理解動(dòng)態(tài)圖形求最值

2025年安徽省中考數(shù)學(xué)第10題

在動(dòng)態(tài)幾何圖形中，動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線均可視為因變量，受它們影響，圖形的其它部分也隨之發(fā)生變化，以動(dòng)點(diǎn)為例，點(diǎn)在直線上、點(diǎn)在射線上、點(diǎn)在線段上意味著因變量本身存在一個(gè)范圍，相應(yīng)的，隨之變化的點(diǎn)、線，也可能存在一個(gè)變化范圍，這就是幾何最值產(chǎn)生的原因。

在此類題目中，構(gòu)圖是最關(guān)鍵的步驟，雖然題目會(huì)給出參考圖，是靜態(tài)圖形，通過(guò)閱讀題目條件，想像點(diǎn)、線的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)(臨界點(diǎn))，并以此為突破口，解決最值問(wèn)題。

題目

如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=1，點(diǎn)E為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接FB，F(xiàn)C，EC，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A.EC-ED的最大值是2√5 B.FB的最小值是√10

C.EC+ED的最小值是4√2 D.FC的最大值是√13

解析

對(duì)于四邊形ABCD而言，它是一個(gè)直角梯形，且各邊長(zhǎng)度均為定值，源動(dòng)點(diǎn)是點(diǎn)E，它帶動(dòng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段ED、EC、FB、FC隨之改變長(zhǎng)度。

觀察ED和EC，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上由A到B，當(dāng)E與A重合時(shí)ED最短為1，EC最長(zhǎng)為5，當(dāng)E與B重合時(shí)ED最長(zhǎng)為√17，EC最短為3，所以EC-ED存在最大值4；

判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F沿經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且垂直于AB的直線運(yùn)動(dòng)，如下圖：

我們將△ADE也繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△GDF，由于點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)受限，在線段AB上，所以點(diǎn)F也存在一個(gè)范圍，我們知道BF最短時(shí)，理應(yīng)是當(dāng)BF⊥FG，這意味著點(diǎn)F在AB上，但點(diǎn)F不能到達(dá)AB，它最低點(diǎn)就是點(diǎn)G，此時(shí)點(diǎn)E與A重合，我們可求出FB的最小值就是圖中的BG，我們不妨連接BG，如下圖：

利用勾股定理，求得BG=√10；

判斷選項(xiàng)B正確；

兩條線段和的最值，基本思路是轉(zhuǎn)移到同一條線段上，具體方法是利用軸對(duì)稱，如下圖：

作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接CD'，此時(shí)CD'的長(zhǎng)度就是EC+ED的最小值，同樣可由勾股定理求得CD'=4√2；

判斷選項(xiàng)C正確；

在前面選項(xiàng)A的探究過(guò)程中，我們知道FC的長(zhǎng)度存在最小值，但本選項(xiàng)是探索最大值，因此我們考慮兩個(gè)臨界點(diǎn)，即E與A重合，E與B重合時(shí)FC的長(zhǎng)；

當(dāng)E與A重合時(shí)，求得FC長(zhǎng)度是√13；

當(dāng)E與B重合時(shí)，易證△ADE≌△HDF，于是AE=HF=4，可求出FI=5，減掉GI后，得FG=2，在Rt△FGC中由勾股定理求出FC=√13；

判斷選項(xiàng)D正確；

因此，除A錯(cuò)誤外，其余均正確，本題選A.

解題思考

作為選擇題壓軸題，考最值很常見(jiàn)，但這道題屬于半開(kāi)放題型，并沒(méi)有指定某個(gè)最值，而是讓學(xué)生判斷四個(gè)選項(xiàng)中的最值是否存在，相當(dāng)于學(xué)生要判斷四次，這就不簡(jiǎn)單了。

而這道題也有快捷解答方式，就是讓圖在學(xué)生腦子里動(dòng)起來(lái)，我們?cè)谡n堂上探究動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的時(shí)候，有一個(gè)很重要的目的，就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)看動(dòng)圖，看懂動(dòng)圖，究竟紙上的圖形如何在學(xué)生腦子里動(dòng)起來(lái)，老師的引導(dǎo)很重要，包括教學(xué)語(yǔ)言、肢體語(yǔ)言等，這些語(yǔ)言傳遞給學(xué)生之后，產(chǎn)生的作用是形成動(dòng)畫(huà)，學(xué)生可通過(guò)描述自已想像中的動(dòng)畫(huà)，讓老師來(lái)判斷是否符合題意，這個(gè)過(guò)程在課堂教學(xué)中必不可少。

不少數(shù)學(xué)課堂上都涉及到動(dòng)態(tài)幾何圖形，尤其是在解題課教學(xué)中，老師的表達(dá)很關(guān)鍵，準(zhǔn)確說(shuō)出幾何圖形如何動(dòng)，并用學(xué)生能理解的語(yǔ)言進(jìn)行描述，還要能聽(tīng)懂學(xué)生的描述，了解圖形在學(xué)生腦子里是如何動(dòng)的，這是雙向理解，任何一個(gè)方面出現(xiàn)理解偏差，這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)就無(wú)法落實(shí)。

讓學(xué)生懂，再懂學(xué)生，學(xué)、教、評(píng)在這一刻，是一致的，千萬(wàn)不要拿動(dòng)畫(huà)演示一遍就完事。