死磕套路屢碰壁，回溯通法方破局

當(dāng)我們在八年級(jí)學(xué)習(xí)了全等三角形之后，基于全等判定的各類模型大行其道，也頗有奇效，畢竟教材上的例題也好，習(xí)題也罷，綜合程度并不高，這些模型的簡單應(yīng)用足以解決問題，但若就此以為高枕無憂，確實(shí)打錯(cuò)了算盤。

走出模型應(yīng)用的舒適區(qū)很難，特別對(duì)于嘗到了甜頭的八年級(jí)學(xué)生，甚至老師，數(shù)學(xué)作為一門理性學(xué)科，從來不需要給某種方法立個(gè)牌坊，而需要質(zhì)疑一切的探究精神。

題目

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(90° <α<120°)，d為bc的中點(diǎn)，e是線段cd上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)c、d重合)，連接ae，將線段ae逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段af，連接ef交ac于點(diǎn)g，過點(diǎn)b作ac的平行線交fe的延長線于點(diǎn)h.< pan>

(1)求證：∠ACF=∠CBH；

(2)若M為線段FH的中點(diǎn)，連接DM，用等式表示線段DM與FG之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

解析：

01

(1)經(jīng)典手拉手模型，觀察此類模型，抓住等腰三角形這個(gè)核心條件即可，圖中有兩個(gè)等腰三角形，且頂角相同，分別是△ABC和△AEF，如下圖：

這樣我們可以得到AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=α，所以∠BAE=∠CAF，從而證明了△ABE≌△ACF，所以∠ABE=∠ACF.

而∠ABC=∠ACB，于是∠ACB=∠ACF，再利用BH∥AC得到∠CBH=∠ACB，最后得到∠ACF=∠CBH.

02

(2)秉持觀察-猜想-驗(yàn)證的基本方法，首先作圖如下：

學(xué)生感到困難的地方在于線段DM和線段FG看上去沒啥關(guān)聯(lián)，因此建立它們之間的聯(lián)系是當(dāng)務(wù)之急，用簡單的目測或估測，猜想FG=2DM，回顧我們曾學(xué)過的證明二倍線段的方法，最容易想到的是截長補(bǔ)短，以及由此衍生的倍長中線，這個(gè)思考問題的方式?jīng)]有錯(cuò)，于是便有了如下嘗試：

學(xué)生一：

學(xué)生二：

學(xué)生三：

以上嘗試全部以失敗告終，前面兩位學(xué)生甚至沒能構(gòu)造出全等三角形，第三位學(xué)生添加了更多輔助線，仍然不能如愿，就此陷入困境.

無論哪一位學(xué)生，在探索證法的過程中，都有意無意忽略掉了BH∥AC和點(diǎn)D為BC中點(diǎn)這個(gè)條件，缺乏這兩個(gè)關(guān)鍵條件的推導(dǎo)，自然難有結(jié)果.

所以我們需要回到題目原始條件，平行和中點(diǎn)這兩個(gè)條件能給我們帶來哪些突破？

連接GD并延長，交BH于點(diǎn)K，連接EK，如下圖：

借助BH∥AC，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，我們易得△BDK≌△CDG，于是可證DK=DG，即點(diǎn)D也是KG中點(diǎn)，從作圖結(jié)果來看，如果點(diǎn)M也是EG中點(diǎn)，則可利用中位線判定EK=2DM.

順著這條思路走下去，我們補(bǔ)全“拼圖”.

第一步，證明△BEK≌△CFG，如下圖：

由△BDK≌△CDG得BK=CG，前面已證過∠ACF=∠CBH，BE=CF，因此△BEK≌△CFG，得EK=FG，完成了線段FG的轉(zhuǎn)換任務(wù).

第二步，證明點(diǎn)M是EG中點(diǎn)：

由△BEK≌△CFG，得∠BKE=∠CGF，于是∠EKH=∠CGE，利用平行得∠CGE=∠H，所以∠EKH=∠H，所以EK=EH，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換得EK=FG=EH，即△EKH為等腰三角形，而點(diǎn)M是線段FH中點(diǎn)，于是FM=HM，兩邊分別減掉FG和EH，得GM=EM，故點(diǎn)M確實(shí)是EG中點(diǎn).

第三步，利用中位線完成證明：

現(xiàn)在已經(jīng)可以證明DM是△GEK中位線了，所以EK=2DM，最后轉(zhuǎn)換得FG=2DM.

解題思考

曾經(jīng)遇到過困難的這三位學(xué)生，最終都表明聽懂了，但這仍然不是這節(jié)課的終點(diǎn)，進(jìn)一步追問：你覺得你原先的思路哪有問題？均回答道：沒想到中位線.

通常情況下中等生在解題時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)想得太簡單的情況，倒不是題目真的簡單，而是他們想不到更深層的關(guān)聯(lián)，此時(shí)中線倍長法曾經(jīng)的成功占了上風(fēng)，難道倍長就只能延長？！

利用中點(diǎn)構(gòu)造中位線也并非難以想到，但在解這道題的過程中，有學(xué)生確實(shí)沒能聯(lián)想起來，由此反思我們的課堂教學(xué)，是否在這節(jié)課教學(xué)或后續(xù)教學(xué)中，對(duì)于中位線的構(gòu)建沒有足夠的重視？

點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，則點(diǎn)D是否是另外一條線段的中點(diǎn)？若圖中沒有這樣的線段，能否構(gòu)造？

倍長DM不可行，因?yàn)檠娱L后均為孤立的點(diǎn)，甚至由于作圖不夠準(zhǔn)確，還有幾個(gè)學(xué)生認(rèn)為倍長DM后恰好落在CF上(作圖必須準(zhǔn)確呀！)，便簡單轉(zhuǎn)為截長，取FG中點(diǎn)，但前面曾遇到過的問題一個(gè)也沒解決，其實(shí)這個(gè)時(shí)候?qū)W生仍然沒有意識(shí)到BH∥AC，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)究竟怎么用？

所以回歸到最初的方法，我們?nèi)绾巫C明一條線段是另一條線段的兩倍？

構(gòu)造一條線段滿足兩倍關(guān)系，再證明這條線段與原線段相等，這便是通法，涉及到全等三角形判定，中點(diǎn)相關(guān)的定理等，這個(gè)突破口一旦打開，后面的思路就如同泉涌了。