兩圓導(dǎo)角證垂心

2024年仙桃高中招生考試數(shù)學(xué)卷第22題

中考?jí)狠S題對(duì)于兩個(gè)圓的題型較為少見，畢竟兩圓位置關(guān)系在新課標(biāo)中并沒有明確要求，然而實(shí)際命題中，并非出現(xiàn)了兩個(gè)圓，就一定要用到兩圓位置關(guān)系，所以圓的數(shù)量不是硬性規(guī)定，也不必一見兩圓就認(rèn)為超綱。

存在兩個(gè)圓的前提下，特別是兩圓相交時(shí)，一個(gè)圓中的圓周角，是如何等于另一個(gè)圓中的圓周角的，需要仔細(xì)觀察，那些“跨越”兩圓的線，一定是研究的重點(diǎn)。

題目

如圖，圓O1與圓O2交于A、B兩點(diǎn)，AC為圓O1的直徑，D為弧BC上一點(diǎn)，直線CD，AD分別與圓O2交于點(diǎn)E，H，HE的中點(diǎn)F在直線BC上，證明：H為△ACE的垂心.

解析：

01

在圓O1中，AC是直徑，所以∠ADC=90°，即AD已經(jīng)成為△ACE的一條高；

我們連接CH，只要能證明CH⊥AE，則點(diǎn)H必然是垂心；

連接CH之后，我們延長(zhǎng)CF，交圓O2于點(diǎn)G，使它看上去有點(diǎn)像“中線倍長(zhǎng)”，但到底是不是，能否構(gòu)造出相應(yīng)的全等三角形，值得嘗試，如下圖：

在圓O1中，∠BCD=∠BAD，在圓O2中，∠BAH=∠BGH，所以我們得到∠BCD=∠BGH，順便得到CE∥GH，發(fā)現(xiàn)圖中△CEF≌△GHF，于是CE=GH，得到平行四邊形CEGH，這需要連接EG；

由于AC是直徑，我們還能得到∠ABC=90°，即∠ABG=90°，轉(zhuǎn)到圓O2中，AG一定是它的直徑，不妨連接AG，如下圖：

在圓O2中，∠AEG=90°，即EG⊥AE，而平行四邊形CEGH中，CH∥EG，所以CH⊥AE，說明CH是△ACE高的一部分，即兩條高交點(diǎn)為H，所以它是△ACE的垂心；

解題反思

我在思考這道題的時(shí)候，還是走了不少?gòu)澛?，首先是?duì)點(diǎn)F是EH中點(diǎn)的條件百思不得其解，究竟它有什么用，第一眼確實(shí)沒看出來(lái)，倒是∠ADC=90°可以輕易得到，也就是解析中的突破口，只要證明CH⊥AE即可；

于是便在AE與圓O1交點(diǎn)耗上了，將它與點(diǎn)C連接后，想證明點(diǎn)H在這條連線上，結(jié)果可想而之，不了了之，畢竟證明點(diǎn)在線上，難度較高；

真正找到突破線索是在題目中“中點(diǎn)F在直線BC上”，想嘗試一下中線倍長(zhǎng)構(gòu)造全等，果然一下子就成功了，后面推導(dǎo)出平行四邊形之后，思路就很順暢了。

于是思考，如果是學(xué)生在解這道題，會(huì)不會(huì)也和我一樣卡在理解中點(diǎn)F的作用上呢？

我覺得大概率會(huì)。

學(xué)生是老師教的，老師平時(shí)解題時(shí)的思維習(xí)慣，是會(huì)傳染給學(xué)生的，尤其是在中等生身上，體現(xiàn)最為明顯，所以在解題過程中的情感、態(tài)度、價(jià)值觀，也一并傳遞了下去。

作為高招考試題，本題難度較高，適合平時(shí)對(duì)幾何概念理解較深刻的學(xué)生，給學(xué)生做這道題，最好老師在一旁“觀戰(zhàn)”，去看看學(xué)生的思維，也方便獲取學(xué)生思維的第一手資料，這就是備學(xué)情。