新定義“伴隨切點(diǎn)”

2024年海淀區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)期末第28題

解新定義類的壓軸題，花費(fèi)時(shí)間最多的環(huán)節(jié)是理解新定義，盡管在第1小題中會(huì)比較簡(jiǎn)單，但仍然不是一眼能看出答案，或者說在那一眼之前，得讀懂新定義。

2024年北京海淀區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)期末第28題，相對(duì)而言比較容易理解，但也存在一些小坑，如果平時(shí)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法上存在漏洞，那這道題一定可以檢測(cè)出來，數(shù)學(xué)理解能力強(qiáng)弱，本題區(qū)分很明顯。

題目

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將中心為T的正方形記作正方形T，對(duì)于正方形T的點(diǎn)P(不與O重合)給出如下定義：若正方形T的邊上存在點(diǎn)Q，使得直線OP與以TQ為半徑的圓T相切于點(diǎn)P，則稱點(diǎn)P為正方形T的“伴隨切點(diǎn)”.

(1)如圖，正方形T的頂點(diǎn)分別是O，A(2,2)，B(4,0)，C(2,-2).

①在點(diǎn)P1(2,1)，P2(1,1)，P3(1,-1)中，正方形T的“伴隨切點(diǎn)”是__________________；

②若直線y=x+b上存在正方形T的“伴隨切點(diǎn)”，求b的取值范圍；

(2)已知點(diǎn)T(t,t+1)，正方形T的邊長(zhǎng)為2，若存在正方形T的兩個(gè)“伴隨切點(diǎn)”M，N，使得△OMN為等邊三角形，直接寫出t的取值范圍.

解析：

01

(1)磨刀不誤砍柴工，我們首先來理解“伴隨切點(diǎn)”：

從概念切點(diǎn)開始，它出現(xiàn)于直線與圓的位置關(guān)系，題目中的圓T，圓心在T，半徑為TQ，點(diǎn)T是正方形的中心，即兩條對(duì)角線交點(diǎn)，而正方形某條邊上的點(diǎn)，到中心T的距離有一個(gè)變化范圍，TQ最長(zhǎng)時(shí)，等于正方形對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，最短時(shí)，等于邊長(zhǎng)的一半，這與點(diǎn)Q在正方形哪條邊上無關(guān)。

我們?cè)谧鴺?biāo)系中任意作正方形T，包括其邊上的點(diǎn)Q，再作圓T，讓點(diǎn)O在圓T外，再過點(diǎn)O作它的兩條切線，如下圖：

在上圖中，圓T的位于取決于點(diǎn)T的坐標(biāo)，大小取決于TQ的長(zhǎng)度，顯然半徑有限制，如果設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，則半徑長(zhǎng)度范圍是a/2≤TQ≤√2a/2；

由于點(diǎn)O在圓T外，因此一定會(huì)存在兩條切線，即圖中有兩個(gè)點(diǎn)P均滿足新定義，我們連接圓心和切點(diǎn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)∠OPT=90°；

這是本題新定義的兩個(gè)核心要素，理解了它們，再去看第1小題，就簡(jiǎn)單多了。

①圖中點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,0)，只有點(diǎn)P2和P3符合要求，如下圖：

此時(shí)圓T的半徑為1，OA和OC恰好是它的兩條切線，切點(diǎn)為P2和P3；

②所有符合新定義的圓T，如下圖：

半徑最大的圓是正方形T的外接圓，半徑最小的圓是它的內(nèi)切圓；在此基礎(chǔ)上，我們來找符合新定義的切點(diǎn)P，正如前面分析中所說，點(diǎn)P保證了∠OPT=90°，因此點(diǎn)P在以O(shè)T為直徑的圓上，利用了直徑所對(duì)的圓周角是直角，如下圖：

我們得到了點(diǎn)P可能的位置，即在圓環(huán)內(nèi)部，且在以O(shè)T為直徑的圓上，圖中紅色部分的弧(半圓)。

現(xiàn)在我們?cè)僖胫本€y=x+b，圖中直線OA的解析式為y=x，所以y=x+b平行于直線OA，它與上圖中的紅色部分的弧的公共點(diǎn)，即我們所尋求的點(diǎn)P，而我們需要從這些滿足條件的直線中，找到參數(shù)b的范圍，從幾何直觀角度，直線y=x+b從上往下運(yùn)動(dòng)，第一次接觸到紅色部分的弧時(shí)，b值最大，最后脫離紅色部分的弧時(shí)，b值最小，如下圖：

我們作出這兩條直線，分別求解，如下圖：

直線y=x+b與紅色部分的弧(圓D)相切時(shí)，點(diǎn)P是切點(diǎn)，連接 DP，則圖中△DPE為等腰直角三角形，因?yàn)镈點(diǎn)是OT中點(diǎn)，所以DP=OD=1，則DE=√2，故OE=√2-1，將點(diǎn)E坐標(biāo)代入直線y=x+b，可求出b=√2-1；

當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過最下方的P點(diǎn)時(shí)，如下圖：

此時(shí)點(diǎn)P為OC中點(diǎn)，坐標(biāo)為(1,-1)，代入直線y=x+b中，求出b=-2；

因此b的取值范圍為-2≤b≤√2-1；

02

(2)給出含參點(diǎn)T坐標(biāo)，意味著點(diǎn)T在直線y=x+1上，正方形T的邊長(zhǎng)為2，可得圓T的半徑TQ范圍為1≤TQ≤√2；根據(jù)“伴隨切點(diǎn)”新定義，點(diǎn)P為圓T上的切點(diǎn)，則∠OPT=90°始終滿足，于是作草圖如下：

圖中的點(diǎn)T是任意一處位置，存在的兩個(gè)“伴隨切點(diǎn)”之一的點(diǎn)M，在弧GH上，另一個(gè)點(diǎn)N在弧KL上，顯然這兩段弧關(guān)于OT軸對(duì)稱，在此基礎(chǔ)上，我們作出點(diǎn)M和N的大致位置，如下圖：

分析上圖，我們已知弧GH與弧KL關(guān)于OT軸對(duì)稱，若存在等邊△OMN，則點(diǎn)M與點(diǎn)N也一定關(guān)于OT軸對(duì)稱，這是等邊三角形的軸對(duì)稱性和圓的軸對(duì)稱性共同決定的，在圓內(nèi)接正多邊形章節(jié)中我們學(xué)習(xí)過。

所以我們只需要觀察其中一個(gè)頂點(diǎn)，例如點(diǎn)M，當(dāng)它在弧GH上時(shí)，符合條件的t存在一個(gè)范圍，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)G重合，或與點(diǎn)H重合，如下圖：

連接MT，此時(shí)TM=√2，在Rt△OMT中，∠MOT=30°，則可求得OT=2√2，利用點(diǎn)T坐標(biāo)(t,t+1)，可列方程t2+(t+1)2=(2√2)2，解得t=(-1±√15)/2，此時(shí)取正值；

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)H重合時(shí)，如下圖：

此時(shí)TM=1，則OT=2，同樣可列方程t2+(t+1)2=22，解得t=(-1±√7)/2，此時(shí)取正值；

取負(fù)值的時(shí)候如下圖：

綜上所述，t的取值范圍是(-1+√15)/2≤t≤(-1+√7)/2，(-1-√15)/2≤t≤(-1-√7)/2.

解題反思

往往面對(duì)新定義壓軸題，學(xué)生解完后會(huì)出現(xiàn)涇渭分明的兩種結(jié)局，一種是認(rèn)為太過簡(jiǎn)單，另一種則沒看懂(半懂也屬于沒看懂)，這其實(shí)是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力的一種有效區(qū)分，數(shù)學(xué)概念的生成不是一朝一夕的事，它需要學(xué)生在長(zhǎng)期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)，良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、思維習(xí)慣最終積累起來，就會(huì)達(dá)到“認(rèn)為簡(jiǎn)單”的境界，如若這個(gè)過程中存在漏洞，這種題型很容易讓學(xué)生原形畢露。

本題中的圓非常多，其中圓T是動(dòng)圓，半徑有范圍限制，在實(shí)際作圖中，理解為圓環(huán)，而切線OP上，點(diǎn)P也是動(dòng)點(diǎn)，它的軌跡也在以O(shè)T為直徑的圓上，雖然涉及到多個(gè)圓，但它們之間有明顯的關(guān)聯(lián)，解題時(shí)理清這些關(guān)系非常重要。

試題難度與區(qū)分度，是衡量試題質(zhì)量的重要統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，控制難度有很多種方法，本題并不算特別難，新定義的描述部分理解起來比較容易，只要平時(shí)嚴(yán)格按課標(biāo)、教材要求去理解數(shù)學(xué)概念，解這一類題型就是常規(guī)思路。

相對(duì)另一些“難題”，把難度設(shè)置在某條特殊輔助線或某個(gè)特殊公式甚至少見的技巧之上，這就變成了記憶題，只要記得老師講過或者記得部分內(nèi)容，甚至連推導(dǎo)都不用，方法就能完整復(fù)刻，它們就屬于我們口誅筆伐的“偏難怪題”，不提倡。

從日常教學(xué)角度來看，學(xué)生學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念，是整個(gè)初中階段都要經(jīng)歷的，未來這種經(jīng)歷會(huì)更多，更復(fù)雜，但再?gòu)?fù)雜的概念，理解它們的方法在初中階段應(yīng)該教給學(xué)生，例如本題中點(diǎn)P的軌跡，正常情況下，突破口在切線定義上，當(dāng)點(diǎn)P為切點(diǎn)，則TP與OP必然垂直，由垂直聯(lián)想到∠OPT=90°，這還不夠，得進(jìn)一步想到Rt△OPT中，斜邊OT是定長(zhǎng)，斜邊上的中線等于斜邊的一半，則O、P、T在同一個(gè)圓上，這就和教材上直徑所對(duì)的圓周角是直角對(duì)應(yīng)上了，當(dāng)然，這個(gè)過程在大腦思維中非?？?，外表上看，理解了的學(xué)生一眼就能看出點(diǎn)P在以O(shè)T為直徑的圓上，其實(shí)背后仍然有上述思考經(jīng)歷，只不過速度快得可以忽略。

當(dāng)我們?cè)诮o學(xué)生講新定義題型的時(shí)候，也會(huì)注意到，兩極分化會(huì)很嚴(yán)重，少數(shù)學(xué)生一經(jīng)提示甚至不經(jīng)提示，也能理解，多數(shù)學(xué)生需要老師一步步引導(dǎo)，再經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間回味才能理解，恰恰他們是整個(gè)課堂中受益最大的群體，因此作為數(shù)學(xué)老師，要重視這部分學(xué)生群體的思維歷程，扶著他們一遍遍走過，直到放手。

這又回到了我們的課堂，從七年級(jí)第一節(jié)數(shù)學(xué)課開始，我們需要規(guī)范教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)概念的設(shè)計(jì)，用豐富的情景去容納概念，多視角去呈現(xiàn)概念，簡(jiǎn)單概念“復(fù)雜”講，最終才會(huì)成就復(fù)雜概念“簡(jiǎn)單”講，讓學(xué)生在課堂上的收益最大化。