偽瓜豆真概念

2024年浙江省中考一模第24題

二次函數(shù)壓軸題，讀題環(huán)節(jié)相當(dāng)重要，很多關(guān)鍵信息都在題干中描述得非常清楚，也隱藏得很巧妙，通常情況下，我在課堂上是引導(dǎo)學(xué)生讀題，往往讀一個(gè)條件就分析這個(gè)條件可能會(huì)有什么樣的結(jié)論，這個(gè)環(huán)節(jié)會(huì)耗費(fèi)較多課堂時(shí)間，然而事實(shí)證明，磨刀不誤砍柴工。

同時(shí)對(duì)于解題過程的規(guī)范性，平時(shí)就要嚴(yán)格要求，例如全等三角形的書寫，教材上規(guī)范如下：

即用全等符號(hào)連接的兩個(gè)三角形名稱，對(duì)應(yīng)字母要寫在對(duì)應(yīng)位置上，這也是概念教學(xué)的一部分；

瓜豆原理是個(gè)很好聽的名字，歸納了諸多線段和最值問題，不過我個(gè)人認(rèn)為，叫什么并不重要，學(xué)會(huì)解決此類問題的方法，對(duì)于學(xué)生來講，更實(shí)在。

解題模型是個(gè)好東西，但僅僅只是用名字去顯擺，實(shí)際解題中漏洞百出，這種小聰明，還是少一點(diǎn)比較好。

2024年浙江省中考數(shù)學(xué)第一次模擬，用這道題來壓軸，還是有充足理由的，雖然成功解答出來的人，會(huì)覺得不那么難，但一眼到結(jié)論去硬套模型的，也大有人在，從某種意義上說，這道題，隱隱有反套路的意圖。

題目

解析：

01

(1)一點(diǎn)小技巧，設(shè)函數(shù)解析式之前，先看看條件給的點(diǎn)坐標(biāo)，它們都在x軸上，所以選擇交點(diǎn)式最為明智，并且在求解過程中，稍微玩點(diǎn)花樣，會(huì)讓效率提升不少；

設(shè)y=a(x+6)(x-2)，然后我們只計(jì)算常數(shù)項(xiàng)為-12a，顯然-12a=4，于是求得a=-1/3，所以結(jié)果為y=-1/3x2-4/3x+4；

02

(2)首先根據(jù)點(diǎn)Q坐標(biāo)和點(diǎn)B坐標(biāo)，求出直線BQ的解析式為y=1/3x+2，于是N(0,2)，線段AN=2；

①這里必須對(duì)全等的條件認(rèn)真解讀，題目給出的條件是嚴(yán)格按教材上的對(duì)應(yīng)關(guān)系書寫的△BME≌△AOM，請(qǐng)注意對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)合圖形，我們知道BM=AO=4，ME=OM，∠BME=∠AOM=90°于是點(diǎn)M有兩種可能，分別位于點(diǎn)B左側(cè)或右側(cè)，且到點(diǎn)B的距離為4個(gè)單位，即(-2,0)或(-10,0)我們先來論證它們的存在性：

若M(-2,0)，如下圖：

在這種情況下，點(diǎn)E分別有兩種情況，由于此時(shí)OM=2，因此ME=2，即E1(-2,2)或E2(-2,-2)，到底哪個(gè)才符合題意？我們繼續(xù)看題目條件中的四邊形ANEM是平行四邊形，這四個(gè)頂點(diǎn)順次連接，只有E2(-2,-2)符合，如下圖：

若M(-10,0)，如下圖：

顯然，無法構(gòu)成平行四邊形ANEM；

綜上所述，點(diǎn)E坐標(biāo)只可能是(-2,-2)；

②按要求作圖如下：

不妨將新增的點(diǎn)P、點(diǎn)H坐標(biāo)求出來，直線AM解析式可求，為y=2x+4，它與直線BQ交點(diǎn)可求，為P(-6/5,8/5)；

直線BE解析式可求，為y=-1/2x-3，它與直線AM交點(diǎn)可求，為H(-14/5,-8/5)；

因此△BPH形狀大小確定，這并不妨礙我們探索一下它是否特殊三角形，以方便后面的推導(dǎo)；

點(diǎn)P與點(diǎn)H，橫坐標(biāo)相差8/5，縱坐標(biāo)相差16/5；

點(diǎn)B與點(diǎn)H，橫坐標(biāo)相差16/5，縱坐標(biāo)相差8/5；

我們借助一下圖象，更直觀地發(fā)現(xiàn)結(jié)論，如下圖：

由前面推導(dǎo)出來的各線段長(zhǎng)，可證明Rt△BDH≌Rt△HFP，這就很容易得到△BPH是等腰直角三角形，并且利用平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)距離公式，分別求出BP=8√10/5，BH=8√5/5；

在△BPH旋轉(zhuǎn)過程中，BP長(zhǎng)度始終不變，而OH的長(zhǎng)度隨點(diǎn)H的位置改變，那么，點(diǎn)H何時(shí)離點(diǎn)O最近？

由于旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)B，且BH長(zhǎng)度不變，因此點(diǎn)H在以B為圓心，BH為半徑的圓上，點(diǎn)O為圓外一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)H位于B、O之間的x軸上時(shí)，OH最短，此時(shí)OH=6-8√5/5；

于是BP+√2OH的最小值是8√10/5-√2(6-8√5/5)=6√2.

解題反思

在本題第2問中，平時(shí)規(guī)范較好的學(xué)生，幾乎可以瞬間秒掉，要知道在大腦中構(gòu)圖的速度遠(yuǎn)超過在紙上畫圖，也遠(yuǎn)勝過用軟件作圖，由此帶來的第一個(gè)思考是，如何讓學(xué)生能夠在腦中構(gòu)圖？

本題最后一問中，需要學(xué)生作圖，而作圖過程，也是再一次審題的過程，準(zhǔn)確理解題目中的作圖語(yǔ)言，是基本功，例如讀到旋轉(zhuǎn)想到圓。

那我們可否不證明△BPH是等腰直角三角形呢？當(dāng)然可以，這并不影響求解過程，只是觀察到特殊圖形而不去驗(yàn)證，實(shí)在說不過去，并且特殊直角三角形的邊長(zhǎng)數(shù)量關(guān)系也可以幫助我們減少計(jì)算量，也算是個(gè)理由吧！

學(xué)生中有看到題目最后BP+√2OH就急著說用瓜豆原理的，課堂上我并不反對(duì)用模型解題，然而我說的更多的一句話是，老實(shí)人不吃虧，就按平時(shí)的常規(guī)思路出發(fā)，一步步走下去，解題速度并不會(huì)慢。腦子里有模型是好事，能用好才是真的好。

回到第一個(gè)問題，如何用大腦構(gòu)圖？

對(duì)于普通學(xué)生來講，尺規(guī)作圖是必經(jīng)之路，人教版教材將尺規(guī)作圖分散配置在各章節(jié)，自有考量，在平時(shí)教學(xué)中，更多的是學(xué)生看到老師在黑板上作圖，老師是否用規(guī)范語(yǔ)言描述，是否規(guī)范用教具作圖，極為重要，哪怕用軟件，也要強(qiáng)調(diào)幾何語(yǔ)言，在這種熏陶之下，再輔以耐心指導(dǎo)，這些幾何語(yǔ)言和作圖操作才能深入人心，徒手畫圓作為炫技可以，拿來教學(xué)生可不行。

而考察學(xué)生尺規(guī)作圖，除了課堂上用直尺圓規(guī)“真刀真槍”實(shí)踐之外，作圖練習(xí)題必不可少，而其中無刻度直尺作圖(包括網(wǎng)格作圖和無網(wǎng)格作圖)，是鍛煉作圖能力的利器，要知道作圖并不僅僅是把圖形畫出來，更需要在作圖過程中思考，將學(xué)生所學(xué)幾何知識(shí)運(yùn)用起來；

幾何變換中，旋轉(zhuǎn)也需要具備“圓規(guī)”思想，因此這一類習(xí)題也極鍛煉學(xué)生構(gòu)圖能力；

現(xiàn)在再來看湖北省武漢市中考數(shù)學(xué)卷，無刻度直尺作圖和旋轉(zhuǎn)變換幾何綜合題，應(yīng)該是有深意吧！