從新定義“軸旋點”中深入理解圖形變換

2022版義務(wù)教育新課標(biāo)對圖形的變化內(nèi)容要求如下：

學(xué)業(yè)要求如下：

軸對稱內(nèi)容是在人教版數(shù)學(xué)八年級上冊第13章的，前面是全等三角形，而旋轉(zhuǎn)內(nèi)容在九年級上冊第23章，后面是圓；這個安排很有意思，軸對稱也好，旋轉(zhuǎn)也罷，一直研究的是全等形之間的特殊位置關(guān)系，學(xué)完旋轉(zhuǎn)之后，出現(xiàn)了“全新”的圖形——圓，和直線型完全不同的圖形性質(zhì)，讓整個幾何學(xué)習(xí)上了一個新臺階，試題更精彩了，當(dāng)然難度也相應(yīng)增加了。

新定義“軸旋點”是利用了軸對稱和旋轉(zhuǎn)兩個基本概念，用點、線基本元素定義了一種新的圖形關(guān)聯(lián)，理解這種關(guān)聯(lián)，并運用新定義去解決新的問題，是命題的主要考察方式。

題目

解析：

01

(1)不妨在草稿紙上畫一畫，理解點A、點A'、點B、點C、直線l之間的關(guān)聯(lián)，如下圖：

根據(jù)“軸旋點”定義，線段A'C與直線l是否有交點，與點A、點B位置有關(guān)系，我們需要明白它；

點B在直線l上，于是它繞點A'旋轉(zhuǎn)后的點C，也在某條直線上，我們可以找出來，如下圖：

圖中△A‘CE≌△BA'F，足以說明點C在直線CE上，并且CE⊥l，請注意這也是我們后面研究問題的重要依據(jù)，從圖中也能看到，線段A'C并不一定會與直線l有交點，而點C所在直線恰好可以幫助我們判斷何時有交點，這些在一開始讀新定義的時候，需要理解；

基于以上認(rèn)知，我們上坐標(biāo)系！

結(jié)果是顯而易見的，C2和C4；

02

(2)現(xiàn)在點B坐標(biāo)已知，我們?nèi)匀幌茸鲌D，如下：

我們理解新定義過程中的那對全等三角形依舊存在，于是判斷點C在直線CG上，按本小題要求，點A和點C均在直線y=-x-4上，則點C位置是確定的，相應(yīng)的點A位置也是確定的，于是可求，如下圖：

我們首先還是證明這里的全等三角形，這比較容易，可得A'G=BH，同時由于點A'與點A關(guān)于y軸對稱，那么點A'所在直線為y=x-4；圖中的△A'EH為等腰直角三角形，A'H=EH，則GH=A'G-A'H=BH-EH=BE，而BE=8，故GH=8，說明直線CG是一條定直線x=8；

接下來的任務(wù)就比較輕松了，先求出點C坐標(biāo)(8,-12)，再得到A'G=12=BH，則點H(0,-8)，所以點A(4,-8)；

03

(3)點A在正方形M上，即正方形M內(nèi)部和邊界上的任意點都有可能是點A，點A關(guān)于直線y=-x+1的對稱點為A'，因此我們將整個正方形M關(guān)于直線y=-x+1進行軸對稱變換，如下圖：

在上圖中，正方形M'就是點A'可能的位置，而點B在直線y=-x+1上，依然由新定義“軸旋點”的理解，以正方形M'上某點為旋轉(zhuǎn)中心，將點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，我們分別取正方形M'的四個頂點作為旋轉(zhuǎn)中心，分別旋轉(zhuǎn)點B后，得到四個點B'、B1'、B2'、B3'，則正方形M'中其余點為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)后的點B可能位置便是圖中直線B'B3'和直線B1'B2'間的部分；

這幾條直線會不會動？我們來研究一下，如下圖：

點M(0,t)關(guān)于直線y=-x+1的對稱點M'(1-t,1)，不妨設(shè)B(s,1-s)，則BK=M'L=s-1+t，LC=KM'=-s，可表示出點C坐標(biāo)(1-t-s,2-t-s)，令1-t-s=x，2-t-s=y，則y=x+1，故點C在y=x+1上；

同理，可得點B'、B3'在直線y=x+3上，B1'、B2'在直線y=x-1上；

隨著正方形M向下移動，只要與兩直線間的區(qū)域有重合部分，即存在點C是“軸旋點”，我們需要仔細作圖，并觀察重合過程中的關(guān)鍵時刻，如下圖：

當(dāng)正方形M的頂點G在直線y=x+3上時，頂點G(1,t-1)代入求出t=5；當(dāng)正方形M的頂點Ed直線y=x-1上時，頂點E(-1,t+1)代入求出t=-3；

所以-3≤t≤5.

解題思考

這道題設(shè)計很精巧，簡單的軸對稱和旋轉(zhuǎn)，解題的思考量很大，其間需要證明的步驟如果書寫出來也不少，因此采用了直接填空的形式，減輕學(xué)生答題時的重復(fù)動作，也說明只要考察學(xué)生思維到位了，過程并不重要，或者說不需要靠書寫過程來表達思維。

在解題過程中多次使用了基本的全等模型“一線三直角”，當(dāng)然全等不是重點，重點是全等之后，利用它來判斷定直線、定長等。在第3小題中，由于旋轉(zhuǎn)中心不確定，點B也不確定，要作出圖形難度頗高。需要深入理解對于“軸旋點”定義中，點C的軌跡是一條直線，并在不同場景中，都出現(xiàn)了這些直線，所以能否在新的應(yīng)用情境中，迅速找到這些定線，極為關(guān)鍵，最后正方形經(jīng)過的區(qū)域，那個區(qū)域最重要，即夾在兩條直線間的部分。

當(dāng)前期的思維準(zhǔn)備工作到位以后，剩下的就非常簡單了，這也是考察數(shù)學(xué)思維類題型的共同特點，大量的工作在大腦中進行，偶爾需要作圖，甚至想像力足夠不作圖也行。

不妨回到我們的課堂教學(xué)，到底要經(jīng)過多少輪“螺旋上升”，我們的學(xué)生可以達到這種思維高度？在每一輪中，教師如何幫助學(xué)生獲得最大高度？這都是需要深思的問題。