遵從定義挖掘隱圓——幾何思路怎么來(lái)？

俗話(huà)說(shuō)幾何幾何，想破腦殼，輔助線(xiàn)不到位，思路完全沒(méi)著落，于是老師幫學(xué)生歸納出大量解題模型，甚至于到了“看到某某就作某線(xiàn)”的口訣地步，當(dāng)然對(duì)于常規(guī)題目，這些東西比較有效，瞎貓總會(huì)碰到幾只死老鼠，但這種學(xué)習(xí)方式魔怔化之后，卻是危害無(wú)窮。

所以作為數(shù)學(xué)老師，課堂上的重要任務(wù)不是告知學(xué)生輔助線(xiàn)要這樣畫(huà)，而是幫助學(xué)生想到輔助線(xiàn)怎么畫(huà)，學(xué)生腦子里應(yīng)該有大量的數(shù)學(xué)概念，課堂上老師引導(dǎo)學(xué)生用這些概念去匹配數(shù)學(xué)題目中的條件，解讀幾何圖形，下面以2025年海淀區(qū)一模第27題為例說(shuō)明幾何思路究竟如何想到.

題目

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α(0° <α<45°)，ad⊥bc于d，將射線(xiàn)ba繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到射線(xiàn)bm，過(guò)點(diǎn)c作bm的垂線(xiàn)交bm于點(diǎn)e，交射線(xiàn)ba于點(diǎn)f，連接ed.< pan>

(1)依題意補(bǔ)全圖形，并求∠EDC的大??；(用含α的式子表示)

(2)在DC上取點(diǎn)G，使DG=AD，連接EG，用等式表示線(xiàn)段EG，AF與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明.

解析：

01

(1)補(bǔ)全圖形，如下圖：

由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，AD⊥BC說(shuō)明AD同時(shí)也是BC邊上中線(xiàn)，即點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，EF⊥BE可知△BCE是直角三角形，其中BC是其斜邊，則DE是其斜邊上的中線(xiàn)，因此DE=DB，∠DBE=∠DEB=45°-α，最后利用三角形外角定理，得∠EDC=2(45°-α)=90°-2α；

02

(2)按要求作圖如下：

首先觀察這三條線(xiàn)段的位置，AF與CF夾角為45°，EG相對(duì)“孤立”，從長(zhǎng)度上觀察它們，AF最長(zhǎng)，CF其次，EG最短，因此大膽猜想最長(zhǎng)線(xiàn)段應(yīng)該是兩條較短線(xiàn)段之和，基于這個(gè)猜想(不一定正確)去尋找突破口；

通常情況下，我們將最短線(xiàn)段“放”到最長(zhǎng)線(xiàn)段上，使其一個(gè)端點(diǎn)重合，再比較剩下線(xiàn)段之間的關(guān)系，所以采用何種方式將線(xiàn)段EG“放”到線(xiàn)段AF上是關(guān)鍵，再結(jié)合圖中已有條件∠ABE=45°，EF⊥BE，可知△BEF是等腰直角三角形，∠F=45°，利用這個(gè)特殊角，我們不妨作CH⊥AF，垂足為H，如下圖：

為方便敘述，我們將所有直角都標(biāo)注出來(lái)，觀察圖中Rt△BCH，點(diǎn)D同樣是斜邊上中點(diǎn)，所以連接DH，得Dh是斜邊上中線(xiàn)，可知DH=BD=CD，再加上前面推導(dǎo)出了BD=ED，于是我們很驚喜地發(fā)現(xiàn)B、E、C、H到點(diǎn)D的距離相同，這令人想起圓的概念，其實(shí)可以作出這個(gè)圓，如下圖：

此時(shí)我們?cè)賮?lái)觀察∠ABC，在圓D中，它是圓周角，所對(duì)弧是劣弧CH，同樣它還對(duì)著一個(gè)圓心角∠CDH，因此∠CDH=2α，求得∠ADH=90°-2α，和前一小題的結(jié)論∠EDC=90°-2α一樣，所以∠ADH=∠EDC，條件中還有AD=GD，這極易聯(lián)想到全等三角形，如下圖：

在△ADH和△GDE中，AD=GD，∠ADH=∠GDE，DH=DE，于是△ADH≌△GDE，得HA=EG，我們成功將線(xiàn)段EG“放”到了AF上，接下來(lái)就是觀察剩余的線(xiàn)段HF和線(xiàn)段CF間的關(guān)系了，顯然△FCH是等腰直角三角形，因此CF=√2HF，最后我們得到AF=HA+HF=EG+√2CF.

解題思考

在學(xué)生解題過(guò)程中，我留意觀察到幾種嘗試，其中也包括上面的輔助線(xiàn)作法，但始終得不到全等三角形的三個(gè)條件，在推導(dǎo)無(wú)果之后，又開(kāi)始用別的套路來(lái)碰死老鼠……
其實(shí)這道題并不算難，典型的手拉手模型，但正如我們教學(xué)生手拉手模型一樣，這個(gè)模型是學(xué)生歸納出來(lái)的，還是老師一上課就告訴學(xué)生“今天我們學(xué)習(xí)手拉手模型”，并給出若干圖例讓學(xué)生在題目中找，實(shí)質(zhì)上這個(gè)過(guò)程就和碰死老鼠無(wú)異.

解題模型的歸納，是要學(xué)生自已歸納出來(lái)，每個(gè)學(xué)生記憶模型的方式是不一樣的，正如它的名稱(chēng)一樣，你叫它腳拉腳模型未嘗不可，隨便你怎么叫，只要基本圖形在腦子里成型就好.(其實(shí)規(guī)范點(diǎn)，應(yīng)該叫旋轉(zhuǎn)全等三角形)

從前面的分析過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)，隱圓是關(guān)鍵條件，它有效關(guān)聯(lián)了兩個(gè)共斜邊的直角三角形，并且利用了第一小題的結(jié)論，湊齊了全等的三個(gè)條件，如果僅僅是套路，那可能會(huì)截取AH=EG，然后就陷入無(wú)法湊齊全等條件的困境中，也有學(xué)生過(guò)點(diǎn)C作了垂線(xiàn)，依然沒(méi)能找齊全等條件，是沒(méi)有發(fā)現(xiàn)隱圓，雖然通過(guò)導(dǎo)角也能得到結(jié)論，但耗時(shí)太多，這樣的解題過(guò)程，在我看來(lái)盡管做對(duì)了，但未達(dá)到題目的考查目的，屬于“雖勝猶敗”，這和我們刷題戰(zhàn)術(shù)下，只要解對(duì)就行，是完全不一樣的教學(xué)思路.

只有最優(yōu)解，才是需要積累的寶貴經(jīng)驗(yàn).