旋轉(zhuǎn)中尋找數(shù)量關(guān)系

2024年西城區(qū)二模第27題

初中幾何三大基本變換：平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)，其中旋轉(zhuǎn)變換要素最多，包括旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角，任何一個(gè)元素發(fā)生變化，則圖形的變化便越豐富，同時(shí)旋轉(zhuǎn)又多與圓相關(guān)，因此在各地中考幾何壓軸題中出現(xiàn)的概率較大。

在旋轉(zhuǎn)過程中，原圖形中的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化，于是在這些變化中尋找特定的關(guān)聯(lián)，極考驗(yàn)學(xué)生的構(gòu)圖能力，通常題目會(huì)給出備用圖或參考圖，學(xué)生用繪圖工具按要求作圖（不一定是尺規(guī)作圖），在這個(gè)過程中，事實(shí)上是更深入審題，作圖前必須要先演算。

在今天下午的備課過程中，組內(nèi)四名老師分別給出了四種不同的解法，充分體現(xiàn)了本題入口寬的特點(diǎn)，同時(shí)這四種解法又具備同質(zhì)性，多解歸一后再細(xì)讀命題意圖，研究教學(xué)中如何從旋轉(zhuǎn)中尋找數(shù)量關(guān)系，最終回到課堂教學(xué)。

題目

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α（0° <α<30°）.將射線ab繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到射線l，射線l與直線bc的交點(diǎn)為點(diǎn)m.在直線bc上截取md=ab（點(diǎn)d在點(diǎn)m右側(cè)），將直線md繞點(diǎn)d順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α所得直線交直線am于點(diǎn)e.<>

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，補(bǔ)全圖形并求此時(shí)∠AED的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段ME與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

解析：

01

(1)第1小問可以秒掉，前提是作圖準(zhǔn)確并且對(duì)邊角關(guān)系非常熟悉；

由于B、D重合，因此△ABM為等腰三角形，于是∠AMC=2α，列方程求得α=18°，所以∠AED=4α=72°；

02

(2)作圖如下：

最容易想到的是將△DEM“搬”到AB處，畢竟MD=AB且∠MDE=∠BAE=2α，因此我們選擇在AM上截取AF=DE，如下圖：

方法一：

同時(shí)延長BC至點(diǎn)G，使CG=BC，再連接FG和AG，這樣可得到△DEM≌△AFB，證明了ME=BF，剩下的任務(wù)就是證明BF=BG；

先求出∠AMC=90°-3α，∠ABC=90°-α，由全等求出∠ABF=90°-3α，于是∠FBG=180°-4α，而∠FAG=4α，所以∠FBG+∠FAG=180°，于是A、F、B、G四點(diǎn)共圓，∠BGF=∠BAF=2α，∠BFG=∠BAG=2α，即△BFG是等腰三角形，BF=BG，所以最后得到ME=2BC；

方法二：

在方法一的基礎(chǔ)上稍加改進(jìn)，截取的AF放到邊AG上，如下圖：

類似方法一，不再重復(fù)；

方法三：

既然構(gòu)造全等三角形能夠?qū)E轉(zhuǎn)向2BC，那自然也能夠?qū)?BC轉(zhuǎn)向ME，我們延長DE至點(diǎn)K，使DK=DM，如下圖：

等腰△DMK≌等腰△ABG，則MK=BG=2BC，然后求得∠K=90°-α，同時(shí)∠AED=∠AMC+∠MDE=90°-α，于是∠K=∠AED=∠MEK，所以ME=MK=2BC；

方法四：

與方法三類似，如下圖：

具體證明過程略過，有興趣的讀者可以嘗試。

解題反思

這一類的幾何綜合題壓軸題，都強(qiáng)調(diào)補(bǔ)全圖形，這對(duì)于學(xué)生作圖操作提出了一定要求，雖然學(xué)生在平時(shí)課堂上也會(huì)作圖，但目前有一種不好的教學(xué)方式，就是大量用教師演示去代替學(xué)生操作，在這種看似“高效”的課堂上，學(xué)生被迫用眼睛而不是雙手去體驗(yàn)作圖，這與新課標(biāo)要求嚴(yán)重不符，長此以往，手上生疏，帶來的是思維上的缺漏。

本題主要是利用構(gòu)造全等三角形來完成圖形間的數(shù)量關(guān)聯(lián)，學(xué)生通過作圖，猜想線段間的數(shù)量關(guān)系，然后用推理去證明猜想，這個(gè)過程與數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)歷的東西完全一樣，即這類通過動(dòng)手操作，獲得數(shù)學(xué)體驗(yàn)，進(jìn)而進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，數(shù)學(xué)推理，同樣也是項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的內(nèi)核，即歸納為，用數(shù)學(xué)去對(duì)待世界。