尋找線段轉(zhuǎn)換的橋梁

2024年安徽省中考數(shù)學(xué)第22題

在解決幾何線段轉(zhuǎn)換的過(guò)程中，通常情況下可以通過(guò)全等、相似、勾股定理等建立線段之間的數(shù)量關(guān)系，再利用這些數(shù)量關(guān)系間的關(guān)聯(lián)尋找它們進(jìn)一步的關(guān)聯(lián)，從而解決問(wèn)題。

一般而言，尋找線段等量關(guān)系的方法有兩個(gè)出發(fā)點(diǎn)，一是從條件出發(fā)順推，二是從結(jié)論出發(fā)倒推，也可兩個(gè)出發(fā)點(diǎn)同時(shí)推導(dǎo)，直到“中間”遇上，在這個(gè)過(guò)程中，橋梁作用非常重要，甚至可以說(shuō)是解題成功的關(guān)鍵，有時(shí)它也叫樞紐。某些特殊圖形，很多時(shí)候承擔(dān)了這個(gè)重要任務(wù)，例如等邊三角形、等腰三角形、含特殊角的直角三角形等，在解題過(guò)程中，遇到此類條件，不妨多從橋梁角度去思考它們的作用，從而使思路更快形成。

題目

如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別在AD，BC上，且AM=CN，點(diǎn)E、F分別是BD與AN，CM的交點(diǎn).

(1)求證：OE=OF；

(2)連接BM交AC于點(diǎn)H，連接HE，HF.

(i)如圖2，若HE∥AB，求證：HF∥AD；

(ii)如圖3，若平行四邊形ABCD為菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求AC:BD的值.

解析：

01

(1)在平行四邊形ABCD中AD∥BC且AD=BC，利用AM=CN可得AM∥CN且AM=CN，則四邊形ANCM也是平行四邊形，于是AE∥CF，現(xiàn)在可證明△AOE≌△COF，從而OE=OF，如下圖：

當(dāng)然本小題方法較多，不再一一列舉；

02

(2)(i)當(dāng)HE∥AB時(shí)，很容易證明△OEH∽△OAB，所以O(shè)H:OA=OE:OB，前面我們已經(jīng)證明了OE=OF，OB=OD，于是這個(gè)比例式可變成OH:OA=OF:OD，再加上公共角，可證明△OHF∽△OAD，如下圖：

再證明HF∥AD就極容易了；

(ii)作為本題難點(diǎn)，首先需要捋清條件：菱形ABCD，MD=2AM，∠EHF=60°；其次尋找這些條件間的關(guān)聯(lián)、拓展，如下圖：

由第一對(duì)相似，△AMH∽△CBH，如下圖：

可得AM:CB=AH:CH=1:3，不妨設(shè)AH=x，則CH=3x，AC=4x，由菱形對(duì)角線互相平分可得OC=2x，于是OH=x，即點(diǎn)H是OA中點(diǎn)；

再由第二對(duì)相似，△ADE∽△NBE，如下圖：

可得AD:NB=DE:BE=3:2，不妨設(shè)BE=2y，則DE=3y，BD=5y根據(jù)OE=OF可證BE=DF，于是EF=DE-DF=3y-2y=y；

最后看中間的等邊△EFH，得OH:EF=√3:2，于是得到了x與y之間的數(shù)量關(guān)系，x=√3/2y，而AC=2√3y，BD=5y，最后得到AC:BD=2√3:5.

當(dāng)然，另一對(duì)相似三角形也能達(dá)到同樣的目的，如下圖：

解題反思

本題第一小題入口很寬，只要想到了用全等三角形，基本上都能夠?qū)懗鰜?lái)；第二小題找準(zhǔn)了兩對(duì)A型相似，問(wèn)題也不大；第三小題的關(guān)鍵是找到兩對(duì)X型相似，并充分理解∠EHF=60°帶來(lái)的等邊三角形的作用；

解題突破口如何想到？

菱形本身就帶來(lái)了兩組對(duì)邊平行，因此在這些平行線間，可以構(gòu)造全等或相似，題目條件中的MD=2AM，又在暗示本題更多應(yīng)考慮相似三角形，所以圍繞尋找哪一對(duì)相似去思考，本題不算難，兩對(duì)相似三角形最終都匯集到中的等邊三角形中，它是事實(shí)上的橋梁，建立了菱形兩條對(duì)角線間的數(shù)量關(guān)系。

我們?cè)趯W(xué)習(xí)相似三角形時(shí)，通常會(huì)接觸一兩類基本模型，A型和X型(也有稱8字型)，模型名稱是為了方便記憶，我們希望留存學(xué)生腦子里的不是字母A或X，而是一類圖形，各種位置的同一類圖形。

人腦如何記憶圖形？

人的大腦對(duì)圖形的記憶并不是與相機(jī)一樣，將所有細(xì)節(jié)全部記錄下來(lái)，而是先進(jìn)行了“數(shù)據(jù)壓縮”，只記憶關(guān)鍵圖形要素，需要回憶圖形時(shí)，再利用大腦原有儲(chǔ)存信息還原圖形。

在神經(jīng)科學(xué)頂級(jí)期刊Neruon中，有一篇論文(第一作者Yuna Kwak，目前正在紐約大學(xué)攻讀心理學(xué)博士學(xué)位)進(jìn)行了如下研究：

在實(shí)驗(yàn)中，他們?cè)O(shè)置了兩種不同的禮堂刺激圖像，定向光柵和移動(dòng)的點(diǎn)。

在每次測(cè)試中，參與者們首先會(huì)看到一個(gè)圖像，接著用12秒來(lái)回憶所見(jiàn)信息，然后根據(jù)記憶判斷剛才的光柵傾斜方向或一團(tuán)點(diǎn)的移動(dòng)方向。

同時(shí)，研究人員用磁共振功能成像（functional magnetic resonance imaging, fMRI），將參與者的大腦活動(dòng)可視化。

不同視覺(jué)信息的記憶格式可能相同

研究者發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是光柵的傾斜角度還是點(diǎn)的移動(dòng)方向，都會(huì)在視覺(jué)皮層和頂葉皮層中產(chǎn)生相同的神經(jīng)活動(dòng)模式。

視覺(jué)皮層是處理視覺(jué)信息的大腦皮層，頂葉皮層是大腦中用于處理和儲(chǔ)存記憶的部分。

結(jié)果顯示，大腦視覺(jué)皮層能夠區(qū)分出光柵傾斜和點(diǎn)的移動(dòng)這兩種不同的圖像刺激。

與此同時(shí)，用一種類型的刺激（如光柵傾斜角度）訓(xùn)練大腦，還可以讓其成功解碼另一種類型的刺激（如點(diǎn)的移動(dòng)方向）。

但值得注意的是，這種“共享”僅出現(xiàn)在記憶階段，在直接觀看刺激物的時(shí)間段內(nèi)并未被觀察到。

這也就印證了研究人員的一種推測(cè)：光柵傾斜和點(diǎn)集移動(dòng)的圖像屬性既有不同點(diǎn)也有相同點(diǎn)，但在工作記憶過(guò)程中，大腦只會(huì)提取與具體任務(wù)最為相關(guān)的特征，并將兩種不同的刺激編碼為同一種“存儲(chǔ)格式”。

人腦記憶方式類似“寫提綱”。

基于以上描述，我們?cè)诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中，如何利用這一腦科學(xué)成果？

A型相似三角形和X型相似三角形，在學(xué)生腦海中存儲(chǔ)的格式是相同的，數(shù)學(xué)上這兩種相似三角形都是從平行線推導(dǎo)出來(lái)的，記憶同樣也會(huì)回歸本源——平行線，因此我們?cè)谙嗨祁A(yù)備定理的教學(xué)中，需要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)不同方式去尋找、構(gòu)造相似三角形，學(xué)生需要理解的是從平行線中抽象出模型的過(guò)程，即模型是如何得到的，而不是單純記憶模型本身，這也是生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的基本理念。

所以，由題思教，回歸課堂，才是教研的基本方向。