龐斯萊(V.Poncelet)的玩具

定線軌跡問題探究

在幾何動(dòng)點(diǎn)問題系列中，運(yùn)動(dòng)軌跡問題通常難度較高，需要學(xué)生對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑有清醒的認(rèn)識(shí)，更需要用方程或函數(shù)去描述，當(dāng)我們建立了平面直角坐標(biāo)系之后，初中數(shù)學(xué)范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)的每一段狀態(tài)，都可以有相應(yīng)的函數(shù)描述，每一個(gè)點(diǎn)的位置，都可以找到相應(yīng)的方程的解?；谝陨险J(rèn)知，再來看定線問題，所謂定線，可分為固定直線、過定點(diǎn)的直線、定圓等，涉及到的知識(shí)很多，這里的“定”是確定的意思，可以是已知數(shù)值，也可以是字母表示的常數(shù)，理解了這些內(nèi)容，我們來看下面這道題.

題目

解析：

01

(1)先理解玩具中的小棍在數(shù)學(xué)上的意義，即定長(zhǎng)線段，按題目描述，設(shè)AB=BC=BG=a，AF=AD=b，CD=DE=EF=CF=c，其中a、b、c均為常數(shù)，并滿足a

由這些條件，本小題可輕松秒掉了，如下圖：

連接DF之后，點(diǎn)A到線段DF兩端距離相等，點(diǎn)C到線段DF兩端距離相等，點(diǎn)E到線段DF兩端距離相等，因此這三個(gè)點(diǎn)都在線段DF的垂直平分線上，即圖中的AE所在直線；

02

(2)圖中已經(jīng)給出了這條定線EH，由于EH⊥AB，因此我們只需要說明AH長(zhǎng)度是定值，當(dāng)AH長(zhǎng)度為定值的時(shí)候，則點(diǎn)H為定點(diǎn)，而直線上經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，從而說明EH是定線；

連接CG，如下圖：

連接CG的目的是構(gòu)造出一對(duì)相似三角形，△AGC∽△AEH，從而得到AC：AH=AG：AE，于是AH=AC·AE/AG，我們將等式右邊的線段AC，AE，AG分別用含a，b，c的代數(shù)式表示出來，便可說明AH的長(zhǎng)為定值；

解題思考

在給學(xué)生完成的過程中，很多學(xué)生在審題環(huán)節(jié)被pass掉了，玩具的原理描述中，實(shí)際上是三種不同長(zhǎng)度的木棍，這些長(zhǎng)度就是定值線段，即需要我們用數(shù)學(xué)的眼光去看待玩具構(gòu)成中的木棍；

另一個(gè)理解上的難點(diǎn)在于定線的理解，點(diǎn)E在一定直線上運(yùn)動(dòng)，在結(jié)論之前，題目給出了“當(dāng)點(diǎn)C在半圓B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E在一條直線上運(yùn)動(dòng)”，即點(diǎn)C和點(diǎn)E是相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)C帶動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，之所以能帶動(dòng)，則是線段定長(zhǎng)的原因，這需要一點(diǎn)生活經(jīng)驗(yàn)，我們不少學(xué)生玩過玩具，這種連桿結(jié)構(gòu)的玩具，就是典型的由幾根長(zhǎng)度不一的木棍連接之后，相互之間的轉(zhuǎn)動(dòng)，但聯(lián)動(dòng)之下某個(gè)點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)一種定態(tài)，很多機(jī)械方面的原理都與此有關(guān)；

在用參數(shù)表示線段AH長(zhǎng)度的時(shí)候，相似三角形只是個(gè)引子，并沒有涉及到復(fù)雜的比例變換，這十分貼合2022版新課標(biāo)中對(duì)相似內(nèi)容的學(xué)業(yè)要求，重點(diǎn)在于對(duì)其中線段之間關(guān)系的尋找，勾股定理反倒更關(guān)鍵；

最后，順便說一下這道題目的制圖，無論是用幾何畫板或是GeoGebra，一定要作定長(zhǎng)線段才能完美呈現(xiàn)整個(gè)動(dòng)態(tài)過程。