今天我們來說遇到中點如何作輔助線

01

構(gòu)造中位線

• 第一種：直接連起來

當你看到題目中有有兩個、兩個以上的中點，首先考慮的就是：

把這兩個中點連接起來，這樣就得到了一條中位線。

在三角形中：

• 中位線平行于底邊；
• 是底邊的1/2。

這樣在求線段長度的問題上能幫我們破局。

看下面這一題。

說D和E是兩個中點，我們首先想到把它倆連接起來。

得到中線DE。

DE是平行且等于1/2BC的，它的長度知道后，我們就可以利用勾股定理算出EF的長。

再看下面這個。

圖中D和E是兩個中點，我們把它連接起來，得到DE 。

DE平行于AB，那么我們根據(jù)平行就得到一對蝴蝶型的相似三角形。

這兩個相似三角形的相似比是1比2，那么我們就可以根據(jù)這個關(guān)系來算出DF的長。

DF的長出來了，那么AD的長也出來了，我們就可以算三角形的面積了。

• 第二種，做平行線得到中位線

題目中沒有兩個中點——只有一個，甚至一個也沒有，比較隱晦，你需要自己找到。

找到之后，從這個中點往對邊做一條平行線，這樣你就得到了一條中位線。

接下來咱們就可以利用中位線的性質(zhì)來做一些求解。

看下面這道題：

D是AC的中點，我們就從D作一條平行于BC的線段DF，這條線段就是中線。

那么F也是AB的中點，然后再根據(jù)中線平行于底邊,得到一對蝴蝶型全等的三角形。

邊的關(guān)系，我們就可以算出來了。

這就是構(gòu)造中位線的兩種方法：

• 一種是有明顯的中點，你就直接連接；
• 一種是有一個中點，或沒有說中點的事，你找到中點后大膽作平行線就構(gòu)造了中位線。

有中位線后，利用中位線的的性質(zhì)，可以很巧妙地解決一些問題。

02

構(gòu)造中線

中線和中位線不一樣。

中線是三角形的一個頂點到對邊中點的連線。

通常在等腰三角形中，中線和垂直平分線、角平分線三線合一。

所以，遇到等腰三角形，我們作中線，會得到：

角相等、線段相等、垂直——

利用這些特殊性質(zhì)，做題很流暢。

構(gòu)造中線的兩種方法。

• 第一種，已知等腰三角形，作它底邊上的中線。

比如下面這兩道題。

第8題是作了中線后，找到了等量關(guān)系，求解出我們需要的長度。

第9題是根據(jù)中線的性質(zhì)，找到了全等關(guān)系，然后得出了我們需要的關(guān)鍵線段的長度。

• 第二種，在直角三角形中構(gòu)造中線。

我們都知道直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

當你遇到一個直角三角形，就作它斜邊上的中線。

如此一來，我們可以利用中線和斜邊被分開的兩條線段相等，得到很多相等關(guān)系。

比如下面這3道題。

• 第10題。

三角形ABC是直角，D是AB邊上的中點。

連接CD——構(gòu)造中線。

那么CD就等于斜邊的一半，也等于4，這樣我們可以得到一個等腰三角形DCB。

又因為角度關(guān)系，我們可以得出EC＝CD。

• 第11題。

還是構(gòu)造中線，連接CE。

我們得到等邊三角形ACE，從而可以算出BC的長度。

BC的長度有了CD也能算出來。

然后我們就可以在直角三角形CDE中，利用勾股定理來算DE的長度了.

• 第12題

第12題稍微復(fù)雜一點，我把解題過程寫一下。

這就是構(gòu)造中線的兩種方法，主要集中在特殊三角形中。

情況一旦特殊，其實還好辦了。

關(guān)鍵是不特殊。

如果不特殊怎么辦呢？不特殊就想辦法讓它特殊。

下面說第三種方法。

03

構(gòu)造倍長中線

是這樣的：

我們把中線延長至原來的兩倍長。

比如在三角形ABC中AD是中線，那么我們延長AD到E點，使DE=AD，那么AE就是二倍的AD。

這樣可以得到一對全等的三角形，也得到了一對平行關(guān)系。

有了全等和平行，這不就特殊了嗎？！

在這些特殊關(guān)系的加持下，計算角度、長度，都簡便許多。

看下面這道題。

當我們作出倍長中線AE，得到全等三角形。

那么，BE的長度我們就知道了＝6。

而通過角度計算，三角形BCE是個等腰三角形，那么BC的長度我們就知道了。

上面是一個簡單的填空題，下面我們再看一個大題。

這道題也不難，但它是倍長中線的一個探索過程，對我們會很有啟發(fā)。

在這道題中:

• 第一問，帶我們探索了倍長中線構(gòu)成的全等三角形；
• 第二問，探索了倍長中線的長度范圍，放到三角形中，也不難理解。
• 第三問，拓展延伸，這里利用了兩次全等。

第一次全等是倍長中線構(gòu)成的全等三角形。

第二次是由全等三角形得出的線段相等和角度相等，進一步得出一對全等三角形。

好，到這里我們就總結(jié)完了。

回顧一下，遇到中點：

我們可以構(gòu)造中位線、中線、倍長中線，利用“特殊性”解決問題。

你發(fā)現(xiàn)沒，做輔助線，看起來難，其實無非是根據(jù)題意，看看題目上有什么，你往前多想想。

• 一次想不對，就多試試，試幾次就有譜了。
• 自己想不出來，就看看別人的，學過來，總結(jié)一下，下次就行了。

只要你帶著腦袋學習，哪怕這顆腦袋運行得慢一些，也沒多大關(guān)系。

有心就行。

謝謝閱讀，本文結(jié)束。