安檢中的數(shù)學(xué)

2025年深圳中考數(shù)學(xué)第19題

在2022版新課標(biāo)中，對(duì)于數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐的要求，進(jìn)一步提高，小學(xué)階段的綜合與實(shí)踐領(lǐng)域，主要是以主題式學(xué)習(xí)的形式，讓學(xué)生感悟自然界和生活中的數(shù)學(xué)，在獲取知識(shí)的同時(shí)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。初中階段綜合與實(shí)踐領(lǐng)域，可采用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式，以問題解決為導(dǎo)向，整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識(shí)和思想方法，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析、思考與表達(dá)、解決與闡述社會(huì)生活以及科學(xué)技術(shù)中遇到的現(xiàn)實(shí)問題。

在日常生活中，排隊(duì)安檢是極為常見的場(chǎng)景，高鐵站、飛機(jī)場(chǎng)、長(zhǎng)途客運(yùn)站、地鐵站、船碼頭等，當(dāng)我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)排隊(duì)人數(shù)、安檢通道、安檢時(shí)間、總?cè)藬?shù)等量之間，存在某種關(guān)聯(lián)，而描述這種關(guān)聯(lián)所用到的函數(shù)，是數(shù)學(xué)基本且重要的概念，改變影響函數(shù)的參數(shù)，觀察分析函數(shù)發(fā)生的變化，都是我們?cè)诰C合與實(shí)踐課堂上應(yīng)該和學(xué)生共同經(jīng)歷的過程。

題目

綜合與實(shí)踐

【問題背景】排隊(duì)是生活中常見的場(chǎng)景。如圖，某數(shù)學(xué)小組針對(duì)某次演出，研究了排隊(duì)人數(shù)與安檢時(shí)間、安檢通道數(shù)之間的關(guān)系。

【研究條件】

條件1：觀眾進(jìn)場(chǎng)立即排隊(duì)安檢，在任意時(shí)刻都滿足：排隊(duì)人數(shù)=現(xiàn)場(chǎng)總?cè)藬?shù)-已入場(chǎng)人數(shù)；

條件2：若該演出場(chǎng)地最多可開放9條安檢通道，平均每條通道每分鐘可安檢6人。

【模型建構(gòu)】

若該演出前30分鐘開始進(jìn)行安檢，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)場(chǎng)總?cè)藬?shù)y與安檢時(shí)間x之間滿足關(guān)系式：y=-x2+60x+100(0≤x≤30)，結(jié)合上述信息，請(qǐng)完成下述問題：

(1)當(dāng)開通3條安檢通道時(shí)，安檢時(shí)間x分鐘時(shí)，已入場(chǎng)人數(shù)為______，排隊(duì)人數(shù)w與安檢時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為_____________

【模型應(yīng)用】

(2)在(1)的條件下，排隊(duì)人數(shù)在第幾分鐘達(dá)到最大值，最大人數(shù)為多少？

(3)已知該演出主辦方要求：

①排隊(duì)人數(shù)在安檢開始10分鐘內(nèi)(包含10分鐘)減少；

②盡量少安排安檢通道，以節(jié)省開支.

若同時(shí)滿足以上兩個(gè)要求，可開設(shè)幾條安檢通道，請(qǐng)說明理由.

【總結(jié)反思】

函數(shù)可刻畫生活實(shí)際場(chǎng)景，但要注意驗(yàn)證模型的正確性，未來可結(jié)合更多變量(如突發(fā)情況、安檢流程優(yōu)化等)進(jìn)行更深入的分析，以提高模型的準(zhǔn)確性和實(shí)用性.

解析：

01

(1)根據(jù)研究條件2“平均每條通道每分鐘可安檢6人”，得3條安檢通道x分鐘可入場(chǎng)18x人，再根據(jù)“排隊(duì)人數(shù)=現(xiàn)場(chǎng)總?cè)藬?shù)-已入場(chǎng)人數(shù)”的關(guān)系，得排隊(duì)人數(shù)w=y-18x=-x2+42x+100；

02

(2)將前面所得w與x的二次函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)式為：w=-(x-21)2+541，所以排隊(duì)人數(shù)在第21分鐘達(dá)到最大值，最大人數(shù)為541人；

03

(3)仍然根據(jù)研究條件，若有n條安檢通道，則排隊(duì)人數(shù)w與安檢時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系為w=-x2+(60-6n)x+100，它的對(duì)稱軸是x=30-3n，因此30-3n≤10，解得n≥20/3，而n為整數(shù)，故n=7.

解題思考

本題取材于生活中的真實(shí)情境——排隊(duì)，研究排隊(duì)人數(shù)、安檢時(shí)間、安檢通道數(shù)之間的關(guān)系，題目并沒有要求學(xué)生獨(dú)立建模，而是給出了模型的大部分，再讓學(xué)生完善，從而降低了題目難度，讓更多學(xué)生可以上手.

在綜合與實(shí)踐教學(xué)中，我們需要幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光去“讀”懂題目描述，當(dāng)我們建立的模型是二次函數(shù)時(shí)，頭腦中首先應(yīng)該出現(xiàn)的是它的函數(shù)圖象——拋物線，開口向下；

在這個(gè)理解的基礎(chǔ)上，再去看模型應(yīng)用中“第幾分鐘達(dá)到最大值”，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象性質(zhì)中頂點(diǎn)坐標(biāo)的意義，就容易找到解題思路，本題實(shí)際上比較簡(jiǎn)單，因?yàn)樽铍y的部分是建模，題目已經(jīng)幫助完成了大半，只需要學(xué)生完成簡(jiǎn)單應(yīng)用。