新定義“便利點(diǎn)”，上下兩乾坤

這是一道比較特別的新定義壓軸題，源于某次九年級(jí)上學(xué)期期中考試，背景材料給得十分接地氣，可望文生義，便利點(diǎn)，自然是讓人們覺(jué)得便利的點(diǎn)。從某種意義上講，這也屬于數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐的范疇，將新定義納入到綜合與實(shí)踐版塊，非常有新意，值得進(jìn)一步深入研究。

在我們學(xué)習(xí)幾何圖形的性質(zhì)或函數(shù)圖象的性質(zhì)時(shí)，研究過(guò)不少類(lèi)似動(dòng)態(tài)圖形的問(wèn)題，當(dāng)圖形位置不同，相應(yīng)的性質(zhì)也會(huì)有變化，能否準(zhǔn)確理解這種變化，取決于對(duì)圖形概念或函數(shù)概念的理解，學(xué)會(huì)用已有數(shù)學(xué)概念去解讀新定義，運(yùn)用新定義，正對(duì)應(yīng)新課標(biāo)中“三會(huì)”，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了較高要求。

題目

某郊區(qū)公園設(shè)計(jì)了賞花步道和書(shū)畫(huà)展覽，吸引了大量市民和游客爭(zhēng)相“打卡”留念。已知賞花步道與公園主干道之間是一片開(kāi)闊的休閑廣場(chǎng)，計(jì)劃在賞花步道與公園主干道之間設(shè)計(jì)一條美食街（美食街寬度忽略不計(jì)），使得美食街上的每一個(gè)攤位到賞花步道與到展覽館的距離相等。為了便于設(shè)計(jì)，在地圖上建立如圖平面直角坐標(biāo)系，賞花步道所在直線(xiàn)為y=4，公園主干道所在直線(xiàn)為y=-8，展覽館坐標(biāo)為（0，-4），設(shè)美食街?jǐn)偽籒（x，y）。

（1）若攤位在格點(diǎn)處，寫(xiě)出符合條件的兩個(gè)攤位坐標(biāo)_________________；

（2）求y與x之間的關(guān)系式，并在圖中畫(huà)出美食街；

（3）對(duì)于休閑廣場(chǎng)上的某一點(diǎn)M，記點(diǎn)M到美食街上某點(diǎn)N的距離，與點(diǎn)N到展覽館的距離之和的最小值為l，若8≤l≤10，則稱(chēng)點(diǎn)M為便利點(diǎn).

為了滿(mǎn)足市民游客的露營(yíng)需求，公園打算設(shè)置一片長(zhǎng)方形的露營(yíng)地，記為矩形ABCD，其中點(diǎn)A（a，-4），B（a+4，-4），C（a+4，-6），D（a，-6），當(dāng)露營(yíng)地上的任意一點(diǎn)都是便利點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出a的取值范圍.

解析：

01

(1)根據(jù)“使得美食街上的每一個(gè)攤位到賞花步道與到展覽館的距離相等”的要求，我們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言重新描述，在直線(xiàn)y=4和y=-8之間，找到點(diǎn)N，點(diǎn)N到展覽館(點(diǎn)P)的距離等于它到直線(xiàn)y=4的距離；

然后分別表示出點(diǎn)N到直線(xiàn)y=4的距離，這相對(duì)容易，為4-y，然后表示點(diǎn)N到點(diǎn)P的距離，這利用兩點(diǎn)距離公式可得，為√x2+(y+4)2，推導(dǎo)如下：

顯然這是一條拋物線(xiàn)，攤位在格點(diǎn)處，意味著只要在拋物線(xiàn)上找整數(shù)點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))即可，例如(0,0)，(4,-1)；

02

(2)我們?cè)谇懊娴耐茖?dǎo)中已經(jīng)得到了y與x之間的關(guān)系式，但要注意自變量取值范圍，題目來(lái)自真實(shí)情境，休閑廣場(chǎng)是有范圍的，因此畫(huà)拋物線(xiàn)圖象的時(shí)候，要有邊界，如下圖：

圖中的點(diǎn)P為展覽館，拋物線(xiàn)上的每一個(gè)點(diǎn)N到點(diǎn)P的距離都等于點(diǎn)N到直線(xiàn)y=4的距離，這不禁令人想到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)，這是后話(huà)，暫且不提；

03

(3)現(xiàn)在整個(gè)休閑廣場(chǎng)被美食街(函數(shù)y=-1/16x2圖象)分成了上下兩個(gè)部分，因此某一點(diǎn)M，自然也要分兩種情況探究；

①當(dāng)點(diǎn)M位于拋物線(xiàn)上方時(shí)

我們連接MP之后，在△MPN中，利用兩邊之和大于第三邊，可知MN+PN>MP，當(dāng)這三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取最小值，即l=MP；

②當(dāng)點(diǎn)M位于拋物線(xiàn)下方時(shí)

分別過(guò)點(diǎn)M、N向直線(xiàn)y=4作垂線(xiàn)，垂足分別為F、E，由前面條件可知PN=EN，因此MN+PN=MN+EN，根據(jù)垂線(xiàn)段最短，可知MN+EN

我們可以用更通俗的解讀：當(dāng)點(diǎn)M位于拋物線(xiàn)上方時(shí)，距離和l最小值就是線(xiàn)段MP的長(zhǎng)度；當(dāng)點(diǎn)M位于拋物線(xiàn)下方時(shí)，距離和l最小值就是垂線(xiàn)段MF的長(zhǎng)度；

然后我們作出矩形ABCD，如下圖：

我們先考慮其中一種情況，矩形ABCD有一部分在拋物線(xiàn)上方，另一部分在拋物線(xiàn)下方：

在拋物線(xiàn)上方的部分(矩形左邊紅色區(qū)域)，根據(jù)前面理解的距離和l的最小值為區(qū)域中任意點(diǎn)到點(diǎn)P的距離，我們將距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)D與點(diǎn)P連接，只要DP≤10即可，距離最近的點(diǎn)H坐標(biāo)可以求出來(lái)，H(-8,-4)，它到點(diǎn)P距離恰好等于8；

當(dāng)DP=10，即DP2=100，則a2+(-6+4)2=100，我們?nèi)∝?fù)值，解得a=-4√6；

在拋物線(xiàn)下方的部分(矩形右邊空白部分)，根據(jù)前面理解的距離和l的最小值為區(qū)域中任意點(diǎn)到直線(xiàn)y=4的距離，區(qū)域內(nèi)點(diǎn)縱坐標(biāo)最大值-4，最小值-6，因此到直線(xiàn)y=4的距離最大值為10，最小值為8，符合便利點(diǎn)定義，即矩形位于拋物線(xiàn)下方的部分全都是便利點(diǎn)；

因此我們只需要考慮矩形在拋物線(xiàn)上方的部分，并且只需要找到矩形上距離點(diǎn)P最遠(yuǎn)的頂點(diǎn)即可，所以當(dāng)矩形ABCD位于拋物線(xiàn)右側(cè)時(shí)，同理可證，如下圖：

同樣我們只用考慮CP≤10即可，

CP2=100，則(a+4)2+(-6+4)2=100，我們?nèi)≌担獾胊=-4+4√6；

綜上，-4√6≤a≤-4+4√6.

解題思考

先借助真實(shí)情景構(gòu)造出拋物線(xiàn)，這段描述本質(zhì)上是源自于人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)130頁(yè)，對(duì)拋物線(xiàn)的規(guī)范定義，如下圖：

如果學(xué)生在讀懂題意之后，用它去理解后面的便利點(diǎn)概念，會(huì)輕松許多。

在新定義便利點(diǎn)描述中，距離和最小，讓我們想起八年級(jí)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)著名的“將軍飲馬”問(wèn)題，那也是距離和問(wèn)題，當(dāng)時(shí)我們是將直線(xiàn)同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)，變成直線(xiàn)異側(cè)兩點(diǎn)，因此“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”，在本題中，我們同樣將兩條線(xiàn)段和轉(zhuǎn)化成了某條線(xiàn)段，所利用的依據(jù)除前面的公理之外，還有一個(gè)“垂線(xiàn)段最短”，這都是學(xué)生所熟知的公理；

便利點(diǎn)的新穎之處，就在于以?huà)佄锞€(xiàn)為界，上下有別，呈現(xiàn)兩種完全不同的性質(zhì)，從而導(dǎo)致距離和的計(jì)算方法不同，在矩形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)矩形在拋物線(xiàn)下方時(shí)，所有點(diǎn)都滿(mǎn)足條件8≤l≤10，這是解題關(guān)鍵；

學(xué)生在實(shí)際解題中，困惑于“露營(yíng)地上的任意一點(diǎn)都是便利點(diǎn)”，因?yàn)楸憷c(diǎn)本身需要判斷一次最值，而任意一點(diǎn)又需要學(xué)生從圖形通性上去尋找，思維難度較高；而本題對(duì)于學(xué)霸是十分友好的，前面的推導(dǎo)幾乎可以在腦中瞬間完成，外在表現(xiàn)就是秒殺了。