反演構(gòu)圖解壓軸

2024年成都市中考數(shù)學(xué)第26題

通常情況下選擇幾何綜合題壓軸的考卷，難度不會很低，2024年成都市中考數(shù)學(xué)第26題，取材于數(shù)學(xué)活動，層層設(shè)置問題，在幾何情景中探究數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，對學(xué)生構(gòu)圖能力要求較高。

本題組成圖形極為簡單，兩個(gè)邊長為3，4，5的直角三角形，繞其中一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在這個(gè)過程中，首先經(jīng)歷特殊位置關(guān)系，求線段長，然后探究新的直角三角形存在性。在這個(gè)過程中，需要學(xué)生通過作圖確定直角三角形，從而完成解答，考察了學(xué)生基本作圖能力。

由于圖形是動態(tài)的，并且在運(yùn)動過程中探究存在性問題，因此如何準(zhǔn)確作圖非常關(guān)鍵，盡管我們解題時(shí)可以用草圖來近似構(gòu)圖，但在解題之后，仍然需要多問自已，能否準(zhǔn)確作圖，這不禁令人想起了前不久張欽博士的那節(jié)示范課，其中提到了反演原理，因此借助本題解題思考，來加深對圖形的理解。

題目

數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的直角三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).已知三角形紙片ABC和ADE中，AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°.

【初步感知】

(1)如圖1，連接BD，CE，在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究BD:CE的值；

【深入探究】

(2)如圖2，在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在△ABC的中線BM的延長線上時(shí)，延長ED交AC于點(diǎn)F，求CF的長；

【拓展延伸】

(3)在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究C，D，E三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形，若能，直接寫出所有直角三角形CDE的面積；若不能，請說明理由.

解析：

01

(1)如下圖：

△ABD∽△ACE，且相似比為3:5，故BD：CE=3：5;

02

(2)由于BM是Rt△ABC斜邊上的中線，所以極易聯(lián)想到斜邊上的中線等于斜邊的一半，所以我們可得到兩個(gè)等腰三角形，分別是△ABM和△BCM，同時(shí)由于旋轉(zhuǎn)，同樣可得△ABD是等腰三角形，并且和△ABM還有一個(gè)公共角，于是本小題突破口就此打開，如下圖：

△AMB∽△BAD，可以得對應(yīng)邊成比例，即AB:BD=MA:AB，得AB2=BD·MA，可求出BD=3.6；

由相似三角形還可以得到∠MAB=∠ADB，由旋轉(zhuǎn)可知∠MAB=∠EAD，于是∠EAD=∠ADB，證明了DM∥AE；

借助這組平行線，我們得到第二組相似，△FMD∽△FAE，得比例線段FM:FA=DM:EA，不妨設(shè)FM=x，則x:(x+2.5)=(3.6-2.5):5，求出x=55/78，最后CF=CM-FM=70/39；

另一種思路：

連接CE，類比第1問，如下圖：

依然有△ABD∽△ACE，∠ABD=∠ACE，又∠ABD+∠MBC=90°，且∠MBC=∠MCB，所以∠MCB+∠ACE=90°，即CE⊥BC，不妨過點(diǎn)A作AG⊥CE，在等腰△ACE中，由三線合一得點(diǎn)G是CE中點(diǎn)，易證矩形ABCG，得CG=AB=3，于是CE=6，再利用△ABD∽△ACE，相似比為3:5，求出BD=3.6；

后續(xù)解答同方法一，不再重復(fù)；

03

(3)本問的難點(diǎn)在于作圖，而作圖難點(diǎn)在于構(gòu)思，想不到所以作不出圖是很正常的，這也是區(qū)分學(xué)生能力的重要依據(jù)。

我們先從常規(guī)作圖開始，用草圖來解題，然后探究有無更高效的作圖方法，最后研究作圖原理。

在旋轉(zhuǎn)過程中，△CDE可能成為直角三角形；

①∠DCE=90°時(shí)，如下圖：

在等腰△ACE中，我們作AG⊥CE，由三線合一得點(diǎn)G是CE中點(diǎn)，再加上∠DCE=90°，可證GH∥CD，則GH是△CDE中位線，即點(diǎn)H是DE中點(diǎn)；

我們?nèi)菀椎玫健鰽DH∽△ECD，其中AD=3，DH=2，于是EC:CD=3:2，在Rt△CDE中，設(shè)EC=3k，CD=2k，根據(jù)勾股定理得9k2+4k2=16，故k2=16/13，可求得△CDE面積為1/2·3k·2k=3k2=48/13；

②∠CDE=90°且點(diǎn)D在邊AC上，如下圖：

這種情形相對容易求，CD=5-3=2，DE=4，則△CDE面積為4；

③∠CDE=90°且點(diǎn)D在邊AC延長線上，如下圖：

這種情形也不算難，CD=5+3=8，DE=4，則△CDE面積為16；

③∠CED=90°，如下圖：

過點(diǎn)A作AG⊥CE，易證矩形ADEG，且點(diǎn)G是CE中點(diǎn)，于是CE=6，DE=4，則△CDE面積為12.

綜上，△CDE面積為48/13，4，16，12.

解題思考

繼續(xù)第3問的作圖思考，在我自已解題或?qū)W生解題過程中，通常是作草圖，大致估測合適的位置，只要看上去像直角，便確定旋轉(zhuǎn)后△ADE的位置，然后連接CD，CE，得到某種情形下的圖形，用于解題沒問題，但如果進(jìn)一步作出準(zhǔn)確的圖，則上述方法行不通了。

我們重新審題，△ABC和△ADE，題目中描述是“其中一個(gè)紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”，這個(gè)頂點(diǎn)已經(jīng)確定是點(diǎn)A，但并未強(qiáng)調(diào)是哪個(gè)三角形繞另一個(gè)旋轉(zhuǎn)，只不過在每個(gè)小問前面的描述中，“在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中”令我們先入為主地將△ABC“固定”住了，去旋轉(zhuǎn)△ADE，所以在精確作圖時(shí)遇到了障礙；

其實(shí)命題者已經(jīng)留下了空間，促使我們在構(gòu)圖時(shí)不拘泥于舊有印象，所以我們調(diào)整下旋轉(zhuǎn)主體，將△ADE“固定”，將△ABC繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到某處，使得△CDE為直角三角形；這樣我們就只需要觀察△ADE的頂點(diǎn)D和E，以及繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)C，由于旋轉(zhuǎn)過程中AE始終等于AC，所以點(diǎn)C在以A為圓心，半徑為5的圓上，如下圖：

將觀察焦點(diǎn)集中于頂點(diǎn)C，D，E上，可以發(fā)現(xiàn)，幾乎不用管點(diǎn)B在何處，問題轉(zhuǎn)化成已知線段DE，點(diǎn)C在圓A上，當(dāng)點(diǎn)C位于何處時(shí)，△CDE是直角三角形？

這個(gè)問題是我們已經(jīng)解決過的，可以用“兩線一圓”來解決，即分別過點(diǎn)D、E作DE的垂線，構(gòu)造以D、E為直角頂點(diǎn)的直角三角形，再以DE為直徑作圓，構(gòu)造以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，如下圖：

經(jīng)過測量，這四處位置均為直角，完成了精確作圖.

事實(shí)上，第3問解法中的圖，也是基于這種方法，用軟件作圖，幾何畫板或GGB都能很好地完成，有興趣的老師們可以嘗試操作一下。

最后我們需要研究的是，為什么我們旋轉(zhuǎn)△ADE作草圖，和旋轉(zhuǎn)△ABC精確作圖，結(jié)果是一樣的？我們?nèi)绾巫寣W(xué)生理解這種一致性？

回到題目本身的描述中來，正如前面所分析，命題者并未強(qiáng)調(diào)哪張紙片繞另一張紙片旋轉(zhuǎn)，因此無論“固定”哪個(gè)三角形，結(jié)論應(yīng)該是完全相同的，在每個(gè)小問的描述中，如果去掉“紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中”，改為“其中一張紙片繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中”，就沒有固化作圖思維了，當(dāng)然以上僅為個(gè)人看法；

在解題過程中，學(xué)生一定會面臨“存在幾種情況”的疑惑，盡管可以依靠較強(qiáng)的想像力去估測可能的情形，但要準(zhǔn)確知道結(jié)果，仍然需要反演構(gòu)圖，這也是一種逆向思維。

在解題教學(xué)中，不妨多準(zhǔn)備幾個(gè)備用圖，讓學(xué)生用手頭的工具去畫，去嘗試，再相互交流，大膽猜想，小心驗(yàn)證，然后思考為什么。

在教師自已研題時(shí)，雖然我們可以借助軟件作圖，但用軟件之前，仍然需要對圖形結(jié)構(gòu)有清晰的認(rèn)知，以本題為例，若不是采用反演作圖，恐怕也得靠鼠標(biāo)拖動一個(gè)大致位置，在這種情況下，89.99°和90°區(qū)別很大。