動(dòng)中覓靜究其理

2024年成都中考數(shù)學(xué)第25題

在2024年各地中考數(shù)學(xué)卷的二次函數(shù)壓軸題中，含參與動(dòng)點(diǎn)幾乎是一種伴生現(xiàn)象，對于含參二次函數(shù)，多數(shù)情況下困難在于作圖，若不能作出函數(shù)圖象，或者想像不出對應(yīng)的函數(shù)圖象，這種綜合題對于多數(shù)中等生幾乎就無解了。

一般情況下，這一類問題的解決，需要學(xué)生首先理解無參二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，然后引入新的參數(shù)后，思考參數(shù)會(huì)引發(fā)圖象哪些變化，并歸納總結(jié)出若干經(jīng)驗(yàn)，再利用這些經(jīng)驗(yàn)去解決新的含參問題。

2024年成都中考數(shù)學(xué)第25題，是典型的含參動(dòng)點(diǎn)二次函數(shù)綜合題，難點(diǎn)雖然在第3問，但第2問也很有意思，解法眾多，特別是用反演原理的獨(dú)特解法，可極大簡化計(jì)算，是一道優(yōu)秀的壓軸題。

題目

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線L:y=ax2-2ax-3a(a>0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，其頂點(diǎn)為C，D是拋物線第四象限上一點(diǎn).

(1)求線段AB的長；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，若△ACD的面積與△ABD的面積相等，求tan∠ABD的值；

(3)延長CD交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)AD=DE時(shí)，將△ABD沿DE方向平移得到△A'B'E，將拋物線L平移得到拋物線L'，使得點(diǎn)A'，B'都落在拋物線L'上，試判斷拋物線L‘與L是否交于某個(gè)定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

解析：

01

(1)將解析式寫成交點(diǎn)式：y=a(x+1)(x-3)，便可得到A(-1,0)，B(3,0)，于是AB=4；

02

(2)作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)M，連接MC，過點(diǎn)A作AD∥MC，AD與拋物線交于點(diǎn)D，如下圖：

這是如何想到的？原理是等高轉(zhuǎn)等距.

假設(shè)我們找到了合適的點(diǎn)D，使△ACD和三角形ABD面積相等，則過點(diǎn)B向AD作高，再過點(diǎn)C向AD作高，它們應(yīng)該是等高，過點(diǎn)B作的那條平行線(虛線)與AD，MC正好構(gòu)成一組平行線，它們間的距離相等，不妨過點(diǎn)A作AD垂線，則AF，AG可作為△ABD和△ACD的高，如下圖：

則我們?nèi)菀鬃C明△ABF≌△AMG，于是自然也能證明AB=AM，所以D點(diǎn)若存在，則上圖一定也存在，那么我們可以反演作圖，先確定點(diǎn)M，再確定點(diǎn)D；

當(dāng)a=1時(shí)，由M(-5,0)，C(1,-4)，先求出MC解析式為y=-2/3x-10/3，不妨設(shè)AD為y=-2/3x+b，代入點(diǎn)A坐標(biāo)，求出AD解析式為y=-2/3x-2/3，再與拋物線聯(lián)立得方程：-2/3x-2/3=x2-2x-3，解得x1=-1，x2=7/3，于是點(diǎn)D(7/3,-20/9)；

接下來的求解就很簡單了，過點(diǎn)D向x軸作垂線DK，如下圖：

根據(jù)D(7/3,-20/9)和B(3,0)，分別求出BK=2/3，DK=20/9，于是tan∠ABD=10/3；

03

(3)先按要求作草圖如下：

按題目敘述條件的順序，我們先解讀AD=DE，可設(shè)D(t,at2-2at-3a)，過點(diǎn)D作DF⊥x軸，則點(diǎn)F(t,0)，在等腰△ADE中，可知點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，因此利用中點(diǎn)公式可寫出點(diǎn)E坐標(biāo)為(2t+1,0)；

請注意，此時(shí)我們已經(jīng)表示出了C、D、E點(diǎn)坐標(biāo)，顯然它們在一條直線上，不妨利用C、E寫出直線解析式，然后再代入點(diǎn)D坐標(biāo)，以期得到參數(shù)t的關(guān)系式，推導(dǎo)如下：

這個(gè)推導(dǎo)結(jié)果說明，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是定值，即點(diǎn)D在直線x=2上；

接著我們來解讀條件“沿DE方向平移”，觀察D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)，D(2,-3a)，E(5,0)，橫坐標(biāo)增加了3，縱坐標(biāo)增加了3a；

△ABD平移至△A'B'E，我們需要關(guān)注的是拋物線L是否也沿DE平移了相同距離，這就是題目中“使得點(diǎn)A'，B'都落在拋物線L'上”的意義，它明白無誤地告訴我們，原拋物線L的頂點(diǎn)C(1,-4a)平移到新頂點(diǎn)C'(4,-a)，于是拋物線L'解析式為y=a(x-4)2-a，它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)分別是(3,0)和(5,0)，所以拋物線L與拋物線L'有一個(gè)公共點(diǎn)(3,0)，即點(diǎn)B.

解題思考

在解決本題第2問的時(shí)候，作圖仍然是難點(diǎn)，按張欽博士示范課中的反演作圖法去構(gòu)圖，基本可以做到“秒殺”，比原參考答案的方法要簡單許多，尤其是第3問，理解平移是關(guān)鍵，平移拋物線只需要關(guān)注它的頂點(diǎn)即可，本質(zhì)上拋物線的平移等價(jià)于頂點(diǎn)的平移，因?yàn)樵谄揭七^程中拋物線的形狀(開口方向和開口大小)不變。

在實(shí)際解題中，我發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生采用的方法是將拋物線L和拋物線L'的解析式聯(lián)立起來，從而得到一個(gè)高次方程，然后無路可走，甚至個(gè)別學(xué)生企圖用解高次方程的方法，且不說這是超標(biāo)內(nèi)容，即便用起來，計(jì)算量也很大，并不是本題推薦解法，個(gè)人也不推薦。

而利用數(shù)形結(jié)合，從函數(shù)本身的性質(zhì)出發(fā)去理解圖形，效果會(huì)好得多，這也進(jìn)一步說明我們在函數(shù)教學(xué)過程中，需要引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)本質(zhì)，即變量間的關(guān)系。

在審題過程中，按題目敘述順序去逐一解讀，有利于形成正確的解題邏輯，當(dāng)然這也與命題要求一致，當(dāng)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D橫坐標(biāo)為定值時(shí)，本小題其實(shí)大部分已經(jīng)出來了。這種解法正是建立在對動(dòng)點(diǎn)類問題原理的理解之上，通常情況下，動(dòng)點(diǎn)問題，我們需要弄清楚誰是動(dòng)點(diǎn)，怎么動(dòng)，帶動(dòng)誰，而在這個(gè)過程中，一定存在不變的量，找準(zhǔn)這個(gè)量，解起來就容易多了。