代數(shù)推理求最值

2024年安徽省中考數(shù)學(xué)第23題

學(xué)生在解無圖幾何題或函數(shù)題的時(shí)候，面臨最大的考驗(yàn)就是能否迅速在大腦中構(gòu)圖，這種利用想像“作圖”的技能在七年級(jí)我們開始學(xué)習(xí)數(shù)軸時(shí)，就能夠進(jìn)行針對(duì)性培養(yǎng)了。

在較為復(fù)雜的函數(shù)綜合題中，無圖確實(shí)造成了一定困難，原因有很多種，也許沒必要給出函數(shù)圖象，也許函數(shù)圖象是動(dòng)態(tài)的，但無論哪種原因，學(xué)生在解題時(shí)，都需要自已構(gòu)建圖形，先在大腦中生成，再落實(shí)到草稿紙上。

而2024年安徽省這道函數(shù)壓軸題，不畫函數(shù)圖象也可以解，它更側(cè)重于代數(shù)推理，輔以直觀想像。代數(shù)推理作為數(shù)學(xué)教育的重要組成部分，長久來在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和問題解決能力方面發(fā)揮著重要作用。隨著時(shí)代的發(fā)展和教育的進(jìn)步，代數(shù)推理在新課標(biāo)中的地位和重要性愈發(fā)凸顯。新課標(biāo)明確指出，代數(shù)推理是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成，是學(xué)生適應(yīng)未來社會(huì)和個(gè)人發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能之一。

題目

已知拋物線y=-x2+bx(b為常數(shù))的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)比拋物線y=-x2+2x的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)大1.

(1)求b的值；

(2)點(diǎn)A(x1,y1)在拋物線y=-x2+2x上，點(diǎn)B(x1+t,y1+h)在拋物線y=-x2+bx上.

(i)若h=3t，且x1≥0，t>0，求h的值；

(ii)若x1=t-1，求h的最大值.

解析：

01

(1)拋物線對(duì)稱軸即頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用公式可列方程b/2-1=1，解得b=4;

02

(2)分別將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入相應(yīng)的函數(shù)解析式中，并將第一個(gè)式子代入第二個(gè)，推導(dǎo)如下：

(i)當(dāng)h=3t時(shí)，上式變成

(ii)當(dāng)x1=t-1時(shí)，上式變成

解題思考

在初中階段，幾何課程是發(fā)展推理能力的主要載體。但除了幾何推理，2022年新課標(biāo)還要求適當(dāng)加強(qiáng)代數(shù)推理。

與幾何課程相比，我國傳統(tǒng)初中代數(shù)課程強(qiáng)調(diào)的是各種代數(shù)運(yùn)算，以及基于運(yùn)算方程、不等式、函數(shù)等概念及其應(yīng)用，對(duì)代數(shù)推理(主要是演繹推理)的要求并不多。之所以造成這種現(xiàn)象，一方面是因?yàn)橹袑W(xué)代數(shù)的本質(zhì)特征是符號(hào)運(yùn)算，而符號(hào)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要的基本功；另一方面是因?yàn)榇鷶?shù)推理比較抽象與形式化，不像幾何推理那樣直觀，對(duì)多數(shù)學(xué)生來說比較困難。

2022版新課標(biāo)之所以對(duì)代數(shù)推理給予了足夠的重視，至少有三個(gè)理由：一是代數(shù)推理比幾何推理更為基本、純粹，也有更多的應(yīng)用，特別是高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要借助大量的代數(shù)推理；二是加強(qiáng)代數(shù)推理有助于學(xué)生理解代數(shù)及其運(yùn)算的意義；三是小學(xué)階段對(duì)符號(hào)意識(shí)與推理意識(shí)的培養(yǎng)為初中階段的代數(shù)推理提供了一些準(zhǔn)備。

——《2022版新課標(biāo)解讀》

回到本題第2小題第1問，我們可分別作出這兩條拋物線，其中點(diǎn)A與點(diǎn)B存在一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)A在y=-x2+2x上時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B也在y=-x2+4x上，這兩條拋物線的頂點(diǎn)分別是(1,1)和(2,4)，因此我們也可以將其看作是拋物線y=-x2+2x向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后得到拋物線y=-x2+4x，如下圖：

由于t和x1均為正數(shù)，因此我們只用觀察y軸右側(cè)的圖象，我們分別過點(diǎn)A、B向坐標(biāo)軸作垂線，構(gòu)造出Rt△ABC，當(dāng)點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，這個(gè)三角形也隨之在兩條拋物線之間滑動(dòng)，并且保持形狀大小不變；

由于點(diǎn)A是拋物線上任意一點(diǎn)，平移變換中它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)就是點(diǎn)B，上圖中的向量OP指明了平移方向和距離。

可以發(fā)現(xiàn)，整個(gè)解題過程中，將點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別代入各自的解析式中，再聯(lián)立得到方程，這個(gè)方程描述了點(diǎn)A橫坐標(biāo)x1、參數(shù)t和h之間的關(guān)系，當(dāng)給定其中任意一對(duì)量的關(guān)系之后，利用代入法“消元”，剩下的兩個(gè)量自然就形成了新的函數(shù)關(guān)系或新的方程，再分別去求解即可。