新定義“等邊旋轉(zhuǎn)點”

逆向思維破局

一般而言，新定義題的解題關(guān)鍵是讀懂新定義，這和我們平時數(shù)學課堂上概念教學的學習方式是完全相同的，區(qū)別在于新定義試題要求在較短時間內(nèi)完全理解數(shù)學概念并運用它解決數(shù)學問題。在教學中是否認真對待每一節(jié)數(shù)學概念課，學生是否真正學會了如何理解數(shù)學概念，通過這一類題型，可以較好地進行評價。

同時新定義壓軸題也是綜合題，多個數(shù)學元素結(jié)合起來，通過各種代數(shù)、幾何變換，成為新的合集，多數(shù)題目需要學生作圖，甚至作圖也不能完全描述圖形的動態(tài)，更需要想象，在數(shù)學中我們稱之為抽象，即用數(shù)學思維去思考。

下面以2025年1月北京海淀區(qū)九年級數(shù)學期末第28題為例：

題目

28.在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為2，對于點P，Q和⊙O的弦AB，給出如下定義：

若弦AB上存在點C，使得點P繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°后與點Q重合，則稱點Q是點P關(guān)于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)”.

(1)如圖，點P(-2,0)，直線x=1與⊙O交于點A，B.

①點B的坐標為_____________，點B__________(填“是”或“不是”)點P關(guān)于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”；

②若點P關(guān)于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”為點Q，則PQ的最小值為_____________，當PQ與⊙O相切時，點Q的坐標為_____________；

(2)已知點D(t,0)，E(-1,0)，若對于線段OE上的每一點M，都存在⊙O的長為2√3的弦GH，使得點M是點D關(guān)于弦GH的“等邊旋轉(zhuǎn)點”，直接寫出t的取值范圍.

解析：

01

(1)我們在草稿紙上按題目要求作圖，請注意“存在”一詞在數(shù)學中的含義，如下圖：

圖中的△CPQ是一個等邊三角形，這也是新定義中“等邊旋轉(zhuǎn)點”前兩個字的字面意思，其中頂點C在弦AB上，對于題目中“逆時針”的含義，有必要多解讀下，在一個等邊三角形中，以任意一個頂點為旋轉(zhuǎn)中心，另外兩個頂點都可以通過旋轉(zhuǎn)相互得到，那這里的逆時針顯然是規(guī)定了方向，因此我們可以說點P繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到點Q，同樣也可以說點Q繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到點C，這兩種旋轉(zhuǎn)變換是等價的，這也是為后面的逆向思維埋伏筆；

本小題中，給定了P點坐標和弦AB，如下圖：

①我們連接OA，OB，順便連接PA，PB，觀察△OBC，這是一個直角三角形，其中OC=1，OB=2，因此很容易求得BC=√3，所以點B坐標為(1,-√3)，在△OBC中，易知∠OBC=30°，∠BOC=60°，同理在△AOC中，∠AOC=60°，于是∠AOB=120°，它在圓中是圓心角，所以同弧所對的圓周角∠APB=60°，點A和點B本身關(guān)于x軸對稱，于是PA=PB，再加上∠APB=60°，所以△APB是等邊三角形，其中點P繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后與B重合，所以點B是點P關(guān)于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”；

②接上圖，弦AB上也存在其余的點，以這些點為旋轉(zhuǎn)中心，找到點P關(guān)于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”，不妨作其中一個，如下圖：

點C為弦AB上一點，點P繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°后與點Q重合，這三個點又構(gòu)成一個等邊△CPQ，其中邊長PC存在一個最小值，即當PC⊥AB時，CP最小值為3，此時PQ的最小值也是3；

當PQ與⊙O相切時，點P為切點，此時PQ作為切線，應(yīng)該與經(jīng)過切點的直徑垂直，即PQ⊥x軸，如下圖：

借助第①小題的圖，我們可求得∠OPB=30°，而△CPQ是等邊三角形，則∠CPQ=60°，再結(jié)合∠OPQ=90°，得∠OPC=30°，于是可判斷點C與點B重合；

我們前面已經(jīng)求過BP=2√3，所以此時PQ=BP=2√3，得到點Q坐標為(-2,-2√3)；

02

(2)能確定的⊙O不變，點E位置已知，點D在x軸上，按照“等邊旋轉(zhuǎn)點”的定義，我們需要找到旋轉(zhuǎn)中心C，即某條弦GH上的一個點，對于這條弦GH，僅僅知道它的長度是2√3，是圓內(nèi)的一條定弦，這樣的弦在圓內(nèi)有無數(shù)條，它們有一個共同特征，就是圓心距是定值，不妨作出這樣的一條弦來觀察，如下圖：

仍然由第①小題的圖，可求得弦心距OC=1，于是所有這些長度為2√3的弦，在⊙O中可能的位置，便形成一個圓環(huán)，圖中綠色部分，內(nèi)圓半徑為1，外圓半徑為2，我們需要的旋轉(zhuǎn)中心C，就存在于這個圓環(huán)內(nèi)(包括邊界)；

我們需要將點D繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到點M，這個點M是線段OE上任意一點，在旋轉(zhuǎn)中心位置未確定的情況下，旋轉(zhuǎn)變換屬于無根之水，因此我們需要將上面的描述稍稍調(diào)整一下：

我們知道點D、點C和點M是一定可以構(gòu)成等邊三角形的，逆向思考：點M繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°可得到點C，既然點M是線段OE上任意一點，那不妨將整個線段OE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得線段O'E'，則O'E'上的點，即可能存在的旋轉(zhuǎn)中心點C，如下圖：

結(jié)果前面對圓環(huán)的解讀，只要線段O'E'全部在圓環(huán)內(nèi)即可滿足線段OE上任意一點M，都能以線段O'E'上某個點為旋轉(zhuǎn)中心，將點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到；

所以現(xiàn)在我們的問題轉(zhuǎn)換成，線段O'E'何時全部在圓環(huán)內(nèi)？

顯然，隨著點D位置不同，線段O'E'位置也不同，如下圖：

形成動態(tài)圖象之后，我們即可尋找特殊位置，要滿足線段O'E'全部在圓環(huán)內(nèi)，當點t增大時，點O'在外圓上時開始，到O'E'與內(nèi)圓相切時結(jié)束，這段范圍內(nèi)的O'E'，全部在圓環(huán)內(nèi)；

先看第一個t值，如下圖：

很明顯，此時的t=-2；

再來看第二個t值，如下圖：

設(shè)線段O'E'與內(nèi)圓相切于點N，在Rt△ODN中，ON=1，則可求得OD=2√3/3，于是此時t=-2√3/3，所以t的第一段范圍是-2≤t≤-2√3/3；

當點D來到x軸正半軸時，情況大體類似，如下圖：

我們來看第三個t值，如下圖：

很顯然，此時t=1；

現(xiàn)在看最后一個t值，如下圖：

我們過點E作EF⊥x軸，在Rt△DE'F中，DF=1/2(t+1)，于是表示出E'F=√3/2(t+1)，而F為DE中點，因此F(t/2-1/2,0)，得到點E'(t/2-1/2,-√3/2(t+1))，我們知道OE'=2，由兩點間距離公式列方程(t/2-1/2)2+[√3/2(t+1)]2=4，整理得t2+t-3=0，解得t=(-1+√13)/2，于是第二段t的范圍是1≤t≤(-1+√13)/2.

解題思考

本題的解題思路還可以繼續(xù)改進，當點D從左向右運動時，相應(yīng)的線段O'E'自左上向右下運動，這個運動通道與圓環(huán)有重合部分，如下圖：

當線段O'E'在通道內(nèi)運動時，上述四種狀態(tài)也可以很容易找到。

學生在解題過程中，對于“弦AB上存在點C”、“線段OE上的每一點M”理解感到困難，雖然在教學中我們解讀“存在”和“每一點”后，學生當時能明白，但若僅僅是聽明白，而不是想明白，這兩段話在未來依然可能是閱讀障礙，所以我們要課堂解題教學中，應(yīng)該努力幫助學生理解題意，扶著走，最終是為了放手。

第2小題還有一種理解方式，就是仍然按正向思維，以可能存在的點C為旋轉(zhuǎn)中心，將點D繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，那所有可能的M點也將是個圓環(huán)，如下圖：

當圓環(huán)全部覆蓋線段OE時，即滿足題目條件，我們可以得到相同的結(jié)果。

無論是正向思維或是逆向思維，本題都可以突破，根據(jù)學生實情選擇合適的方法。