套路刷題無(wú)可覓，慧眼識(shí)全等

全等三角形的概念在人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第12章，由全等形衍生而來(lái)，教材中給出的描述是“能夠完全重合的兩個(gè)三角形”，事實(shí)上我們對(duì)“全等”繼續(xù)追溯，可以和“相等”關(guān)聯(lián)起來(lái)，在小學(xué)階段，我們學(xué)過(guò)用相等來(lái)表示數(shù)量關(guān)系，包括兩個(gè)數(shù)字相等、兩條線段長(zhǎng)度相等、兩個(gè)圖形面積相等……

然而描述圖形之間的這種等量關(guān)系時(shí)，我們引入了全等，其實(shí)線段也同樣可以用全等描述，長(zhǎng)度相等的線段未必全等，區(qū)別就在于位置。

所以在學(xué)習(xí)全等三角形時(shí)，理解完全重合相對(duì)容易，然而面對(duì)不同位置下的兩個(gè)全等三角形，再去觀察能夠重合，是非?？简?yàn)學(xué)生的識(shí)圖能力的，于是我們?yōu)榱藥椭鷮W(xué)生識(shí)圖，歸納了諸多全等三角形的模型，都是大家熟知的，例如倍長(zhǎng)中線、一線三直(等)角、倍(半)角、手拉手等；模型本無(wú)錯(cuò)，活學(xué)方活用，在教學(xué)中若是把它套路化，靠死記圖形去匹配題目，是一定學(xué)不好全等的。

有時(shí)，只要題目稍稍變化，套路刷題就現(xiàn)了原形。

題目

已知，如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，DC=BE，連接AE，過(guò)C作CF⊥AE于F，CF交AB于G，連接DG.

(1)求證：∠AEB=∠ACF；

(2)用等式表示CG，DG和AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

解析：

01

(1)由∠ACB=90°得∠ACF+∠BCF=90°，再由CF⊥AE得∠BCF+∠AEB=90°，所以根據(jù)“同角的余角相等”得∠AEB=∠ACF；

02

(2)通常情況下，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)這三條線段最長(zhǎng)的是AE，先猜想另外兩條較短線段之和等于它，基于這個(gè)猜想，我們?cè)匍_(kāi)始尋找驗(yàn)證方法；

我們先得將其中一條線段“搬”到最長(zhǎng)線段AE上，而最佳搬運(yùn)工非全等三角形莫屬，圖中的△ABC是等腰直角三角形，可以為我們提供一對(duì)相等的邊和一對(duì)相等的45°角，這都是可以作為全等條件直接使用的，然后尋找CG和DG所在的三角形，是否存在以前面已提供的條件為邊、角的呢？

我們看△BCG，包含CG邊，并且以BC為邊，它就是我們的“天選”全等三角形之一，其中CB的對(duì)應(yīng)邊可能是CA，所以我們把目光放在包含邊AC的三角形上，并且還要能與△CBG完全重合，如下圖：

在AE上截取AH=CG，因?yàn)榍捌隍?yàn)證已經(jīng)找到了一個(gè)條件：CB=AC，利用第一小題的方法我們很快能找到第二個(gè)條件：∠BCG+∠ACF=90°，∠CAH+∠ACF=90°，則∠BCG=∠CAH；

現(xiàn)在可利用SAS證明△BCG≌△CAH，然后想辦法將剩下的DG也“搬”過(guò)來(lái)，即尋找DG與EH的關(guān)系；在第一次全等之后，我們又新增了條件BG=CH，則第二對(duì)全等三角形呼之欲出，如下圖：

由DC=BE得DB=EC，∠ACH=∠CBG=45°，所以HCE=45°=∠GBD，再次利用SAS證明△DBG≌△ECH，從而DG=EH，完成了最后的“搬運(yùn)”；

綜上，AE=DG+CG.

解題思考

這道題給班上學(xué)生完成后，評(píng)價(jià)是兩極分化的，部分學(xué)生認(rèn)為太簡(jiǎn)單了，八年級(jí)小朋友就能夠完成，拿給九年級(jí)是小看他們了，還有一部分則認(rèn)為全等三角形太難找了，完全不是熟悉的模型，摸不著頭腦；

雖然樣本有限，但也大體代表了目前學(xué)生中存在的這兩種典型情況，認(rèn)為太簡(jiǎn)單的學(xué)生，的確通過(guò)自已的經(jīng)驗(yàn)積累完成了對(duì)全等三角形任意位置的識(shí)別與構(gòu)建，對(duì)他們而言，模型已經(jīng)不重要了；而認(rèn)為全等三角形難找的學(xué)生，就屬于識(shí)圖能力尚有欠缺，這些學(xué)生還有一個(gè)共同點(diǎn)，在教輔資料上學(xué)習(xí)相關(guān)模型時(shí)，非常順利，因?yàn)槟硞€(gè)版塊標(biāo)題就是某模型專題，那自然下面所有題目都會(huì)用這個(gè)模型，刷得不亦樂(lè)乎，于是認(rèn)為自已懂了，于是“刷”到經(jīng)驗(yàn)了，于是這道題上栽了；

我們將題目中的△CBG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如下圖：

觀察上圖中的四邊形AMCH，不再解釋，繼續(xù)如下圖：

仍然不解釋，其實(shí)通過(guò)前面的證明，我們知道 CH這條線是∠ACB的角平分線，自然也會(huì)有CN是△ABC的“三線合一”，由此繼續(xù)拓展下去，什么模型都能夠出來(lái)。

那么回到最初的問(wèn)題，為什么學(xué)生想不到？

至少在使用教輔時(shí)，或者教學(xué)時(shí)，能不能把那些標(biāo)題屏蔽掉？或者說(shuō)，辛苦一點(diǎn)自已把題目粘貼到課件中？

更應(yīng)該做的一件事，就是在進(jìn)行專題講解時(shí)，最后出示標(biāo)題，最好的模型，并不是教師開(kāi)課2分鐘就板書(shū)在黑板上的名稱，而是下課前5分鐘的學(xué)生大腦里的經(jīng)驗(yàn)。