削菠蘿中的數(shù)學(xué)

綜合與實(shí)踐壓軸題探究

“綜合與實(shí)踐”是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的四個(gè)領(lǐng)域之一，2022版課標(biāo)在2011版課標(biāo)基礎(chǔ)上，對(duì)“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域做了較大調(diào)整：部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)被納入“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域中，加強(qiáng)了綜合運(yùn)用各學(xué)科知識(shí)的跨學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)，以主題活動(dòng)、項(xiàng)目學(xué)習(xí)等形式呈現(xiàn)，在活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)有數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”。

對(duì)于綜合與實(shí)踐的評(píng)價(jià)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)過程評(píng)價(jià)，但并不能忽略結(jié)果評(píng)價(jià)，綜合與實(shí)踐活動(dòng)的成果表現(xiàn)形式多樣，例如調(diào)查報(bào)告、研究筆記、數(shù)學(xué)小論文、小組展示、主題演講、問題解決方法集、項(xiàng)目報(bào)告書、成果展覽、項(xiàng)目模型或作品實(shí)物等，對(duì)這些結(jié)果的評(píng)價(jià)主觀性較強(qiáng)，多采用評(píng)委打分再進(jìn)行綜合評(píng)判的形式。

隨著綜合與實(shí)踐類試題越來越多地出現(xiàn)在中考題，對(duì)我們平時(shí)的教學(xué)也有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義，生活中的場(chǎng)景如何變成數(shù)學(xué)情景，數(shù)學(xué)情景下如何設(shè)置問題等，值得進(jìn)一步研究與思考。

題目

【發(fā)現(xiàn)問題】

小明買菠蘿時(shí)發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿皮，再斜著鏟去菠蘿的籽。

【提出問題】

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？

【分析問題】

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽可在側(cè)面展開圖上呈交錯(cuò)規(guī)律排列，每行有n個(gè)籽，每列有k個(gè)籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d(n，k均為正整數(shù)，n>k≥3，d>0)，如圖1所示。

小明設(shè)計(jì)了如下三種鏟籽方案：

方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長(zhǎng)為__________，共鏟__________行，則鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為__________;

方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為__________;

方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng).

【解決問題】

在三個(gè)方案中，哪種方案鏟籽路徑總長(zhǎng)最短？請(qǐng)寫出比較過程，并對(duì)銷售員的操作方法進(jìn)行評(píng)價(jià)。

解析：

我們觀察排列圖，由于是交錯(cuò)排列，行與列是錯(cuò)開的，因此理解每一行、每一列、有多少行、有多少列非常關(guān)鍵，如下圖：

先看方案1，由于第1行與第2行錯(cuò)開，我們?cè)跀?shù)的時(shí)候，行數(shù)是偶數(shù)，所以有2k行，每一行有n個(gè)籽，相鄰兩個(gè)籽距離為d，因此每一行路徑是(n-1)d，方案1的結(jié)果就出來了，鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為2k(n-1)d；

我們用同樣的方式來數(shù)方案2，有2n列，每一列有k個(gè)籽，所以路徑總長(zhǎng)為2n(k-1)d；

最后來看方案3，斜著的一列，總共有2k個(gè)籽，這樣斜著的列總共有n列，如下圖：

此時(shí)斜著的列中，相鄰兩個(gè)籽之間的距離是√2d/2，所以每一個(gè)斜著的列，長(zhǎng)為√2d/2×(2k-1)，路徑總長(zhǎng)為√2d/2×(2k-1)n

現(xiàn)在開始比較這三種方案哪種路徑最短。

比較代數(shù)式的大小，初中階段常見方法是作差比較或作商比較，顯然本題適用于作差比較，推導(dǎo)如下：

2(n-1)kd-2n(k-1)d=2nkd-2kd-2nkd+2kd=2d(n-k)

∵n>k≥3

∴n-k>0

∴2(n-1)kd-2n(k-1)d>0即2(n-1)kd>2n(k-1)d

∴方案2比方案1短；

再來比較方案3與方案2，如下圖：

由于n與d均為正數(shù)，因此我們只需要研究清楚中括號(hào)內(nèi)的部分的符號(hào)即可，令y=(2-√2)k-2+√2/2，顯然這是個(gè)一次函數(shù)，且k≥3，不妨借助圖象更直觀地發(fā)現(xiàn)，如下圖：

所以方案3比方案2短；

綜上所述，方案3路徑總長(zhǎng)最短.

對(duì)銷售員的操作方法評(píng)價(jià)如下：采用斜著鏟籽的方案，可以最大程度減少果肉損失，并且鏟籽所需要路徑最短，節(jié)約鏟籽時(shí)間。

解題思考

現(xiàn)在市面上賣的菠蘿，籽都是用小鑷子挖出來的，而不是沿一條線去鏟，這樣能保存更多果肉，外觀上也更完整，賣相好看。如果去水果店或超市買菠蘿，人家會(huì)很貼心地幫你切成小塊，回家只管吃就好。

從數(shù)學(xué)角度來看削菠蘿，無論是用刀去鏟，還是用鑷子挖，籽與籽之間的間距是必須要考慮的，本題難點(diǎn)在于如何數(shù)籽，在交錯(cuò)排列這種狀態(tài)下，行、列如何確定，間距如何計(jì)算，在小學(xué)階段學(xué)生就已經(jīng)接觸過，在初中階段，學(xué)生首先要完成的是立體向平面的轉(zhuǎn)化，在圓柱的側(cè)面展開圖上進(jìn)行計(jì)算。

本題源自真實(shí)情景，綜合與實(shí)踐版塊，教材編寫時(shí)留有巨大的空間，在2022版新課標(biāo)中，對(duì)各學(xué)段的綜合與實(shí)踐都進(jìn)行了說明，不局限于課標(biāo)中列舉的內(nèi)容，削菠蘿正是學(xué)生熟悉的生活場(chǎng)景之一。

綜合與實(shí)踐試題化之后，如何對(duì)答題結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，仍然是個(gè)難題，以本題為例，要求學(xué)生對(duì)銷售員的操作方法進(jìn)行評(píng)價(jià)，是較為主觀的結(jié)論，與通常數(shù)學(xué)試題結(jié)論的標(biāo)準(zhǔn)化相比，學(xué)生可能會(huì)不適應(yīng)，當(dāng)然更不適應(yīng)的是閱卷教師，這些現(xiàn)實(shí)問題，都需要在今后的教研中思考解決。