揭秘“錯(cuò)錯(cuò)得正”，回避邏輯坑

在一次周末作業(yè)中，老師布置了一道幾何綜合題，某位學(xué)生也得到了正確答案，但是老師看了他的草稿和圖上的痕跡之后，認(rèn)為他是錯(cuò)的，這是為什么呢？我們一起來(lái)研判：

題目

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=1，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AED.

(1)如圖1，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得△AED，求∠BED的大??；

(2)如圖2，CD交BE于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F是BE中點(diǎn)；

(3)△AED在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，線段DF長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)________________.

解析：

01

(1)由旋轉(zhuǎn)可得AB=AE，△ABE為等腰三角形，且頂角為30°，如下圖：

可得∠AEB=75°，而∠AED=60°，所以∠BED=15°；

02

(2)先說(shuō)一種“秒殺”的方法：

連接AF，如下圖：

連接AF，由旋轉(zhuǎn)可得∠CAD=∠BAE，即等腰△ACD和等腰△ABE，這兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，底角也相等，即∠ACD=∠ABE，這兩個(gè)角在AF同一側(cè)，所以A、C、B、F四點(diǎn)共圓，因?yàn)椤螦CB=90°，所以∠AFB=90°，AF⊥BE，由三線合一可得點(diǎn)F是BE中點(diǎn)；

此種解法的隱患是，四點(diǎn)共圓的依據(jù)并不是教材中的定理；

回歸傳統(tǒng)的構(gòu)造全等三角形的方法，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DE，如下圖：

由BG∥DE得∠EDF=∠BGF，其中∠EDF=90°+∠ADC=90°+∠ACD，∠BGF=180°-∠BGC，所以90°+∠ACD=180°-∠BGC，整理得∠ACD+∠BGC=90°，而∠ACD+∠BCG=90°，所以∠BCG=∠BGC，即BC=BG，由旋轉(zhuǎn)可知BC=ED，所以BG=ED，再加上∠BFG=∠EFD，∠BGF=∠EDF，可證△BFG≌△EFD，最后得到點(diǎn)F是BE中點(diǎn)；

學(xué)生完成這一問(wèn)其實(shí)比較順利，畢竟構(gòu)造全等三角形來(lái)完成邊之間的等量轉(zhuǎn)換，還算熟練；

03

(3)本來(lái)作為本題最難的小題，應(yīng)該花較長(zhǎng)時(shí)間完成，結(jié)果某個(gè)學(xué)生居然說(shuō)他把這道題給秒了，雖然十分詫異，但還是請(qǐng)他來(lái)說(shuō)明過(guò)程；

學(xué)生：由第2小題點(diǎn)F是BE中點(diǎn)，可由三線合一證明AF⊥BE，因此四邊形ACBF有一組對(duì)角互補(bǔ)，因此這個(gè)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓；

老師：這必須點(diǎn)贊！圓的概念理解非常到位！

學(xué)生：點(diǎn)F在以AB為直徑的圓上，而點(diǎn)D在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，在以A為圓心的圓上，所以DF長(zhǎng)度的最大值，就是這兩個(gè)圓的半徑之差，大圓減去小圓的結(jié)果，嗯，是2；

說(shuō)到此處，大家可能也發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所在了，我們來(lái)看圖：

先說(shuō)該學(xué)生犯的錯(cuò)誤，小圓半徑為1，這沒(méi)問(wèn)題，大圓半徑是√3，這個(gè)他看錯(cuò)了，所以相減之后并不會(huì)等于2；同時(shí)DF的長(zhǎng)度，不應(yīng)該是半徑之差，這一點(diǎn)他自已也沒(méi)意識(shí)到；

重新畫(huà)了圖形之后，指出了他的錯(cuò)誤，于是學(xué)生糾正為DF長(zhǎng)度最大值是√3，當(dāng)點(diǎn)F與A重合，點(diǎn)D在BA延長(zhǎng)線上時(shí)取最大值；

真的是這樣嗎？

我們?nèi)E中點(diǎn)H，連接FH和DH，由Rt△ADE中，DH是斜邊上的中線，因此DH=1/2AE=1，結(jié)合前面的第2小題結(jié)論，F(xiàn)H是△ABE中位線，因此FH=1/2AB=1，如下圖：

觀察△DFH，它有兩條邊的長(zhǎng)度是固定的，均為1，則第三邊長(zhǎng)度一定存在一個(gè)范圍，當(dāng)且僅當(dāng)D、H、F三點(diǎn)共線時(shí)，DF最長(zhǎng)，最大為2，如下圖：

回到那位學(xué)生所提到了圓，我們將點(diǎn)D和點(diǎn)F所在的圓也畫(huà)出來(lái)，再對(duì)比上圖，看能發(fā)現(xiàn)什么，如下圖：

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)DF取最大值時(shí)，兩個(gè)圓心A、G與D、F根本不在一條直線上，所謂用大圓減小圓半徑的邏輯根本就是錯(cuò)的；事實(shí)上，這四個(gè)點(diǎn)D、F、A、G不會(huì)共線.

顯然，正確答案是2.

解題思考

在圓背景下求線段長(zhǎng)度的最值，若線段兩端點(diǎn)有一個(gè)在圓上，另一個(gè)在圓內(nèi)或圓外，可利用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，連接該點(diǎn)和圓心，得到相應(yīng)的線段，再判斷最大和最小，如下圖：

我們所依據(jù)最基礎(chǔ)的定理，就是線段公理：兩點(diǎn)之間，線段最短，幾乎所有關(guān)于線段最值的問(wèn)題，都會(huì)在線段兩個(gè)端點(diǎn)上作文章，端點(diǎn)是什么點(diǎn)，在哪里(直線上或圓上)，靜或動(dòng)等等，例如另一個(gè)有關(guān)最短描述的定理，垂線段最短，其實(shí)也是從線段公理推演而來(lái)，垂線段有一個(gè)端點(diǎn)是垂足，在直線上，即從一個(gè)端點(diǎn)處作了點(diǎn)文章，公理就變成了定理；再例如“將軍飲馬”問(wèn)題，將直線同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)換成異側(cè)兩點(diǎn)，再線段公理；

有了圓之后，情況會(huì)稍微不一樣，因?yàn)閳A周上的點(diǎn)到圓心的距離相等，而這個(gè)概念的另一層含義是圓周上的點(diǎn)具有各向同性，即旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，只要連接平面內(nèi)某個(gè)點(diǎn)和圓心，得到一條直線，那我們所要求的最長(zhǎng)和最短距離，都可以在這條直線上找到相應(yīng)的線段。

而存在兩個(gè)圓的情況下，情況會(huì)更復(fù)雜一些，例如本題最后一小題，雖然我們研究線段DF長(zhǎng)度的變化時(shí)用到了圓，但此時(shí)線段兩個(gè)端點(diǎn)均在運(yùn)動(dòng)中，若是不借助三角形，僅僅只看線段，不容易得到最值，所以此時(shí)需要用其它條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換，利用中位線、斜邊上的中線等，得到這條線段所在三角形有兩邊長(zhǎng)度確定，從而解決問(wèn)題。

因此，我們?cè)谔骄烤€段最值問(wèn)題的時(shí)候，優(yōu)先考慮的依然是線段公理，若是這條線段被作了文章，那么我們的思維應(yīng)該順著條件尋找線段公理的“根”，以題設(shè)條件為依據(jù)，用所學(xué)的方法，將最終的那條“最短線段”找出來(lái)，這是正確的邏輯，也是通法。