試題研究與改編

菱形背景下的旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱

臨近中考，在給學(xué)生講幾何綜合題的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)不少優(yōu)秀的試題，解完練完講完之后，意猶未盡，嘗試深入理解命題者意圖，并結(jié)合自已的教學(xué)，對(duì)題目進(jìn)行改編，是幾何命題的必經(jīng)之路。

要達(dá)到完全原創(chuàng)一道優(yōu)秀的幾何綜合題，是很難的一件事，有時(shí)自已想了半天的點(diǎn)子，卻發(fā)現(xiàn)網(wǎng)上早已有人想到了，所謂再快也有比你更快的，誠(chéng)不欺我也。

本題原型是2024年朝陽(yáng)區(qū)一模第27題，圖形簡(jiǎn)潔，解法眾多，難度中等，在原型基礎(chǔ)上，進(jìn)行了適當(dāng)?shù)耐卣?，限于本人水平，不敢說(shuō)錦上添花，只要不是畫蛇添足就好。

原題呈現(xiàn)

如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是CD上一點(diǎn)（不與C，D重合），將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AF，連接DF，連接BF交AC于點(diǎn)G.

（1）依據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；

（2）求證：GB=GF；

（3）用等式表示線段BC，CE，BG之間的數(shù)量關(guān)系.

解析：

0 1

(1)作圖如下：

0 2

(2)多數(shù)學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)其中的一對(duì)全等三角形，△ACE≌△ADF，然后便不知所措了，我們不妨觀察這對(duì)全等三角形到底能起什么作用？除了對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，還需要更進(jìn)一步思考它們帶來(lái)的更多位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。

方法一：

由于菱形中含120°角，所以對(duì)角線AC能將菱形成成兩個(gè)等邊三角形，于是由∠ACE=∠ADF=60°，再結(jié)合∠CAD=60°，得DF∥AC，聯(lián)想到菱形對(duì)角線互相垂直，不妨連接BD，則可得DF⊥BD，如下圖：

因此在Rt△BDF中，由于AC是菱形的對(duì)稱軸，所以BG=DG，所以∠GBD=∠GDB，而∠GDB+∠GDF=90°，∠GBD+∠GFD=90°，所以∠GDF=∠GFD，即DG=FG，我們得到了斜邊上的中線DG，等量關(guān)系建立起來(lái)了，最后得到GB=GF.

方法二：

過(guò)點(diǎn)D作DH∥BF，如下圖：

仍然由△ACE≌△ADF，得∠ACE=∠ADF=60°，而∠CAD=60°，因此∠CAD=∠ADF，所以AC∥DF，于是得到平行四邊形DFGH，所以DH=FG，再證明一次全等，△ABG≌△CDH，所以BG=DH=FG.

0 3

(3)在前面方法一中，我們已經(jīng)得到Rt△BDF，如下圖：

△BCD是含120°等腰三角形，于是BD=√3BC，CE=DF，BF

=2BG，所以由勾股定理得BD2+DF2=BF2，所以3BC2+CE2=4BG2.

解題反思

本題第二問(wèn)還有更多解法，圍繞菱形性質(zhì)，結(jié)合軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)變換的方式很多，不再一一一列舉。

在完成第三問(wèn)的解答之后，感覺(jué)意猶未盡，應(yīng)該還能就原題條件挖掘更多結(jié)論出來(lái)，于是便有了以下拓展：

(4)當(dāng)DF=AG時(shí)，求tan∠CAE的值.

我們不妨恢復(fù)原來(lái)的輔助線，連接BD，我們依然可以證明OG是△BDF的中位線，所以設(shè)OG=t，則DF=2t，所以AG=2t，OA=3t，因此AC=6t，我們?cè)龠^(guò)點(diǎn)E作AC的垂線，構(gòu)造出求三角函數(shù)所需的直角三角形△AEH，如下圖：

其中CE=DF=2t，Rt△CEH是特殊直角三角形，可求出CH=t，EH=√3t，然后AH=AC-CH=5t，最后求出tan∠CAE=√3/5.

本題中的菱形，是特殊菱形，教材中對(duì)菱形的對(duì)稱性有如下描述：

所以當(dāng)菱形中出現(xiàn)一個(gè)120°角的時(shí)候，整個(gè)菱形立刻可以被對(duì)角線分成等邊三角形，特殊等腰三角形，特殊直角三角形，而它們之間的邊角關(guān)系幾乎全部可以相互關(guān)聯(lián)，所以造成第2問(wèn)的解法非常多，在推導(dǎo)過(guò)程中，盡量多利用軸對(duì)稱，比起用全等更方便。

第1問(wèn)只需要作圖，第2問(wèn)則需要去探索邊角關(guān)系中最特殊的一種，第3問(wèn)其實(shí)是在第2問(wèn)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究更多數(shù)量關(guān)系，第4問(wèn)則是在特定條件下，求特殊比值。

由特殊到一般，再由一般回歸到特殊。