數(shù)形結(jié)合解分段

2024年荊州四月調(diào)考第24題

近期各地的四月調(diào)考卷紛紛出爐，命題質(zhì)量都比較高，都在各自教學(xué)導(dǎo)向上對(duì)2024年省考進(jìn)行了模擬，從壓軸題命題角度，可以看出已經(jīng)超越了元調(diào)框架，并結(jié)合往年自身的特點(diǎn)進(jìn)行了“預(yù)測(cè)”。

2024年荊州四月調(diào)考，整卷命題質(zhì)量高，尤其是在壓軸題中堅(jiān)持考察分段函數(shù)，值得學(xué)習(xí)。

題目

如圖，已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0)和B(x,0)(x>-2)的拋物線y=-1/4x2+1/2mx+n(m>0)與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D.

(1)請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示n和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)設(shè)直線EF垂直平分OC，垂足為E，交該拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)F，連接CF，DF，∠CFD=90°，求m的值；

(3)若在(2)的條件下，若點(diǎn)Q是拋物線上在y軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)Q到拋物線對(duì)稱軸和直線CD的距離分別是d1，d2，且d=d1-d2，①求d關(guān)于t的函數(shù)解析式；②當(dāng)0

解析：

01

(1)將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式中，得0=-1-m+n，所以n=m+1；

由CD∥x軸，可知點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，不妨將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，y=-1/4(x-m)2+1/4m2+m+1，可知對(duì)稱軸為x=m，因此點(diǎn)D橫坐標(biāo)為2m，縱坐標(biāo)與點(diǎn)C相同，為m+1，所以D(2m,m+1)；

02

(2)仍然由拋物線的軸對(duì)稱性，CF=DF，且∠CFD=90°，所以得到等腰Rt△CDF，其中對(duì)稱軸與斜邊CD交點(diǎn)為G，如下圖：

FG是直角三角形斜邊上的中線，由此可得FG=1/2CD=m，而CE=1/2OC=(m+1)/2，由CE=FG可列方程m=(m+1)/2，解得m=1；

03

(3)①在m=1的條件下，拋物線解析式為y=-1/4x2+1/2x+2，化為頂點(diǎn)式為y=-1/4(x-1)2+9/4，對(duì)于點(diǎn)Q，不妨設(shè)它坐標(biāo)為(t,-1/4t2+1/2t+2)，題目描述中，它在y軸右側(cè)，涉及到兩個(gè)距離，其一是點(diǎn)Q到拋物線對(duì)稱軸的距離d1，其二是點(diǎn)Q到直線CD的距離d2，因此需要考慮點(diǎn)Q在不同位置下，距離的表示不同，所以需要分類討論：

Q在對(duì)稱軸左側(cè)
Q在對(duì)稱軸右側(cè)
CD上方
CD下方
CD上方
CD下方

由于點(diǎn)C在y軸上，因此只剩下三類需要討論，分別對(duì)應(yīng)的t范圍是0 2，下面我們分別來(lái)寫d關(guān)于t的函數(shù)解析式：

②對(duì)于分段函數(shù)的圖象，學(xué)生作圖要求比較高，由于是草圖，首先要能分別繪制每一段函數(shù)圖象，并確定各自的自變量范圍，其次要明確分界點(diǎn)(線)，最后是求出各函數(shù)分支與x軸、直線y=1的交點(diǎn)；

在0

在1

在t>2范圍內(nèi)，d=-1/4t2+3/2t-1與x軸的交點(diǎn)是(3+√5,0)，與y=1交點(diǎn)為(2,0)，(4,0)；

依據(jù)上述信息作草圖如下：

請(qǐng)注意，d≠0，但d可以是1，因此，滿足0

解題反思

對(duì)于二次函數(shù)的教學(xué)要求，我們先來(lái)讀新課標(biāo)，如下圖：

作為二次函數(shù)壓軸題，無(wú)論難度如何，都是按課標(biāo)要求命題，本題也不例外。其中針對(duì)畫函數(shù)圖象，很多老師也在平時(shí)教學(xué)中注重課堂上學(xué)生的動(dòng)手操作，但依然存在面對(duì)本題第3問(wèn)，作圖出現(xiàn)困難，這個(gè)教學(xué)上的問(wèn)題如何解決？

在張欽博士工作室系列研題視頻中，至少有10位以上的老師在反思中提到了學(xué)生作圖，也不止一次提到了平時(shí)教學(xué)中要多讓學(xué)生作圖，只是個(gè)人認(rèn)為，似乎還缺少了一點(diǎn)什么。這道題我給自已班學(xué)生也做過(guò)，并且站在部分學(xué)生旁邊看著他們作圖，經(jīng)過(guò)觀察之后，才發(fā)現(xiàn)作圖能力的培養(yǎng)，并不是簡(jiǎn)單的“多畫”就能解決，單純的時(shí)間累加，并不能促進(jìn)學(xué)生作圖能力的成長(zhǎng)，關(guān)鍵在于對(duì)函數(shù)概念和圖象的深刻理解。

作圖之前必先算，這是原則，這個(gè)所謂算，包括特殊點(diǎn)坐標(biāo)、特殊線段長(zhǎng)、特殊解析式等，而是否“特殊”則依賴于對(duì)函數(shù)概念的理解，例如頂點(diǎn)、坐標(biāo)軸上的交點(diǎn)等。

我想起曾經(jīng)課堂上的某個(gè)片段，關(guān)于函數(shù)概念：

函數(shù)是研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系，那什么是變量間的關(guān)系？我們列舉一個(gè)最容易理解的例子，你手里有一個(gè)糖盒，我手里也有一個(gè)，并且我的糖果數(shù)量始終是你的2倍，這就建立了一種關(guān)系，將你我手中的糖果分別作為兩個(gè)變量x、y，則y=2x則是它們之間的關(guān)系，這就是一種函數(shù)關(guān)系；

生活中的實(shí)例可以有很多，關(guān)鍵是用函數(shù)去理解它們，你得想到用它，這和我們多次研題時(shí)，總是在探討學(xué)生如何想到如出一轍，所以我們才不斷研究課堂、研究教材、研究學(xué)生等。

因此，在畫函數(shù)圖象之前，不妨先讓學(xué)生想一下，估一下，你的圖可能畫成什么樣？打個(gè)樣在旁邊，再正式開始畫，當(dāng)你按列表、描點(diǎn)、連線的規(guī)范步驟完成之后，再和旁邊打的樣對(duì)比，這個(gè)過(guò)程就是培養(yǎng)作圖思維的過(guò)程。其實(shí)作為老師用幾何畫板用圖，本質(zhì)是一樣的，我自已解題，也是徒手作圖，然后才到電腦上去作圖，去驗(yàn)證一些徒手完成不了的步驟。

關(guān)于分段函數(shù)，新課標(biāo)中也有它的例題，如下圖：

對(duì)于每個(gè)界點(diǎn)，我們需要明確它的實(shí)際意義，而在本題中，也是同樣的要求，分段函數(shù)的分支中是一次函數(shù)、二次函數(shù)或反比例函數(shù)，都可以用于命題。

上圖中有一句話頗有深意，“在許多情況下，有效的教學(xué)不僅能從條件推演結(jié)果，也可從結(jié)果想象條件?！边_(dá)到這個(gè)層次，我覺得函數(shù)就學(xué)得不錯(cuò)了。