三點(diǎn)定拋物線秒殺選擇壓軸題

我們?cè)趯W(xué)習(xí)確定拋物線解析式的時(shí)候，通常是給出不共線三點(diǎn)坐標(biāo)，分別代入拋物線解析式中求各參數(shù)，在這節(jié)課的變式訓(xùn)練中，我們將三個(gè)點(diǎn)的條件改編成不同形態(tài)，以期讓學(xué)生熟悉這種方法，以上是傳統(tǒng)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，沒(méi)問(wèn)題，中規(guī)中矩。

直到，下面這道題的出現(xiàn)，仍然是考這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，又該如何應(yīng)對(duì)呢？

題目

設(shè)函數(shù)y=a(x-h)2+k(a,h,k是實(shí)數(shù)，a≠0)，當(dāng)x=1時(shí)，y=1；當(dāng)x=8時(shí)，y=8，則下面命題成立的是（ ）

A.若h=4，則a<0 B.若h=5，則a>0

C.若h=6，則a<0 D.若h=7，則a>0

解析：

先說(shuō)秒殺法，數(shù)形結(jié)合大法！

函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)和B(8,8)；

按選項(xiàng)A的描述，對(duì)稱軸為x=4，不妨將其中點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)作出來(lái)，為A'(7,1)，如下圖：

顯然經(jīng)過(guò)A、A'、B三點(diǎn)的拋物線開(kāi)口向上，則a>0，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

按選項(xiàng)B的描述，對(duì)稱軸為x=5，仍然作出點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A'(9,1)，如下圖：

顯然經(jīng)過(guò)A、A'、B三點(diǎn)的拋物線開(kāi)口向下，則a<0，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

秒殺大法再次進(jìn)化，經(jīng)過(guò)三個(gè)定點(diǎn)，完全可以求出拋物線解析式，然而對(duì)于一道選擇題，只要求得到開(kāi)口方向，這個(gè)法子還是嫌麻煩，我們?cè)僬J(rèn)真觀察圖象，點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=h的對(duì)稱點(diǎn)A'，線段AA'所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)范圍，點(diǎn)B橫坐標(biāo)是否在這個(gè)范圍內(nèi)，再看拋物線開(kāi)口方向，應(yīng)該能得到技巧了。

只要確定了線段AA'的位置，當(dāng)點(diǎn)B在線段AA'范圍“內(nèi)”，則開(kāi)口向下，當(dāng)點(diǎn)B在線段AA'范圍“外”，則開(kāi)口向上；

按選項(xiàng)C的描述，對(duì)稱軸為x=6，點(diǎn)A'(11,0)，點(diǎn)B在范圍“內(nèi)”，則開(kāi)口向下，a<0，選項(xiàng)C正確；

按選項(xiàng)D的描述，對(duì)稱軸為x=7，點(diǎn)A'(13，0)，點(diǎn)B在范圍“內(nèi)”，則開(kāi)口向下，a<0，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

順便說(shuō)一下比較“笨”一點(diǎn)的方法，畢竟上面的數(shù)形結(jié)合并不是多數(shù)學(xué)生能夠想到的，看到點(diǎn)坐標(biāo)，至少能代入到解析式中，也算一條路；

將點(diǎn)(1,1)和(8,8)分別代入函數(shù)解析式中，得到

a(1-h)2+k=1和a(8-h)2+k=8

將上面兩式相減，得

a[(1-h)2-(8-h)2]=-7

a(9-2h)(-7)=-7

a(9-2h)=1

當(dāng)9-2h>0即h<4.5時(shí)，a>0；當(dāng)9-2h<0即h>4.5時(shí)，a<0；

據(jù)此來(lái)判斷下面四個(gè)選項(xiàng)中，唯有選項(xiàng)C正確.

解題反思

寫(xiě)完本題之后，再次回想我們?cè)谶@節(jié)新課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)，是不是缺了點(diǎn)什么？

這節(jié)課通常是待定系數(shù)法的舞臺(tái)，因此我們需要思考，教學(xué)中學(xué)生要達(dá)到什么樣的認(rèn)知程度，在未來(lái)可以秒掉今天這道題？我們當(dāng)然不會(huì)指望一節(jié)課之后，學(xué)生就具備這種能力，只是要在45分鐘內(nèi)埋下一顆種子，一顆思維的種子，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的滋潤(rùn)，它能破土而出。

其實(shí)對(duì)于選擇題和填空題，會(huì)存在一種較為取巧的方法，但這種巧，是建立在對(duì)數(shù)學(xué)概念和基本方法的深刻理解之上，脫離了這個(gè)基礎(chǔ)，盲目追求秒殺解法，是本末倒置。

那么，在前面這節(jié)課中，我們需要的，可能并不僅僅是幾道變式題，而是要通過(guò)這節(jié)課，在學(xué)生腦子里留下：拋物線確定究竟依靠哪些參數(shù)，每個(gè)參數(shù)對(duì)拋物線有哪些影響，拋物線形狀的每一點(diǎn)變化，是哪個(gè)參數(shù)變化引起的；讀題時(shí)就要思考，題目中這個(gè)條件是針對(duì)拋物線哪個(gè)參數(shù)的，會(huì)影響拋物線形狀嗎？等等

這些問(wèn)題可以通過(guò)不同方式呈現(xiàn)給學(xué)生，可以是習(xí)題，可以是課堂活動(dòng)，甚至可以是課外活動(dòng)，只有多角度、多層次展現(xiàn)數(shù)學(xué)概念，學(xué)生才有可能理解得更深刻。