鏡動(dòng)光隨——跨學(xué)科數(shù)學(xué)壓軸題解密

記得讀書時(shí)，特別喜歡陽光明媚的日子，再加上一小塊可反射陽光的鏡子，控制那一小塊光斑在教室內(nèi)游走，直到被老師發(fā)現(xiàn)……并罰站。

以上是一段回憶材料，對(duì)于現(xiàn)在的學(xué)生，體驗(yàn)感可拉滿，畢竟沒玩過這個(gè)游戲的很少了，現(xiàn)在我們嘗試用數(shù)學(xué)的眼光來看這項(xiàng)操作——操作鏡面從而控制反射光線。

涉及到的物理知識(shí)，光的反射定律，需要研究的數(shù)學(xué)問題，隨著鏡面角度的轉(zhuǎn)變，反射光線會(huì)如何偏轉(zhuǎn)？然后在此基礎(chǔ)上簡化，鏡面用直線表示，光線用射線表示，限定若干操作以符合數(shù)學(xué)情景，便有了這么一道七年級(jí)數(shù)學(xué)跨學(xué)科應(yīng)用壓軸題。

題目

解析：

01

(1)其實(shí)這個(gè)小題最根本的是考作圖，而不是判斷關(guān)系，認(rèn)真對(duì)待本小題作圖的學(xué)生，同時(shí)確實(shí)理解了光的反射原理的學(xué)生，后面的會(huì)異常輕松，作圖如下：

圖中兩條法線是一組平行線，借助它們，很容易證明CD∥AB，不再贅述；

02

(2)鏡面旋轉(zhuǎn)過程中，光線AB始終不變，但是它的反射光線BC會(huì)隨鏡面旋轉(zhuǎn)而變化，第二次反射光線CD便存在兩種可能，在法線CF左側(cè)或在法線CF右側(cè).

當(dāng)CD在法線CF左側(cè)時(shí)，在圖2中作圖如下：

由a∥b可得∠ABG=∠BAC=40°，于是∠ABM=n+40°，根據(jù)法線定義可求出∠ABE=90°-(n+40°)=50°-n，由光的反射定律得∠CBE=50°-n，所以∠CBD=n+40°，而∠DBF=∠GBM=n，可求得∠CBF=2n+40°，則它的內(nèi)錯(cuò)角∠BCE=2n+40°，最后得到∠BCF=90°-(2n+40°)=50°-2n，因此∠BCD=2∠BCF=100°-4n；

當(dāng)CD在法線CF右側(cè)時(shí)，在備用圖中作圖如下：

按前一種情況的思路，先求出∠ABD=n+40°，所以∠CBM=n+40°，可得∠CBG=2n+40°，再表示出∠BCF=2n+40°-90°=2n-50°，最后求得∠BCD=4n-100°；

綜上，∠BCD=100°-4n或4n-100°.

03

(3)需要說明的是，題目中并沒有給出AB與直線a的夾角大小，然而反射光線CD又的確與它有關(guān)，可能會(huì)出現(xiàn)反射點(diǎn)C位于點(diǎn)A左側(cè)或右側(cè)，看結(jié)論是否依然成立.

當(dāng)反射點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，探究作圖如下：

不妨令∠BCA=x，則∠ABF=x，∠ABM=n+x，得∠CBN=n+x，可求出∠CBG=2n+x，于是∠BCN=180°-2n-x，而∠BCN=∠ACH，所以在Rt△ACH中，∠ACH+∠BAC=90°，列等式為180°-2n-x+x=90°，求出n=45；

當(dāng)反射點(diǎn)C在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，繼續(xù)探究作圖如下：

和前面的探究類似，仍然令∠BCA=x，則∠CBF=x，∠CBM=

n+x，得∠CBE=90°-n-x，所以∠CBA=180°-2n-2x，又∠ACQ=x，于是∠BCQ=2x，在Rt△BCQ中，∠CBQ+∠BCQ=90°，列等式為180°-2n-2x+2x=90°，求出n=45；

即無論反射點(diǎn)C位于點(diǎn)A左側(cè)或右側(cè)，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，n=45°.

解題思考

跨學(xué)科是目前非常熱門的教育現(xiàn)象，和新課標(biāo)、新教材中的數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐關(guān)系緊密，伴隨的還有項(xiàng)目式學(xué)習(xí)等，這意味著我們的教學(xué)需要走出按知識(shí)點(diǎn)、章節(jié)體系的模式，從而幫助學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)在真實(shí)情境中去應(yīng)用，畢竟我們的學(xué)生在未來面對(duì)的不會(huì)是一道道的習(xí)題，而是一個(gè)個(gè)的問題，他們需要用數(shù)學(xué)的眼光去看待這些實(shí)際問題，用數(shù)學(xué)思維去思考這些問題，再用數(shù)學(xué)語言去描述、表達(dá).

真實(shí)情境中的問題并不會(huì)分學(xué)科，基本上都是跨學(xué)科，但我們無論跨什么學(xué)科，有一只腳必須站穩(wěn)數(shù)學(xué)陣地，即在數(shù)學(xué)跨其它學(xué)科的狀態(tài)下，本質(zhì)上仍然是數(shù)學(xué).

本題的跨學(xué)科背景是物理，但它并非是一道物理光學(xué)試題，本質(zhì)上仍然是數(shù)學(xué)的幾何綜合題，光的反射定律中，入射光線與反射光線，用數(shù)學(xué)語言解讀，它們是關(guān)于法線的軸對(duì)稱圖形，所以在每一次作圖中，法線極其重要.

解題的另一個(gè)關(guān)鍵技能是作圖，在七年級(jí)學(xué)習(xí)中，幾何圖形往往都比較簡單，有學(xué)生甚至老師會(huì)覺得想像下就可以了，除開極個(gè)別天才型選手，多數(shù)學(xué)生仍然需要通過作圖去建立基本的幾何模型，腦中的幾何圖象，正是通過一次次規(guī)范作圖才會(huì)形成，我們雖然贊賞“無圖勝有圖”，但無圖的前提，是規(guī)范作圖，畢竟一個(gè)班，多數(shù)學(xué)生并不是天才.

特別是最后一問，雖然n=45°與光線AB和直線a的夾角無關(guān)，但夾角不同，作圖不同，需要探究的過程也不同，命題時(shí)是為了學(xué)生答題方便，所以只要求寫出結(jié)論，但如果是在班上評(píng)講，則仍然要詳細(xì)說明為什么要分類討論.