柳暗花明尋定線

2024年武漢中考數(shù)學(xué)第24題

作為二次函數(shù)綜合壓軸題，2024年武漢中考數(shù)學(xué)第24題頗有難度，尤其是其第3問(wèn)，含參坐標(biāo)較多，結(jié)論卻是定直線，非?？简?yàn)學(xué)生的基本計(jì)算推演，也符合初高銜接要求。

這一類問(wèn)題的求解，除了基本計(jì)算能力之外，更需要對(duì)二次函數(shù)的深入理解，對(duì)其中幾何元素的深入理解，以及對(duì)數(shù)與形關(guān)系的深入理解，這三個(gè)“深入理解”需要我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中去落實(shí)，才能在面臨壓軸題時(shí)，從容不迫。

題目

拋物線y=1/2x2+2x-5/2交x軸于A，B兩點(diǎn)（A在B的右邊），交y軸于點(diǎn)C.

(1)直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

(2)如圖1，連接AC，BC，過(guò)第三象限的拋物線上的點(diǎn)P作直線PQ∥AC，交y軸于點(diǎn)Q，若BC平分線段PQ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2，點(diǎn)D與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，過(guò)原點(diǎn)的直線EF交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（點(diǎn)E在x軸下方），線段DE交拋物線于另一點(diǎn)G，連接FG，若∠EGF=90°，求直線DE的解析式.

解析：

01

(1)點(diǎn)C坐標(biāo)直接觀察得到，(0,-5/2)，將解析式化為交點(diǎn)式，y=1/2(x-1)(x+5)得到點(diǎn)A(1,0)，B(-5,0)；

02

(2)關(guān)鍵詞“平行”和“中點(diǎn)”觸發(fā)構(gòu)造全等三角形的buff，但在坐標(biāo)系中，沿坐標(biāo)軸方向的平行線才是解決本題最需要的，過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸，如下圖：

顯然△PHJ≌△QCJ，于是得到PH=QC，我們利用它來(lái)構(gòu)建方程，設(shè)P(t,1/2t2+2t-5/2)，求出直線BC解析式y(tǒng)=-1/2x-5/2，表示出點(diǎn)H(t,-1/2t-5/2)，這樣就可以表示出PH=-1/2t-5/2-(1/2t2+25-5/2)；

再求出直線AC解析式y(tǒng)=5/2x-5/2，設(shè)PQ解析式為y=5/2x+b，代入P點(diǎn)坐標(biāo)，得PQ解析式為y=5/2x+1/2t2-t/2-5/2，這樣可得到點(diǎn)Q坐標(biāo)(0,1/2t2-t/2-5/2)，于是QC可以表示出來(lái)，QC=1/2t2-t/2-5/2+5/2；

聯(lián)立得方程-1/2t-5/2-(1/2t2+25-5/2)=1/2t2-t/2-5/2+5/2

解得t1=0(舍)，t2=-2，則P(-2,-9/2)；

03

(3)根據(jù)題目給出的條件，目前可以確定的是拋物線解析式y(tǒng)=1/2x2+2x-5/2，點(diǎn)D坐標(biāo)為(0,-5)，∠EGF=90°，或理解為DE⊥FG，如下圖：

直線EF過(guò)原點(diǎn)，則可設(shè)直線EF為y=kx，直線DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，則可設(shè)直線DE為y=mx-5，然后分別用參數(shù)表示出E、F、G三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，這三個(gè)點(diǎn)恰好是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，因此我們需要探究這三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，過(guò)點(diǎn)G作y軸的垂線，再分別過(guò)點(diǎn)E、F作x軸的垂線，如下圖：

我們很容易可以得到EM:GN=GM:FN，推導(dǎo)如下：

解題反思

本題難點(diǎn)在第3問(wèn)，多數(shù)學(xué)生在面對(duì)三個(gè)動(dòng)點(diǎn)多個(gè)參數(shù)的時(shí)候，會(huì)手足無(wú)措，這個(gè)時(shí)候就極考驗(yàn)學(xué)生的應(yīng)變能力，三個(gè)動(dòng)點(diǎn)中，EF過(guò)原點(diǎn)且∠EGF=90°，再加上EG過(guò)點(diǎn)D，事實(shí)上已經(jīng)確定了這三個(gè)點(diǎn)的位置，因此最終所求的直線DE是一條確定的直線。

在解題過(guò)程中，也有學(xué)生列出了過(guò)于復(fù)雜的關(guān)系式，例如用參數(shù)表示出△EFG三邊，然后用勾股定理列出一個(gè)等式，導(dǎo)致次數(shù)太高，在后續(xù)化簡(jiǎn)帶來(lái)極大麻煩。

在面對(duì)多參數(shù)綜合題的時(shí)候，我們需要學(xué)會(huì)抓住關(guān)鍵的等量關(guān)系，同時(shí)需要較強(qiáng)的計(jì)算推理能力，從而得到正確的關(guān)系式，這在未來(lái)學(xué)習(xí)更多函數(shù)知識(shí)的時(shí)候非常重要。