新定義“等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”

逆向思維破局

一般而言，新定義題的解題關(guān)鍵是讀懂新定義，這和我們平時(shí)數(shù)學(xué)課堂上概念教學(xué)的學(xué)習(xí)方式是完全相同的，區(qū)別在于新定義試題要求在較短時(shí)間內(nèi)完全理解數(shù)學(xué)概念并運(yùn)用它解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在教學(xué)中是否認(rèn)真對(duì)待每一節(jié)數(shù)學(xué)概念課，學(xué)生是否真正學(xué)會(huì)了如何理解數(shù)學(xué)概念，通過(guò)這一類(lèi)題型，可以較好地進(jìn)行評(píng)價(jià)。

同時(shí)新定義壓軸題也是綜合題，多個(gè)數(shù)學(xué)元素結(jié)合起來(lái)，通過(guò)各種代數(shù)、幾何變換，成為新的合集，多數(shù)題目需要學(xué)生作圖，甚至作圖也不能完全描述圖形的動(dòng)態(tài)，更需要想象，在數(shù)學(xué)中我們稱(chēng)之為抽象，即用數(shù)學(xué)思維去思考。

下面以2025年1月北京海淀區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)期末第28題為例：

題目

28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為2，對(duì)于點(diǎn)P，Q和⊙O的弦AB，給出如下定義：

若弦AB上存在點(diǎn)C，使得點(diǎn)P繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后與點(diǎn)Q重合，則稱(chēng)點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)”.

(1)如圖，點(diǎn)P(-2,0)，直線(xiàn)x=1與⊙O交于點(diǎn)A，B.

①點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)____________，點(diǎn)B__________(填“是”或“不是”)點(diǎn)P關(guān)于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”；

②若點(diǎn)P關(guān)于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”為點(diǎn)Q，則PQ的最小值為_(kāi)____________，當(dāng)PQ與⊙O相切時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)____________；

(2)已知點(diǎn)D(t,0)，E(-1,0)，若對(duì)于線(xiàn)段OE上的每一點(diǎn)M，都存在⊙O的長(zhǎng)為2√3的弦GH，使得點(diǎn)M是點(diǎn)D關(guān)于弦GH的“等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，直接寫(xiě)出t的取值范圍.

解析：

01

(1)我們?cè)诓莞寮埳习搭}目要求作圖，請(qǐng)注意“存在”一詞在數(shù)學(xué)中的含義，如下圖：

圖中的△CPQ是一個(gè)等邊三角形，這也是新定義中“等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”前兩個(gè)字的字面意思，其中頂點(diǎn)C在弦AB上，對(duì)于題目中“逆時(shí)針”的含義，有必要多解讀下，在一個(gè)等邊三角形中，以任意一個(gè)頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，另外兩個(gè)頂點(diǎn)都可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)相互得到，那這里的逆時(shí)針顯然是規(guī)定了方向，因此我們可以說(shuō)點(diǎn)P繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)Q，同樣也可以說(shuō)點(diǎn)Q繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)C，這兩種旋轉(zhuǎn)變換是等價(jià)的，這也是為后面的逆向思維埋伏筆；

本小題中，給定了P點(diǎn)坐標(biāo)和弦AB，如下圖：

①我們連接OA，OB，順便連接PA，PB，觀察△OBC，這是一個(gè)直角三角形，其中OC=1，OB=2，因此很容易求得BC=√3，所以點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,-√3)，在△OBC中，易知∠OBC=30°，∠BOC=60°，同理在△AOC中，∠AOC=60°，于是∠AOB=120°，它在圓中是圓心角，所以同弧所對(duì)的圓周角∠APB=60°，點(diǎn)A和點(diǎn)B本身關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，于是PA=PB，再加上∠APB=60°，所以△APB是等邊三角形，其中點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后與B重合，所以點(diǎn)B是點(diǎn)P關(guān)于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”；

②接上圖，弦AB上也存在其余的點(diǎn)，以這些點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，找到點(diǎn)P關(guān)于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，不妨作其中一個(gè)，如下圖：

點(diǎn)C為弦AB上一點(diǎn)，點(diǎn)P繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后與點(diǎn)Q重合，這三個(gè)點(diǎn)又構(gòu)成一個(gè)等邊△CPQ，其中邊長(zhǎng)PC存在一個(gè)最小值，即當(dāng)PC⊥AB時(shí)，CP最小值為3，此時(shí)PQ的最小值也是3；

當(dāng)PQ與⊙O相切時(shí)，點(diǎn)P為切點(diǎn)，此時(shí)PQ作為切線(xiàn)，應(yīng)該與經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的直徑垂直，即PQ⊥x軸，如下圖：

借助第①小題的圖，我們可求得∠OPB=30°，而△CPQ是等邊三角形，則∠CPQ=60°，再結(jié)合∠OPQ=90°，得∠OPC=30°，于是可判斷點(diǎn)C與點(diǎn)B重合；

我們前面已經(jīng)求過(guò)BP=2√3，所以此時(shí)PQ=BP=2√3，得到點(diǎn)Q坐標(biāo)為(-2,-2√3)；

02

(2)能確定的⊙O不變，點(diǎn)E位置已知，點(diǎn)D在x軸上，按照“等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”的定義，我們需要找到旋轉(zhuǎn)中心C，即某條弦GH上的一個(gè)點(diǎn)，對(duì)于這條弦GH，僅僅知道它的長(zhǎng)度是2√3，是圓內(nèi)的一條定弦，這樣的弦在圓內(nèi)有無(wú)數(shù)條，它們有一個(gè)共同特征，就是圓心距是定值，不妨作出這樣的一條弦來(lái)觀察，如下圖：

仍然由第①小題的圖，可求得弦心距OC=1，于是所有這些長(zhǎng)度為2√3的弦，在⊙O中可能的位置，便形成一個(gè)圓環(huán)，圖中綠色部分，內(nèi)圓半徑為1，外圓半徑為2，我們需要的旋轉(zhuǎn)中心C，就存在于這個(gè)圓環(huán)內(nèi)(包括邊界)；

我們需要將點(diǎn)D繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)M，這個(gè)點(diǎn)M是線(xiàn)段OE上任意一點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)中心位置未確定的情況下，旋轉(zhuǎn)變換屬于無(wú)根之水，因此我們需要將上面的描述稍稍調(diào)整一下：

我們知道點(diǎn)D、點(diǎn)C和點(diǎn)M是一定可以構(gòu)成等邊三角形的，逆向思考：點(diǎn)M繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°可得到點(diǎn)C，既然點(diǎn)M是線(xiàn)段OE上任意一點(diǎn)，那不妨將整個(gè)線(xiàn)段OE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得線(xiàn)段O'E'，則O'E'上的點(diǎn)，即可能存在的旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)C，如下圖：

結(jié)果前面對(duì)圓環(huán)的解讀，只要線(xiàn)段O'E'全部在圓環(huán)內(nèi)即可滿(mǎn)足線(xiàn)段OE上任意一點(diǎn)M，都能以線(xiàn)段O'E'上某個(gè)點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到；

所以現(xiàn)在我們的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成，線(xiàn)段O'E'何時(shí)全部在圓環(huán)內(nèi)？

顯然，隨著點(diǎn)D位置不同，線(xiàn)段O'E'位置也不同，如下圖：

形成動(dòng)態(tài)圖象之后，我們即可尋找特殊位置，要滿(mǎn)足線(xiàn)段O'E'全部在圓環(huán)內(nèi)，當(dāng)點(diǎn)t增大時(shí)，點(diǎn)O'在外圓上時(shí)開(kāi)始，到O'E'與內(nèi)圓相切時(shí)結(jié)束，這段范圍內(nèi)的O'E'，全部在圓環(huán)內(nèi)；

先看第一個(gè)t值，如下圖：

很明顯，此時(shí)的t=-2；

再來(lái)看第二個(gè)t值，如下圖：

設(shè)線(xiàn)段O'E'與內(nèi)圓相切于點(diǎn)N，在Rt△ODN中，ON=1，則可求得OD=2√3/3，于是此時(shí)t=-2√3/3，所以t的第一段范圍是-2≤t≤-2√3/3；

當(dāng)點(diǎn)D來(lái)到x軸正半軸時(shí)，情況大體類(lèi)似，如下圖：

我們來(lái)看第三個(gè)t值，如下圖：

很顯然，此時(shí)t=1；

現(xiàn)在看最后一個(gè)t值，如下圖：

我們過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸，在Rt△DE'F中，DF=1/2(t+1)，于是表示出E'F=√3/2(t+1)，而F為DE中點(diǎn)，因此F(t/2-1/2,0)，得到點(diǎn)E'(t/2-1/2,-√3/2(t+1))，我們知道OE'=2，由兩點(diǎn)間距離公式列方程(t/2-1/2)2+[√3/2(t+1)]2=4，整理得t2+t-3=0，解得t=(-1+√13)/2，于是第二段t的范圍是1≤t≤(-1+√13)/2.

解題思考

本題的解題思路還可以繼續(xù)改進(jìn)，當(dāng)點(diǎn)D從左向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的線(xiàn)段O'E'自左上向右下運(yùn)動(dòng)，這個(gè)運(yùn)動(dòng)通道與圓環(huán)有重合部分，如下圖：

當(dāng)線(xiàn)段O'E'在通道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，上述四種狀態(tài)也可以很容易找到。

學(xué)生在解題過(guò)程中，對(duì)于“弦AB上存在點(diǎn)C”、“線(xiàn)段OE上的每一點(diǎn)M”理解感到困難，雖然在教學(xué)中我們解讀“存在”和“每一點(diǎn)”后，學(xué)生當(dāng)時(shí)能明白，但若僅僅是聽(tīng)明白，而不是想明白，這兩段話(huà)在未來(lái)依然可能是閱讀障礙，所以我們要課堂解題教學(xué)中，應(yīng)該努力幫助學(xué)生理解題意，扶著走，最終是為了放手。

第2小題還有一種理解方式，就是仍然按正向思維，以可能存在的點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將點(diǎn)D繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，那所有可能的M點(diǎn)也將是個(gè)圓環(huán)，如下圖：

當(dāng)圓環(huán)全部覆蓋線(xiàn)段OE時(shí)，即滿(mǎn)足題目條件，我們可以得到相同的結(jié)果。

無(wú)論是正向思維或是逆向思維，本題都可以突破，根據(jù)學(xué)生實(shí)情選擇合適的方法。