新定義“和距離”

2024年東城區(qū)九年級數(shù)學(xué)第28題

初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，關(guān)于距離的描述，我們先來捊一捊：

1、兩點(diǎn)之間的距離

2、點(diǎn)到直線的距離

事實(shí)上它是基于兩點(diǎn)之間的距離定義的，即直線外一點(diǎn)到垂足，這條線段的距離；

3、平行線間的距離

請注意，這個概念并不是在七年級學(xué)習(xí)平行線之后引入的，而是在八年級下學(xué)期學(xué)習(xí)了平行四邊形之后引入，原因是學(xué)生在學(xué)習(xí)了平行四邊形之后，對這個概念的理解會更深一些，也有更豐富的數(shù)學(xué)情景去應(yīng)用這個概念；

4、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

事實(shí)上圓本身的定義中就包括兩點(diǎn)之間的距離，畢竟圓是由到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)的集合；我們判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系時，借助的距離是這個點(diǎn)與圓心的距離，本質(zhì)上仍然是兩點(diǎn)之間的距離，只不過要和半徑進(jìn)行比較；

由于圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，通常情況下，將這個點(diǎn)放在經(jīng)過圓心的直線上，再來看距離比較合適，這也是處理圓相關(guān)距離問題的通法；

5、直線和圓的位置關(guān)系

這就又回歸到點(diǎn)與直線距離的定義了，只不過這個點(diǎn)是圓心；

6、圓和圓的位置關(guān)系

兩個圓的圓心距，仍然是兩點(diǎn)之間的距離，但要考慮半徑對位置關(guān)系的影響；

綜上所述，距離這個概念的基石，是兩點(diǎn)間的距離，即連接兩點(diǎn)線段的長度，后續(xù)所有相關(guān)聯(lián)的概念，都要在它的基礎(chǔ)上拓展，區(qū)別是“兩個點(diǎn)”身份發(fā)生了變化。

2022版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，對這些概念的要求如下：

63頁：理解兩點(diǎn)間距離的意義，能度量和表達(dá)兩點(diǎn)間的距離；

64頁：理解點(diǎn)到直線的距離的意義，能度量點(diǎn)到直線的距離；

66頁：理解兩條平行線之間距離的概念，能度量兩條平行線之間的距離；

我們在新課標(biāo)附錄2中找到對“理解”二字的解釋，描述對象的由來、內(nèi)涵和特征，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。

不得不說，對距離概念的要求，并不低，那我們?nèi)绾螜z測學(xué)生對上述概念的理解程度，東城區(qū)這道新定義“和距離”給出了一份參考。

題目

解析：

01

(1)我們?nèi)匀幌葋黹喿x原題中的這段描述，以期準(zhǔn)確把握，理解透徹，再去完成后面的題目。

“和距離”的描述較為簡單，點(diǎn)P，兩條直線，熟悉點(diǎn)到直線距離的學(xué)生，應(yīng)該很容易聯(lián)系到過點(diǎn)P分別向這兩條直線作垂線段，這兩條垂線段長度之和即為“和距離”；

回到題目中，兩條直線是兩根坐標(biāo)軸，給出了三個點(diǎn)坐標(biāo)，最普通的方法是對每個點(diǎn)求一次到坐標(biāo)軸距離，再計算“和距離”；

稍用點(diǎn)技巧的方法，是將每個點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的絕對值相加，畢竟點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，我們在七年級學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的時候，就知道，可以用橫、縱坐標(biāo)的絕對值求解。

結(jié)果是P1和P2；

02

(2)直線y=-x+3經(jīng)過一、二、四象限，而在每個象限內(nèi)，點(diǎn)P關(guān)于x軸和y軸的“和距離”略有差別，因此我們需要分類研究：

第一象限，如下圖：

由于直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的夾角為45°，因此上圖中出現(xiàn)了以PA和PB為邊的等腰直角三角形，利用它們，可以得到PA+PB=3，即“和距離”d=3；

第二象限，如下圖：

顯然，僅PB的長就超過了3，因此PA+PB>3；

第四象限，如下圖：

顯然，僅PA的長度也超過了3，因此PA+PB>3；

綜上所述，直線在第二、四象限的部分，“和距離”d>3，而在第一象限部分，“和距離”d=3，所以最小值為3；

如果僅從純代數(shù)角度來看，本題也有另外的解法，即設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,-x+3)，根據(jù)“和距離”的定義，d=|x|+|-x+3|，同樣需要分類研究，分別是x<0時，0 3時，細(xì)心的朋友應(yīng)該能發(fā)現(xiàn)，這正好對應(yīng)前面方法中的三個象限，具體過程略過；

03

(3)先按要求作圖，如下圖：

首先觀察直線y=√3x+6，它與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是(-2√3，0)，與y軸交點(diǎn)為(0,6)，構(gòu)成了一個特殊直角三角形，與x軸夾角為60°，此時的“和距離”d=PB+PC；

然后我們設(shè)法將PB和PC這兩條線段轉(zhuǎn)換成某一條線段，以方便我們求它的取值范圍，基本思路是“化斜為直”，PC⊥x軸，因此我們轉(zhuǎn)換目標(biāo)是線段PB，不妨延長CP交直線y=√3x+6于點(diǎn)F，如下圖：

我們可以求得∠BFP=30°，因此在Rt△BPF中，PF=2PB，所以我們需要找到一條線段，使其等于2PC，方法是利用軸對稱，將線段PC關(guān)于x軸的對稱線段找到，由于端點(diǎn)P在圓A上，所以我們將整個圓A關(guān)于x軸對稱，得到圓A'，則圓A'上的點(diǎn)即為點(diǎn)P'，如下圖：

現(xiàn)在上圖中的線段PP'=2PC，于是FP'=2(PB+PC)，我們只需要關(guān)注線段FP'的變化即可；

線段FP'的一個端點(diǎn)F在直線y=√3x+6上，另一個端點(diǎn)在圓A'上，這顯然與點(diǎn)到直線的距離聯(lián)系了起來，我們再次進(jìn)行轉(zhuǎn)換，只不過這一次是“化直為斜”，過點(diǎn)P'向直線y=√3x+6作垂線段P'M，如下圖：

Rt△P'MF是含30°的特殊直角三角形，P'F=2P'M，于是我們完成了終極轉(zhuǎn)換，P'M=PB+PC=d，“和距離”d變成了上圖中的線段P'M；

當(dāng)直線P'M過圓心A'時，即可找到線段P'M的最大值和最小值，如下圖：

下面我們來計算A'M的長度，直線y=√3x+6與y軸交點(diǎn)為E(0,6)，且點(diǎn)A'(0,-3)，利用特殊直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系求出A'M=4.5，于是P'M最小值為4.5-1=3.5，P'M最大值為4.5+1=5.5，故3.5≤d≤5.5.

解題反思

本題的“和距離”新定義讀起來并不困難，當(dāng)然是指字面理解，給學(xué)生一個較為簡單的環(huán)境，例如第1小題，通常這也是我們在新授課中達(dá)到的難度，用新課標(biāo)中的描述就是“理解”，然而新定義題型最關(guān)鍵的當(dāng)然不僅僅只有這個層面，而是要深入理解，并會"運(yùn)用"，這也是第2小題需要達(dá)到的高度；而在第3小題，需要學(xué)生利用新的概念，進(jìn)一步探索，這也是新課標(biāo)中較高層次的要求，作為壓軸題，正合適。

從給學(xué)生講題的角度，要把一道新定義題講清楚，是不容易的，因?yàn)檫@個“清楚”是指學(xué)生理解透徹，如果平時概念理解不到位，任憑老師課堂上舌燦蓮花，也是對牛彈琴。所以必須要反思我們的新授課教學(xué)，在每一個數(shù)學(xué)概念生成的時候，有沒有“長偏”？

從命題角度，初中數(shù)學(xué)可用于進(jìn)行新定義構(gòu)建的概念隨處可見，新課標(biāo)既然要求學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待現(xiàn)實(shí)世界，實(shí)際上老師更應(yīng)該具備這樣的眼光，數(shù)學(xué)本身就有極為豐富的情景，可以容納抽象的概念，并提供不同的理解角度，命制一道這樣的新定義壓軸題，并不容易。

從教學(xué)評價角度，能夠順利完成本題的學(xué)生，無疑具備了較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這樣的學(xué)生自然能令老師省心，然而我們的教學(xué)，應(yīng)該面向全體，所以更應(yīng)該關(guān)注那些還不能順利完成的學(xué)生，他們的理解究竟在哪一步出了問題？是什么問題？怎樣解決這個問題？等等，有待我們在后續(xù)教學(xué)中完善。