數(shù)學(xué)情景中的函數(shù)眼光

2023年江西省中考數(shù)學(xué)第23題

由于俗務(wù)繁多，非常遺憾地錯(cuò)過了陳莉紅老師的講座，不過很幸運(yùn)的是，互聯(lián)網(wǎng)的強(qiáng)大記憶幫助我找到了2021-2023年江西省中考數(shù)學(xué)的試卷，既然能從研題中找到教學(xué)的真諦，那么從試卷去反演那場講座，也具備一定的可行性。江西省的全省統(tǒng)一中考是從2021年開始，至今已經(jīng)過了3年，簡單回顧前面幾年的壓軸題，2021年是從課本中三角形內(nèi)角和的剪拼三角形出發(fā)，2022年是直角三角板和正方形紙片的綜合實(shí)踐活動(dòng)，2023年則是正方形與直角三角形的綜合實(shí)踐活動(dòng)，可以明確地看出，作為全卷壓軸題，江西省選擇的是綜合與實(shí)踐素材，非常具有地方特色，并且已經(jīng)堅(jiān)持了三年。

情景這個(gè)詞，現(xiàn)在屬于教育熱門詞，數(shù)學(xué)情景則是指數(shù)學(xué)活動(dòng)的環(huán)境，產(chǎn)生數(shù)學(xué)行為的條件。雖然很多非專業(yè)人士眼里，只有生活情景才是情景，然而數(shù)學(xué)本身來源于生活，同樣也有豐富的數(shù)學(xué)情景，并且更有數(shù)學(xué)味道。

新課標(biāo)中對(duì)綜合與實(shí)踐描述如下：

題目

解析：

01

(1)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，CP=t

①當(dāng)t=1時(shí)，則CP=1，在Rt△PCD中，由勾股定理求得DP2=1+2=3，故S=3；

②思路不變，依然在Rt△PCD中，由勾股定理得S=DP2=t2+2，故函數(shù)解析式為S=t2+2；

此處并未要求寫出自變量t的取值范圍，因?yàn)楸拘☆}僅需要從圖1中獲取信息，事實(shí)上BC長度可根據(jù)圖2中信息求出.

02

(2)點(diǎn)P在線段AB上，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)為起點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)為終點(diǎn).

對(duì)照圖2中的拋物線，可知P、B重合時(shí)，S=6，即DP2=6，從而利用勾股定理，在Rt△DBC中求出BC=2，于是求出t=2；

或者利用前面已經(jīng)得到的S=t2+2，將S=6代入，同樣可求出t=2；

圖2中的拋物線可以看出頂點(diǎn)為(4,2)，不妨設(shè)其解析式為S=a(t-4)2+2，代入(2,6)，求出a=1，即S=(t-4)2+2；

當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，S=18，代入解析式中，求得t=8，說明8s后，P到達(dá)A處，則在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6s，因此AB=6；

03

(3)我們首先來完善S關(guān)于t的函數(shù)解析式：

當(dāng)0≤t<2時(shí)，S=t2+2；當(dāng)2≤t≤8時(shí)，S=(t-4)2+2

顯然這是一個(gè)分段函數(shù)，而且是兩條形狀相同的拋物線，作圖如下：

若存在3個(gè)時(shí)刻，對(duì)應(yīng)的正方形面積均相等，解讀這句話的含義，我們得回到左圖情景中，當(dāng)點(diǎn)P在CB和AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，正方形的邊長DP長度在不斷變化，大體變化趨勢從直觀上可以觀察出來，從C到B的過程中，DP不斷變長，而從B到A的過程中，先變短，到最短處后又變長；

從幾何角度來具體分析，在BC上存在一處，在AB上存在兩處，DP長度相等，即我們?nèi)绻訢為圓心，適當(dāng)長為半徑作圓，與線段BC有一個(gè)公共點(diǎn)，與線段AB有兩個(gè)公共點(diǎn)，如下圖：

在上述變化過程中，圓D的半徑?jīng)Q定了它與線段BC、AB的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，即面積相等的時(shí)刻。

從函數(shù)角度來分析，在畫出分段函數(shù)之后，存在3個(gè)時(shí)刻，即意味著作一條水平直線，與這個(gè)函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，這要直線最低到拋物線頂點(diǎn)處，最高到分段函數(shù)的界點(diǎn)處，如下圖：

這兩段拋物線，開口方向和開口大小均相同，則它們一定關(guān)于直線x=2軸對(duì)稱，而橫坐標(biāo)為t1和t2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)恰好分別在左右分支上，且關(guān)于x=2軸對(duì)稱，因此它們的中點(diǎn)橫坐標(biāo)正是2，因此利用中點(diǎn)公式求出t1+t2=4；

同理，在右分支拋物線上，我們還可以得到t2+t3=8，再加上題目條件給的t3=4t1，可組成一個(gè)三元一次方程組，當(dāng)然我們只需要求出t1即可，得t1=4/3，所以此時(shí)的正方形DPEF的面積為t2+2=34/9.

解題反思

在2024年湖北省統(tǒng)一中考模擬演練第24題，也是同樣的函數(shù)思想，不禁令人聯(lián)想，是否在即將到來的省考中，函數(shù)思想究竟以何處形式呈現(xiàn)？

本題是典型的雙圖類型，圖1是情景，圖2是函數(shù)圖象，這種類型的題目在函數(shù)概念教學(xué)中時(shí)常出現(xiàn)，目的是引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形的變化，并嘗試以函數(shù)視角去理解這種變化，這種數(shù)學(xué)眼光正是核心素養(yǎng)要求具備的，所以這道題的教學(xué)導(dǎo)向非常明確，符合新課標(biāo)要求。

在第3小題中，學(xué)生可以從幾何運(yùn)動(dòng)角度去還原整個(gè)過程，也可以更進(jìn)一步，將其背后的函數(shù)圖象作出來，這是兩種不同程度的理解，學(xué)生需要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，這種能力也是核心素養(yǎng)呈現(xiàn)之一。

于是在平時(shí)教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的這種能力？

以一篇甘肅蘭州張寶瑛老師的論文來開啟思考：