概念教學(xué)，理解越深，破題越快

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，最重要的是數(shù)學(xué)概念教學(xué)，最難的也是數(shù)學(xué)概念教學(xué)，對(duì)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)概念理解越深，越透徹，解題時(shí)思路就越容易找到。

在二次函數(shù)壓軸題中，這種對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解要求愈發(fā)重要，以武漢市九年級(jí)某期中考試壓軸題為例，多數(shù)學(xué)生面對(duì)最后一問(wèn)時(shí)的手足無(wú)措，基本上源自于對(duì)圓概念理解不夠，用學(xué)生自已的話講“沒(méi)想到是圓”，因此，破解這種“沒(méi)想到”，讓其變成“想到”，重視概念教學(xué)幾乎是唯一的出路。

題目

已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1，Q為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，若∠AQC=2∠BAQ，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)如圖2，P為x軸上方一動(dòng)點(diǎn)，直線PM，PN與拋物線均只有唯一公共點(diǎn)M，N，OH⊥MN于點(diǎn)H，且△PAB的面積是10，求線段OH長(zhǎng)度的最大值.

解析：

01

(1)將點(diǎn)A(-1,0)和B(3,0)代入y=ax2+bx+3，求得a=-1，b=2，所以拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

02

(2)觀察圖中的∠AQC和∠BAQ，我們過(guò)點(diǎn)Q向y軸作垂線DQ，如下圖：

由DQ∥x軸，可知∠BAQ=∠DQE，而∠AQC=2∠BAQ，得∠DQC=∠DQE，我們可得等腰△CQE，從而點(diǎn)D為CE中點(diǎn)；

不妨設(shè)Q(t,-t2+2t+3)，則D(0,-t2+2t+3)，利用中點(diǎn)公式列方程得：3+3-t=2(-t2+2t+3)，解得t=0或5/2，顯然t≠0，則t=5/2，因此Q(5/2,7/4)；

03

(3)見(jiàn)動(dòng)設(shè)參的意思是，對(duì)于題目條件中的動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線，通常情況下設(shè)它的坐標(biāo)或解析式系數(shù)為參數(shù)，并用這個(gè)參數(shù)來(lái)表示其余的點(diǎn)、線段長(zhǎng)、函數(shù)解析式等，即設(shè)點(diǎn)參或線參，首先不要怕參數(shù)，其次要盡量尋找各參數(shù)之間的關(guān)系，這都需要對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念有足夠的理解；

關(guān)于如何選擇設(shè)點(diǎn)參或線參，由于題目最終是求線段OH最大值，而點(diǎn)H在直線MN上，這是一條動(dòng)直線，因此設(shè)線參在計(jì)算推導(dǎo)中會(huì)簡(jiǎn)便一些；

現(xiàn)在我們來(lái)解讀直線MN的解析式，將其變形得

y=k(x-1)+3，觀察這個(gè)解析式右邊，當(dāng)x=1時(shí)，y=3，與k取值無(wú)關(guān)，這意味著直線MN經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)Q(1,3)，如下圖：

我們連接OQ之后，則△OHQ始終為直角三角形，且斜邊為OQ，聯(lián)想一斜邊為定長(zhǎng)的直角三角形，其直角頂點(diǎn)H在某個(gè)圓上，如下圖：

取OQ中點(diǎn)E，以點(diǎn)E為圓心，OQ為直徑作圓，現(xiàn)在再來(lái)看題目要求的線段OH，在圓E中是弦，而圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦是直徑，于是OH最長(zhǎng)時(shí)，長(zhǎng)度即直徑OQ=√10，所以線段OH長(zhǎng)度最大值是√10.

解題思考

2024年武漢各區(qū)的二次函數(shù)壓軸題，典型特征是拋物線背景下的動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線問(wèn)題，因此需要設(shè)參后進(jìn)行推導(dǎo)，推導(dǎo)依據(jù)包括直線與拋物線相交，直線與直線相交需聯(lián)立方程，判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)用判別式，兩根關(guān)系韋達(dá)定理等，在推導(dǎo)過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)選擇用其中一個(gè)參數(shù)來(lái)表示另一個(gè)參數(shù)的情況，這也是學(xué)生最容易迷糊的地方，很多學(xué)生推導(dǎo)時(shí)表示方式錯(cuò)了，導(dǎo)致計(jì)算量非常大，甚至得不到相應(yīng)的結(jié)果，出現(xiàn)恒等式，而選擇表示誰(shuí)需要認(rèn)真閱讀題目條件和結(jié)論，知道解題方向，在正確理解題意的前提下，才不會(huì)搞錯(cuò)“碼頭”；

對(duì)于直線過(guò)定點(diǎn)的解讀，也是學(xué)生思考中的另一個(gè)難點(diǎn)，雖然在平時(shí)練習(xí)中我們講過(guò)不少此類習(xí)題，但仍然存在部分學(xué)生，得到解析式后，沒(méi)有朝這個(gè)方向去思考，而教學(xué)中要解決這個(gè)問(wèn)題，靠增大練習(xí)量是不夠的，重復(fù)訓(xùn)練得到的只是條件反射，而不是思考力的提升；

對(duì)于題目中的圓，首先要觀察到定點(diǎn)Q，然后是定線段OQ，它的身份是直角三角形的斜邊，需要借助我們?cè)?jīng)教材上的圖例：

教材的這一處，并未提及共斜邊的直角三角形，但我們?cè)诮虒W(xué)中，可以通過(guò)讓學(xué)生作圖觀察，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論，當(dāng)然僅僅是發(fā)現(xiàn)還不夠，在課堂上，還可以用相應(yīng)的習(xí)題去強(qiáng)化它，按學(xué)生認(rèn)知螺旋上升的原則，在后續(xù)教學(xué)中，不斷重現(xiàn)，從而將其內(nèi)化為學(xué)生的思維。