幾何推理的邏輯

2024年海淀區(qū)二模第27題

數(shù)學(xué)是一門講求邏輯的學(xué)科，無(wú)論是學(xué)習(xí)還是教學(xué)，教與學(xué)中的邏輯，最終通過(guò)學(xué)生解題呈現(xiàn)其思維是否具備嚴(yán)密的邏輯。在新課標(biāo)第67頁(yè)中關(guān)于定義、命題、定理的要求中，明確寫出了“知道數(shù)學(xué)要合乎邏輯”，并給出了例78來(lái)說(shuō)明，如下圖：

當(dāng)然，這里并非要研究邏輯學(xué)的內(nèi)涵，也無(wú)此必要，主要是針對(duì)幾何綜合題中，部分學(xué)生在思維邏輯上容易犯的錯(cuò)，以及由此產(chǎn)生的一系列偽證，扒一扒那些看上去正確解答的背后，到底錯(cuò)在哪里，從而更深入理解題目、理解幾何、理解數(shù)學(xué)。

題目

在△ABC中，AB=AC，∠BAC<60°，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A、C重合），連接BD，平移線段BD，使點(diǎn)B移到點(diǎn)C，得到線段CE，連接DE.

(1)在圖1中補(bǔ)全圖形，若∠BAC=2∠E，求證：∠CBD與∠CDE互余；

(2)連接AE，若AC平分∠BAE，用等式表示∠CBD與∠BAE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

解析：

01

(1)作圖如下：

線段CE是由線段BD平移得到，由平移的性質(zhì)，BD∥CE且BE=CE，因此可證明四邊形BCED是平行四邊形，于是∠E=∠CBD=x，而在等腰△ABC中，頂角∠BAC=2x，可求其底角∠BCD=90°-x，所以∠CBD+∠BCD=90°，而平行四邊形BCED中，DE∥BC，可得∠BCD=∠CDE，所以∠CBD與∠CDE互余；

02

(2)作圖如下：

我們先捋一下條件：△ABC是等腰三角形，四邊形BCED是平行四邊形，AC是∠BAE的角平分線；

需要探究數(shù)量關(guān)系的兩個(gè)角分別是∠CBD和∠BAE，其中∠CBD是平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角，而∠BAE則被AC分成了相等的兩部分∠BAC和∠EAC；

不妨設(shè)BE、CD相交于點(diǎn)O，對(duì)于△ABE，AO是其一邊上的中線，同時(shí)也是∠BAE的角平分線，這極易令人想起等腰三角形中的“三線合一”，但是，△ABE是等腰三角形嗎？題目現(xiàn)有條件并未說(shuō)明，所以，我們的探究從它是否等腰三角形開始，如下圖：

方法一：

由于平行四邊形BCED是中心對(duì)稱圖形，因此我們過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，這樣就能將∠BAC轉(zhuǎn)移到∠EFD處，由于∠BAC=∠EAC，所以∠EFD=∠EAC，得AE=EF；

由平行四邊形BCED得BC=ED，∠ACB=∠FDE，再加上∠BAC=∠EFD，利用AAS判定△ABC≌△FED，則AB=EF，所以得到AB=AE，現(xiàn)在△ABE是等腰三角形了，AO是它的對(duì)稱軸，所以AO是BE的垂直平分線，于是BD=ED，四邊形BCED是菱形；

對(duì)于△BCD，它也是等腰三角形，并且有一個(gè)底角與△ABC底角重合，所以△BCD∽△ABC，所以∠BAC=∠CBD，于是∠BAE=2∠CBD；

方法二：

分別過(guò)點(diǎn)O向AB、AE作垂線OG和OH，如下圖：

由于AO是∠BAE角平分線，所以O(shè)G=OH，然后在Rt△BOG和Rt△EOH中，利用HL可證其全等，則∠GBO=∠HEO，所以AB=AE，同樣可得等腰△ABE，后面的推導(dǎo)同方法一；

解題反思

在學(xué)生解題過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)有幾種偽證值得注意：

偽證一：由AO是∠BAE角平分線，并且AO是BE中點(diǎn)，得到△ABE是等腰三角形；

這種思路的錯(cuò)誤之處在于，將等腰三角形“三線合一”的條件和結(jié)論顛倒了，我們是先有等腰三角形，再有“三線合一”，事實(shí)上一個(gè)三角形一邊上的中線與其對(duì)角的角平分線重合，能說(shuō)明它是等腰三角形，但不能直接得到，需要證明，如下圖：

若△ABC中，AD平分∠BAC且點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，我們過(guò)點(diǎn)D分別向AB、AC作垂線DE和DF，由角平分線定理可知DE=DF，然后在Rt△BDE和Rt△CDF中，利用HL可證其全等，這才有∠B=∠C，最終AB=AC；

這也是前面方法二的主要思路。

若不作這兩根垂線，直接想證明△ABD≌△ACD，實(shí)際上用的是SSA，這是錯(cuò)誤的。

偽證二：

作圖如下：

他的作圖是這樣的，過(guò)點(diǎn)B作BO⊥AC，延長(zhǎng)BO至點(diǎn)E，使OE=OB，再連接DE和CE；

理由是BD平移至CE，得平行四邊形BCED，然后對(duì)角線互相垂直，可得菱形BCED，從而AC是BE的垂直平分線，得到等腰△ABE……

顯然這并不符合題目中描述的作圖順序，盡管最終得到的圖形與前面方法一中的圖形一樣，但順序不同，意味著這些幾何元素間的邏輯不同，相當(dāng)于“自我創(chuàng)造”了一道新的題目。

原題中給出的作圖順序是①先平移BD至CE，得平行四邊形BCED；②連接AE，給出條件AC平分∠BAE，再去探索∠BAE與∠CBD的關(guān)系；

而這位同學(xué)的作圖順序是①先平移BD至CE，得平行四邊形BCED；②“調(diào)整”平行四邊形為菱形BCED；把本題中最為精華的部分——證明等腰△ABE，完美規(guī)避掉了……

諸如此類的錯(cuò)誤在平時(shí)練習(xí)中還很多，例如在作輔助線時(shí)，連接AB，使AB⊥CD等，說(shuō)明學(xué)生在審題時(shí)，對(duì)圖形各元素間的關(guān)系沒(méi)有理解清楚，僅憑看上去像，就得到相應(yīng)的結(jié)論，或者把自已需要的結(jié)論假設(shè)成立，再在這個(gè)假設(shè)基礎(chǔ)上推導(dǎo)，形成了循環(huán)證明。

無(wú)論是證明還是作圖，內(nèi)在邏輯非常重要，我們的平時(shí)課堂上進(jìn)行作圖操作時(shí)，盡量解釋操作步驟以及為什么這樣作圖，并且教學(xué)語(yǔ)言要嚴(yán)格遵守規(guī)范，越是簡(jiǎn)單的問(wèn)題，越不可跳步驟，要知道“道高一尺，魔高一丈”，老師偷的懶，學(xué)生會(huì)加倍償還。