（Aravind Asok）、瑪?shù)贍柕?蓋爾貝利 - 戈蒂埃（Mathilde Gerbelli-Gauthier）、戴安娜?吉盧利（Diana Gillooly）、亞歷克斯?康托羅維奇（Alex Kontorovich）、帕特?沙夫托（Pat Shafto）、杰西?沃爾夫森（Jesse Wolfson），以及兩位匿名審稿人。他們對本文的仔細閱讀與批評，磨礪了我的思想，重塑了本文的最終形態(tài)。

原文參考文獻

[1] A. AbdurraHman and AksHay VenkatesH, Symplectic L-functions and symplectic Reidemeister torsion (mod squares). Invent. Math. 241, (2025), 717–839.

[2] J.F.Adams, InfiniteLoopSpaces,AnnalsofMathematicsStudies, 90, Princeton University Press, 1978

[3] J. Avigad, Mathematics and the formal turn, Bulletin of the AMS, 61 (2), (2024), pp. 225–240.

[4] J. Baez, This week’s finds in mathematical physics (week 233), https://math.ucr.edu/home/baez/week223.html

[5] J.H. Barnett, An American Postulate Theorist: Edward V. Huntington. In: Zack, M., Landry, E. (eds) Research in History and Philosophy of Mathematics. Proceedings of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics/La Société Canadienne d’Histoire et de Philosophie des Mathématiques. Birkh?user (2016).

[6] G. BirkHoff, Lattice theory. 3rd edition. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 25, American Mathematical Society, 1967.

[7] D. Ben-Zvi, Y. Sakellaridis and AksHay VenkatesH, Relative Langlands duality, https://arxiv.org/abs/2409.04677

[8] B. BircH, Heegner Points: The Beginnings, in Heegner Points and Rankin L-Series, Mathematical Sciences Research Institute Publications 49. Cambridge University Press, 2004.

[9] A. Borovik, Mathematics under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice. American Mathematical Society, 2010.

[10] N. Bourbaki, The Architecture of Mathematics. The American Mathematical Monthly, 57(4), (1950), pp. 221-232.

[11] L.E.J. Brouwer, Intuitionism and formalism (translated by Arnold Dresden), Bull. Amer. Math. Soc. 20 (1913), 81–96.

[12] A. Clark and D. CHambers, Analysis, The extended mind analysis, Analysis, 58(1), (1998), 7-19.

[13] B. Conrad, https://math.stanford.edu/~conrad/ , point 2 of “Notes.”

[14] D. Corfield, Towards a Philosophy of Real Mathematics. Cambridge University Press, 2003.

[15] L. Corry, Heinrich Weber, Lehrbuch der Algebra (1895–1896), in Landmark Writings in Western Mathematics,1640–1940,I.Grattan Guinness (Editor), Elsevier 2005

[16] L. Corry, The Origin of Hilbert’s Axiomatic Method. In: Jürgen Rennetal(eds.) The Genesis of General Relativity, Vol. 4: Theories of Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics and the Dream of a Unified Theory, New York, Springer (2006), 139-236.

[17] G.R.DavidandC.Tomei,Theproblemofthecalissons,Amer. Math. Monthly, 96(5), (1989), 429–431.

[18] P. Davis and R. HersH, The Mathematical Experience, Birkhaüser Boston, 1981.

[19] R. Dedekind and H. Weber, Theorie der algebraischen Funktionen einer Ver?nderlichen, Journal für die reine und ange wandte Mathematik 92 (1882), pp. 181–290.

[20] P. Deift, L. C. Li, C. Tomei. Matrix factorizations and integrable systems, Communications on Pure and Applied Mathematics 42(4), (1989), pp. 443-521.

[21] M.Demazure,Résultant, discriminant. Enseign. Math. 58(3–4), (2012), pp. 333–373.

[22] S. Dick, AfterMath: The Work of Proof in the Age of Human Machine Collaboration, Isis 102(3), (2011), pp. 494–505.

[23] S. Eilenberg, and S. MacLane, Samuel Eilenberg and Categories. Journal of Pure and Applied Algebra 168, (2002), pp 127–131.

[24] F. Enriques, Il significato della critica dei principii nello sviluppo delle matematiche. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Cambridge University Press, volume 1, (1913), pp 68–79.

[25] K.F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, translated by Arthur A. Clarke. Springer–Verlag, 1986.

[26] P. Goddard, J. Nuyrs and D. Olive, Gauge theories and magnetic charge. Nuclear Physics B, 125(1), (1977), pp. 1–28.

[27] J. Gray,Anxiety and abstraction in Nineteenth-Century Mathematics. Science in Context, 17(2) (2004), pp. 23–47.

[28] J. Gray, Plato’s Ghost: The Modernist Transformation of Mathematics. Princeton University Press, 2008

[29] I. Hacking, Why Is There Philosophy of Mathematics At All?,Cambridge University Press, 2014.

[30] M. Harris, Silicon Reckoner, https://siliconreckoner.substack.com

[31] Hubert, T., MeHta, R., Sartran, L. et al. Olympiad-level formal mathematical reasoning with reinforcement learning. Nature (2025).

[32] E. Huntington, Sets of Independent Postulates for the Algebra of Logic, Transactions of the American Mathematical Society, 5(3), (1904), pp. 288-309

[33] E. Huntington, The method of postulates, Philosophy of Science 4(4), (1937), pp. 482-495.

[34] N. Katz, Rigid local systems. Annals of Mathematics Studies,139 (1996). Princeton University Press.

[35] A. Kapustin and E. Witten, Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program. Communications in number theory and physics, 1(1), (2007), pp. 1–236.

[36] R. Langlands, Letter to A. Weil, https://publications.ias.edu/rpl/paper/43 , 1967

[37] G.E.R.Lloyd, Demystifying Mentalities,Cambridge University Press, 1990.

[38] H. MacBetH, Algorithm and abstraction in formal mathematics. In: Buzzard, K., Dickenstein, A., Eick, B., Leykin, A., Ren, Y. (eds) Mathematical Software– ICMS 2024. Lecture Notes in Computer Science, 14749 (2024), pp. 12-25.

[39] Jean-Pierre Marquis, “A Path to the Epistemology of Mathematics: HomotopyTheory,”inTheArchitecture of Modern Mathematics: Essays in History and Philosophy, ed. José Ferreirós and Jeremy J. Gray, Oxford University Press, 2006, pp. 239–260.

[40] A. Mattuck, Review: Claude Chevalley, Fundamental concepts of algebra, Bull. Amer. Math. Soc. 63(6), (1957), pp. 412-417.

[41] W. McCune, Single axioms for groups and Abelian groups with various operations. Studies In Automated Reasoning, 10, (1993), pp 1.-13

[42] C.McLarty,Poincaréonthevalueofreasoningmachines.Bulletin of the AMS61(3), (2024), pp. 411–422.

[43] C. ParikH, The Unreal Life of Oscar Zariski, Springer, 2009.

[44] H. Poincaré, (translated by Arnold Dresden): Poincaré's review of Hilbert’s Foundations of Geometry.Bull.Amer.Math.Soc.10(1), (1903), pp. 1-23.

[45] J.A.Robinson, A Machine-Oriented Logic Based on the Resolution Principle. Journal of the ACM, 12(1), (1965), pp. 23–41.

[46] M. Scanlan, Who were the American postulate theorists? The Journal of Symbolic Logic, 56(3), (1991), pp. 981-1002.

[47] W. W Symes, The QR algorithm and scattering for the finite nonperiodic Toda lattice, Physica D, 4(2), (1982), pp. 275–280.

[48] W. THurston, On proof and progress in mathematics, Bull. Amer. Math. Soc. (new series) 30(2), (1994), pp 161–177.

[49] W. P. THurston, Conway’s tiling groups, Amer. Math. Monthly 97(8), (1990), pp. 757–773.

[50] M. Fraser, A. Granville, M. Harris, C. McLarty, E. RieHl, AksHay VenkatesH, Will machines change mathematics? Bulletin of the American Mathematical Society 61 (2), (2024), pp. 201-202.

[51] N. Ja. Vilenkin, Special Functions and the Theory of Group Representations. Translations of Mathematical Monographs, volume22, American Mathematical Society, 1968.

[52] F. WaldHausen, Algebraic K-theory of spaces, Springer Lectures Notes in Mathematics 1126, (1985), pp. 318–419.

[53] H.Weber,LehrbuchderAlgebra,vol3: Elliptischefunktionen und algebraische Zahlen, Braunschweig F. Vieweg, 1908.

[54] A. Weil, Foundations of Algebraic Geometry, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 29, American Mathematical Society, 1946.

[55] R. Wilder, The origin and growth of mathematical concepts, Bull. Amer. Math. Soc. 59 (5), (1953), pp. 423–448.

參考資料

https://mxphi.com/wp-content/uploads/2026/03/AV.pdf

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