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對波的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究導(dǎo)致了“景觀函數(shù)”的發(fā)展，該函數(shù)迅速徹底改變了節(jié)能LED燈泡的工程設(shè)計。

圖源：Francesco Carta fotografo

作者：Thomas Sumner（科學(xué)傳播者和編輯）2025-3-24

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-4-11

說到燈泡，你腦子里浮現(xiàn)的可能是托馬斯·愛迪生近150年前發(fā)明的那種白熾燈泡。這些燈泡的能效低得驚人。只有大約5%的能量被轉(zhuǎn)化為可見光，其余的都以熱量的形式浪費掉了。如此低效，以至于用這些燈泡在簡易烤箱里烤餅干比用它們照明更節(jié)能。

過去幾年，白熾燈已逐漸被LED燈取代，LED燈的能耗僅為白熾燈的十分之一，卻能產(chǎn)生同等程度的亮度。僅在2018年，LED燈的普及就為美國家庭節(jié)省了約147億美元的電費 https://www.energy.gov/eere/ssl/led-adoption-report 。到2035年，預(yù)計累計節(jié)省金額將達到 8900億美元 https://www.energy.gov/eere/ssl/ssl-forecast-report 。

現(xiàn)代LED驚人的能效，很大程度上歸功于純數(shù)學(xué)領(lǐng)域近年來的突破。與應(yīng)用數(shù)學(xué)不同，純數(shù)學(xué)并不以應(yīng)用為目的——它是為了產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)知識而進行的基礎(chǔ)研究。2012年，數(shù)學(xué)家斯維特拉娜·梅博羅達（Svitlana Mayboroda）和物理學(xué)家馬塞爾·菲洛什（Marcel Filoche）發(fā)表了一篇關(guān)于波的數(shù)學(xué)的里程碑式研究論文 https://www.pnas.org/doi/pdf/10.1073/pnas.1120432109 。他們提出了一個他們發(fā)明的數(shù)學(xué)對象，稱為景觀函數(shù)（landscape function）。該函數(shù)可以預(yù)測波（例如聲波）在非均勻結(jié)構(gòu)環(huán)境中的行為。

這項研究解決了該領(lǐng)域自1950年代以來一直困擾研究人員的最大難題之一。當(dāng)時，梅博羅達和菲洛什并不知道他們的景觀函數(shù)將具有多么革命性且廣泛的應(yīng)用前景。

“我們一開始并沒有想過要生產(chǎn)更高效的LED，”明尼蘇達大學(xué)明尼阿波利斯分校和蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院的教授梅博羅達說道?！暗坏┠惆l(fā)現(xiàn)了一個強大的數(shù)學(xué)概念，你就可以把它應(yīng)用到任何地方?！?/p>

2018年，梅博羅達成為西蒙斯波局域化合作項目 https://cse.umn.edu/wave 的創(chuàng)始負(fù)責(zé)人。這項由西蒙斯基金會資助的合作項目，在梅博羅達和菲洛什關(guān)于景觀函數(shù)的研究基礎(chǔ)上，繼續(xù)探索其未來發(fā)展方向?！拔覀儚募償?shù)學(xué)的極致，走向了實驗物理和材料工程的極致，”梅博羅達說道。

短短幾年間，景觀函數(shù)已成為LED發(fā)光層材料設(shè)計中不可或缺的利器。得益于這一概念，物理學(xué)家們可以使用計算機計算特定材料的性能，而無需反復(fù)試驗和制造不同的方案。合作項目首席研究員吉姆·斯佩克（Jim Speck）表示，在景觀函數(shù)問世之前，所需的計算時間極其漫長。

“這徹底改變了計算效率，”加州大學(xué)圣巴巴拉分校材料科學(xué)教授斯佩克說道。“它的速度提高了1000倍。多虧了景觀函數(shù)，一些我們以前（除非特殊情況）無法做到的事情，現(xiàn)在變得非常可行。”

一旦你發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中一個強大的概念，你就可以把它應(yīng)用到任何地方。

——斯維特拉娜·梅博羅達（Svitlana Mayboroda）

利用景觀函數(shù)，工程師們填補了所謂的“綠色缺口”，即節(jié)能LED只能發(fā)出紅光或藍光，而不能發(fā)出綠光。這三種顏色組合在一起形成白光，這意味著景觀函數(shù)對綠光LED的改進降低了許多照明應(yīng)用的能源需求。

菲洛什強調(diào)，這些令人難以置信的突破唯有基礎(chǔ)研究才能實現(xiàn)。他引用了商學(xué)院教授兼作家奧倫·哈拉里（Oren Harari）的一句話：“電燈并非源于對蠟燭的不斷改進?！?引申開來，“LED的發(fā)明并非源于對燈泡的不斷改進，”菲洛什說道。他是此次合作的首席研究員，同時也是巴黎高等工業(yè)物理與化學(xué)學(xué)院（ESPCI）朗之萬研究所的國家科學(xué)研究中心主任。

景觀函數(shù)的影響如今也蔓延到了其他領(lǐng)域，例如對蛋白質(zhì)振動以及空氣如何流經(jīng)肺部的研究。梅博羅達表示，這一概念的廣泛重要性，正是物理學(xué)家尤金·維格納（Eugene Wigner，1902 - 1995）所說的“數(shù)學(xué)的不合理有效性”的一個例子 https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/wigner.pdf 。

梅博羅達表示，如果沒有美國政府（尤其是能源部）以及西蒙斯基金會等私人機構(gòu)對數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)科學(xué)的投資，這些革命性的進步以及更低的能源成本是不可能實現(xiàn)的。“基礎(chǔ)研究的資助使這一切成為可能，”她說?！盀榱藢崿F(xiàn)根本性的顛覆，為了真正發(fā)明一些東西，你必須放棄為實現(xiàn)現(xiàn)有工程目標(biāo)而付出的明確努力。”

一盞白熾燈泡。中間的燈絲加熱后發(fā)光。

圖源：Josch13/Pixabay

讓光出現(xiàn)

白熾燈的問世本身就是一場革命。它比長期以來照亮我們家居的蠟燭、油燈和煤氣燈有了巨大的改進。但白熾燈的設(shè)計決定了它的能效并不高。

在白熾燈泡中，電子穿過一根細細的電線（稱為燈絲）。就像滾下山坡的球一樣，電子一開始具有較高的電勢能，但由于燈絲阻礙電子流動，最終電勢能降低。這種能量差必然會轉(zhuǎn)移到某個地方——在這種情況下，電能會轉(zhuǎn)化為熱能。在標(biāo)準(zhǔn)白熾燈泡中，燈絲會迅速升溫至約2500攝氏度。這種灼熱的溫度使燈絲發(fā)出可見光，但幾乎所有能量都以熱能的形式浪費掉了。

LED（發(fā)光二極管的縮寫）采用更直接的發(fā)光方式。它們旨在將電能直接轉(zhuǎn)化為光子。它們通過將電子與空穴配對來實現(xiàn)這一點?？昭ㄊ窃踊虿牧现须娮颖緫?yīng)存在但卻不存在的空位。雖然空穴并非傳統(tǒng)意義上的粒子，但物理學(xué)家可以將其視為粒子。

當(dāng)電子在適當(dāng)?shù)臈l件下，在存在空穴的情況下失去能量時，它會以光子的形式釋放能量。當(dāng)電子失去能量且附近沒有空穴時，能量通常會轉(zhuǎn)化為少量熱量。因此，目標(biāo)是以正確的方式將空穴和電子聚集在一起。這是通過一種科學(xué)家稱之為量子阱的特殊材料層來實現(xiàn)的。這些材料將電子和空穴聚集在一起，這意味著更多的電子與空穴結(jié)合產(chǎn)生光而不是熱量。

調(diào)整這些量子阱的性質(zhì)并非易事。你希望將粒子聚集在一起，但又不希望它們聚得太好以至于永久地卡在原地（使材料變成電絕緣體）。在LED發(fā)展的大部分時間里，工程師們通過艱苦的反復(fù)試驗、測試各種成分和制造方法，最終開發(fā)出量子阱。他們的夢想是，有朝一日能夠用計算機預(yù)測某種材料作為發(fā)光量子阱的性能。然而，即使使用現(xiàn)代超級計算機，所需的計算量也極其龐大和困難，以至于這種計算方法對大多數(shù)系統(tǒng)來說都是不可行的。當(dāng)然，除非出現(xiàn)能夠改變游戲規(guī)則的數(shù)學(xué)突破。

圖源：Lucy Reading-Ikkanda/西蒙斯基金會

打造更好的燈泡

在接下來的幾年里，菲洛什和梅博羅達為該項目引入了更多研究人員，并改進了景觀函數(shù)。其中包括菲洛什當(dāng)時在法國巴黎綜合理工學(xué)院的同事克勞德·韋斯布赫（Claude Weisbuch），他是第一個意識到景觀函數(shù)可以應(yīng)用于無序半導(dǎo)體的人。菲洛什和梅博羅達與麻省理工學(xué)院的戴維·杰里森（David Jerison）、明尼蘇達大學(xué)的道格拉斯·阿諾德（Douglas Arnold）以及巴黎南大學(xué)的蓋伊·戴維（Guy David）合作，設(shè)計了一種景觀函數(shù)的變體，可以精確預(yù)測電子在系統(tǒng)中的定位位置以及相應(yīng)所具有的電勢能。

“同一個數(shù)學(xué)方程或概念可以描述非常多樣化的現(xiàn)象，”梅博羅達說。“特別是，我們意識到我們發(fā)現(xiàn)的概念，即景觀的概念，也適用于量子世界?！?/p>

這是物理學(xué)界翹首以盼的突破。相比之前需要反復(fù)求解復(fù)雜量子物理方程來計算所有可能的波頻率的方法，運行局域化函數(shù)可以更快速地預(yù)測材料的局域化。斯佩克表示，以前在工作站計算機上需要一年時間才能完成的任務(wù)，現(xiàn)在只需幾天即可完成。

“一切都進展得非?？?，”他說，“我們開始在日常工作中運用這些景觀計算”，以預(yù)測材料的局域性。

通過新的計算，物理學(xué)家們對LED中一種材料如何有效地定位電子有了驚人的發(fā)現(xiàn)。在LED中，不同材料的層層疊放，就像蛋糕的層層堆疊一樣?！傲孔于寰拖裉撬彼古蹇苏f道。此前，物理學(xué)家們假設(shè)量子阱中的原子層應(yīng)該是平的。借助景觀函數(shù)，他們發(fā)現(xiàn)了一種更優(yōu)的設(shè)計：六面體金字塔可以穿透量子阱，幫助電子和空穴就位。盡管人們早就知道這些特性存在于材料中，但它們一直被視為需要避免的缺陷。

“在結(jié)構(gòu)中引入這些形態(tài)特征是異端邪說；它們被認(rèn)為是不好的，”斯佩克說道?！艾F(xiàn)在我們非常努力，利用景觀函數(shù)和實驗來設(shè)計這些缺陷，以實現(xiàn)最佳的電效率。這填補了綠光LED的空白?！彼硎荆F(xiàn)在綠光LED的效率比以前提高了約33%。

需要多少個燈泡才能改變世界？

LED革命的影響遠不止減少我們的電費。在缺乏電網(wǎng)的地區(qū)，耗電的白熾燈通常不被人們選擇。人們轉(zhuǎn)而依賴傳統(tǒng)的照明方式：火。然而，獲取所需的燃料既費時又費錢，而且明火還會造成嚴(yán)重的安全隱患。而LED所需的能量非常低，只需連接在一塊小型太陽能電池板上的電池即可供電。

“令人震驚的是，在真正欠發(fā)達國家，有多少收入用于照明，以及在LED照明出現(xiàn)之前，有多少人因燃燒燃料照明而死于火災(zāi)，”斯佩克說。

斯佩克表示，LED的創(chuàng)新還有更多等待著他。他和其他材料科學(xué)家正在利用景觀函數(shù)來探究LED效率的提升空間。雖然這聽起來在物理上似乎不可能，但他預(yù)測，實現(xiàn)100%效率的LED是可能的。也就是說，LED產(chǎn)生的光能與其消耗的電能一樣多。但這并非極限。未來，LED的效率可能會更高，甚至可以從周圍環(huán)境中吸收熱量來產(chǎn)生更多的光?！斑@就是夢想，”他說，“一臺發(fā)光冰箱?！?/p>

西蒙斯波局域化合作項目將于今年結(jié)束。從各方面來看，這項合作都取得了成功。合作成員Hugo Duminil-Copin（雨果·度米尼爾-柯平）榮獲2022年菲爾茲獎，另一位合作成員Alain Aspect（阿蘭·阿斯佩）榮獲2022年諾貝爾物理學(xué)獎。然而，波局域化工作并不會隨著合作的結(jié)束而結(jié)束。菲洛什、梅博羅達及其同事將繼續(xù)拓展數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)科學(xué)的邊界。

“對我來說，最精彩的是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，以及與世界上最優(yōu)秀的人合作，”梅博羅達說道。“最精彩的時刻仍然是你發(fā)現(xiàn)了一些你從未見過的東西，無論它是否適用于任何現(xiàn)實世界的問題。我們成功地創(chuàng)造了一些顛覆性的東西，無論你從數(shù)學(xué)、物理學(xué)、材料工程，還是希望從未來許多其他應(yīng)用的角度來看待它?！?/p>

參考資料

https://www.simonsfoundation.org/2025/03/24/these-mathematical-equations-are-slashing-americas-electric-bills/

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