大家好，我是船長。

由著名古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得撰寫的《幾何原本》，不僅奠定了幾何學(xué)的基礎(chǔ)，更以其嚴(yán)密的公理化體系為后世科學(xué)提供了方法論模板，成為現(xiàn)代科學(xué)思維的重要源頭之一。今天，在炙手可熱的人工智能、量子計(jì)算、宇宙探索等領(lǐng)域的底層邏輯中，依然閃爍著兩千多年前歐幾里得幾何學(xué)的智慧。

金觀濤老師將《幾何原本》比作科學(xué)史上的“武功秘籍”，其中蘊(yùn)含著現(xiàn)代科學(xué)分形成長的自相似原則。從牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》到愛因斯坦的相對(duì)論，科學(xué)家們無不延續(xù)《幾何原本》的推理方式——從幾條自明的公理出發(fā)，通過邏輯演繹構(gòu)建宏大的理論體系。這種革命性的公理化方法成為現(xiàn)代科學(xué)的基石。

而數(shù)學(xué)真實(shí)也進(jìn)一步孕育出科學(xué)真實(shí)。歐幾里得證明“素?cái)?shù)無限”時(shí)，無需枚舉所有素?cái)?shù)，而是通過邏輯必然性得出結(jié)論——這種超越經(jīng)驗(yàn)的“公理系統(tǒng)”真實(shí)，正是科學(xué)理論可靠性的根源。

此外，兩位老師還特別提到《幾何原本》傳入中國的曲折歷程。徐光啟在翻譯時(shí)曾驚嘆其“似至晦實(shí)至明，似至繁實(shí)至簡”，敏銳意識(shí)到中西方思維的根本差異。中國完整接受這套體系的時(shí)間差，恰恰映射了現(xiàn)代科學(xué)在不同文明中扎根的難度。今天我們將通過這本古老的“武功秘籍”，一窺現(xiàn)代科學(xué)的起源之路。

《幾何原本》中蘊(yùn)含的“源代碼”

文/金觀濤

神奇的武功秘籍

歐幾里得是古希臘數(shù)學(xué)家，曾受業(yè)于柏拉圖學(xué)園，后應(yīng)埃及托勒密國王邀請(qǐng)，從雅典移居亞歷山大，從事數(shù)學(xué)教學(xué)和研究工作。今日流傳的歐幾里得事跡大多不可考，但可以確定的是他留下的《幾何原本》。正是在該書的示范作用下，數(shù)理天文學(xué)誕生了，托勒密的《大匯編》亦成為武功秘籍的附加部分。古希臘與古羅馬文明消亡以后，《幾何原本》和《大匯編》一直保留在阿拉伯文的文獻(xiàn)中，直至文藝復(fù)興前幾個(gè)世紀(jì)才被再一次植入西方天主教文明。哥白尼到意大利比薩留學(xué)的時(shí)候，《大匯編》的完整版才剛被翻譯成拉丁文。牛頓力學(xué)的興起則源于這些武功秘籍的進(jìn)一步放大并再次發(fā)揮作用。近代科學(xué)的代表人物——從伽利略、開普勒到牛頓，都受到《幾何原本》的影響。愛因斯坦的相對(duì)論和量子力學(xué)的背后，同樣存在歐幾里得幾何學(xué)理論的影子(見圖2)，正因如此，今天科學(xué)家把物理學(xué)理論稱為幾何式的。

圖：西方科學(xué)傳統(tǒng)

關(guān)于牛頓力學(xué)的建立如何源于《幾何原本》示范作用的放大，我會(huì)在后面的章節(jié)詳加分析。據(jù)說牛頓一輩子只笑過一次，這發(fā)生在他擔(dān)任盧卡斯講座數(shù)學(xué)教授期間，有一個(gè)學(xué)生問牛頓：歐幾里得的《幾何原本》是否值得一讀？這時(shí)牛頓笑了，《幾何原理》怎么會(huì)不值得一讀呢？牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書，就是仿照《幾何原本》的形式寫成的。

在科學(xué)史上，許多科學(xué)家都效仿《幾何原本》，說明自己的研究結(jié)論是如何從最初的幾個(gè)作為自明公理的假設(shè)中邏輯地推導(dǎo)出來的。量子力學(xué)和相對(duì)論也是如此，愛因斯坦甚至將《幾何原本》稱為“神圣的幾何學(xué)小書”，認(rèn)為“這本書里有許多斷言，比如三角形的三條高交于一點(diǎn)，它們本身并不是顯而易見的，但卻可以很可靠地加以證明，以至于任何懷疑似乎都不可能”。

在牛津大學(xué)的一次演講中，愛因斯坦還提出：“如果歐幾里得未能激起你少年時(shí)代的熱情，那么你天生注定不是一個(gè)科學(xué)思想家?！蓖砟陳垡蛩固乖趯懡o好友的信中，非常清楚地說明了他對(duì)于科學(xué)理論構(gòu)造的觀點(diǎn)，那就是科學(xué)源于公理體系(見圖2-3)。這一觀點(diǎn)來自歐幾里得幾何學(xué)。

圖：科學(xué)源于公理體系

正因?yàn)闅W幾里得《幾何原本》中蘊(yùn)含現(xiàn)代科學(xué)分形成長的自相似原則，在某種意義上《幾何原本》傳入另一文明并對(duì)其知識(shí)系統(tǒng)起到塑造作用，可以視為近代科學(xué)在該文明出現(xiàn)之標(biāo)志，中國就是明顯的例子。據(jù)考證，該書部分內(nèi)容傳入中國的時(shí)間很早，在13世紀(jì)就與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)一起傳入中國。但上文所說的示范作用不是指知曉其中某些內(nèi)容，而是其整個(gè)思維方式。

事實(shí)上，在1607年由利瑪竇口述、徐光啟筆授的6卷本《幾何原本》中譯本出現(xiàn)前，中國人對(duì)這種思維模式是完全陌生的。徐光啟的譯本是根據(jù)德國人克拉維烏斯校訂增補(bǔ)的拉丁文《幾何原本》(15卷)譯成的，故17世紀(jì)亦被普遍視作中國最早接觸西方近代科學(xué)的時(shí)期。根據(jù)我與劉青峰的觀念史研究，這一觀點(diǎn)是正確的，因?yàn)樗椭袊谩案裰隆敝干嫖鞣浇茖W(xué)同時(shí)發(fā)生。

更重要的是，徐光啟翻譯的只是《幾何原本》前半部分，后半部分(共9卷)由清代數(shù)學(xué)家李善蘭和英國人偉烈亞力合作譯出。這里面的200年時(shí)間差正意味著中國接受現(xiàn)代科學(xué)的延誤。徐光啟對(duì)《幾何原本》的評(píng)論極高，他說道：“此書有四不必：不必疑，不必揣，不必試，不必改。

有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前后更置之不可得。有三至、三能：似至晦實(shí)至明，故能以其明明他物之至晦;似至繁實(shí)至簡，故能以其簡簡他物之至繁;似至難實(shí)至易，故能以易易他物之至難。易生于簡，簡生于明，綜其妙在明而已?！睏钫駥幱纱酥赋鲂旃鈫⑶宄孛靼住皻W幾里得和中國學(xué)者在邏輯思考方面的基本分異”。

科學(xué)起源于數(shù)學(xué)真實(shí)

《幾何原本》屬于數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)代科學(xué)起源于這一本獨(dú)特的數(shù)學(xué)書，這意味著科學(xué)真實(shí)最早被包含在數(shù)學(xué)真實(shí)中。什么是“數(shù)學(xué)真實(shí)”？我在第三編和方法篇中會(huì)給出其嚴(yán)格定義，現(xiàn)只做簡單說明。人們通常將數(shù)學(xué)之真歸為邏輯推理及邏輯自洽，其實(shí)，這并不正確。只要分析《幾何原本》的結(jié)構(gòu)，立即可以看到這一點(diǎn)?！稁缀卧尽饭灿?3卷，其主要內(nèi)容由三部分組成：一是平面幾何與立體幾何，二是數(shù)論，三是代數(shù)方程或代數(shù)幾何(見表1)。

縱觀《幾何原本》的三部分內(nèi)容，能得出如下結(jié)論：第一，《幾何原本》沒有將亞里士多德發(fā)現(xiàn)的三段論作為討論內(nèi)容，推導(dǎo)方法不是重言式的形式邏輯法則，即其討論的是數(shù)學(xué)，而不是邏輯;第二，雖然《幾何原本》中存在計(jì)算，但它更關(guān)心普遍命題，其核心是數(shù)學(xué)推導(dǎo);第三，由于該著作并非單純的幾何，而是由幾何學(xué)、數(shù)論、代數(shù)幾何包括普遍方程求解三部分組成，其推導(dǎo)方式對(duì)這些不同的領(lǐng)域都適用，這是一種從自明的公理推出定理或結(jié)論的“公理系統(tǒng)”方法。上述三個(gè)特征代表了這部武功秘籍的精神，我們可以從中了解數(shù)學(xué)真實(shí)是什么。

內(nèi)容

1

定義、公設(shè)與公理；直線與三角形；平行線；面積

3

直徑、切線

4

圓、內(nèi)接及外切多邊形、正五邊形問題

5

普遍比例理論

6

比例理論應(yīng)用于平面幾何；二次方程通解

11

立體幾何學(xué)定義；直線形體

12

曲面面積及體積

13

五種正多面體；外接球面

7

定義；最大公約與最小公倍數(shù)；比例理論之適用；素?cái)?shù)問題

8

級(jí)數(shù);復(fù)比例

9

平方數(shù)、立方數(shù)、因子分解;素?cái)?shù)數(shù)目無限定理;幾何級(jí)數(shù)和;完整數(shù)

10

無理數(shù)論；無理根分類。此為諸卷中最長者

圖：《幾何原本》書籍內(nèi)容

表面上看，上述三個(gè)特征平淡無奇。其實(shí)只要稍加分析，就可以看到數(shù)學(xué)真實(shí)神奇的性質(zhì)，因?yàn)樗⒉坏韧谶壿嬐评硪约斑壿嬜郧?duì)應(yīng)的真實(shí)性。也就是說，通常人們注重的“重言式類的包含及自洽”不代表數(shù)學(xué)的精神。如果沒有邏輯，我們?cè)撊绾芜M(jìn)行推理呢？《幾何原本》當(dāng)然不是反對(duì)形式邏輯，雖然數(shù)學(xué)推理的每一步都包含形式邏輯，但其有效性依賴某種整體結(jié)構(gòu)——公理化的推理方法，而不是重言式的形式邏輯。

早在古希臘，哲學(xué)家就知道，下述類似于三段論的推理不是基于形式邏輯：如果B的面積是A的2倍，C的面積又是B的2倍，則C的面積是A的4倍。也就是說，2X2=4不能從三段論推出，至于為什么如此，古希臘哲學(xué)家不能回答。因?yàn)槠渖婕白匀粩?shù)計(jì)算，到20世紀(jì)才知道，自然數(shù)計(jì)算不能用邏輯導(dǎo)出。那么數(shù)學(xué)計(jì)算是不是可以歸為經(jīng)驗(yàn)推理呢？也不是!為此，讓我們回到《幾何原本》的第二個(gè)特征。歐幾里得在《幾何原本》中不是以計(jì)算為中心，而是以推出普遍命題作為目標(biāo)。什么是不等同于計(jì)算的普遍命題之推理？下面舉一個(gè)素?cái)?shù)的例子。

圖：質(zhì)數(shù)螺旋

素?cái)?shù)又叫質(zhì)數(shù)，它們只能被1和自身整除。由2開始，3、5、7、11、19、23這么一路延續(xù)下去，從前一個(gè)素?cái)?shù)求出下一個(gè)素?cái)?shù)，這是計(jì)算。但素?cái)?shù)有多少個(gè)呢？這個(gè)問題無法由經(jīng)驗(yàn)計(jì)算回答，但歐幾里得在《幾何原本》已經(jīng)證明了素?cái)?shù)有無限個(gè)。自此之后，有關(guān)素?cái)?shù)的普遍命題就成為數(shù)論研究的重要組成部分，有很多命題至今都沒有解決。

孿生素?cái)?shù)猜想就是其中之一。所謂“孿生素?cái)?shù)”是指兩個(gè)素?cái)?shù)前后有差值為2，比如(3，5)、(5，7)、(11，13)、(17，19)、(29，31)、(41，43)。如果一直列舉下去，我們可以發(fā)現(xiàn)其分布越來越稀疏，但似乎始終存在。孿生素?cái)?shù)猜想是：孿生素?cái)?shù)有無窮多對(duì)，不管其分布多少稀疏。這一猜想至今都沒有得到證明。

這個(gè)例子明確反映出數(shù)學(xué)推理的性質(zhì)：第一，即便現(xiàn)實(shí)世界中研究者用再多的計(jì)算機(jī)來算，也不可能求出所有孿生素?cái)?shù)，即它不是經(jīng)驗(yàn)所能證明的；第二，只要數(shù)“數(shù)”這件事是真的，孿生素?cái)?shù)的猜想就能被推理證明是否成立，即推出的結(jié)論也是真的。《幾何原本》蘊(yùn)含一個(gè)未曾言明的前提：在數(shù)學(xué)真實(shí)的結(jié)構(gòu)中，前提為真，結(jié)論就一定為真?！扒疤釣檎妗蓖秋@而易見的，但結(jié)論的真實(shí)性并非如此。換言之，數(shù)學(xué)真實(shí)強(qiáng)調(diào)真實(shí)性具有某種公理化的整體結(jié)構(gòu)。

在自然數(shù)研究中發(fā)現(xiàn)這種不同于形式邏輯又超越出經(jīng)驗(yàn)之“公理系統(tǒng)”推理方式，似乎并不太困難。奇妙的是，這種推理方法能從自然數(shù)領(lǐng)域延伸運(yùn)用到線段測(cè)量和圖形關(guān)系中，這才是《幾何原本》的核心觀點(diǎn)。也就是說，根據(jù)《幾何原本》的第三個(gè)特征，這種基于“公理系統(tǒng)”真實(shí)性的推理方法可以運(yùn)用到所有知識(shí)系統(tǒng)中。

正因如此，它才是現(xiàn)代科學(xué)的種子，即現(xiàn)代科學(xué)真實(shí)起源于數(shù)學(xué)真實(shí)。為了剖析數(shù)學(xué)真實(shí)頗為奇妙的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，讓我們回到歷史脈絡(luò)中，分析歐幾里得幾何學(xué)在古希臘文明中是如何形成的。

本文系摘選自《消失的真實(shí)：現(xiàn)代社會(huì)的思想危機(jī)》一書第二編第一章3-4兩節(jié)。為便于閱讀，部分段落做了拆分和刪減，推文標(biāo)題為編者所擬，學(xué)術(shù)討論請(qǐng)以原文為準(zhǔn)。文中部分配圖來源于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系公眾號(hào)后臺(tái)刪除。

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