理解動態(tài)圖形求最值

2025年安徽省中考數(shù)學第10題

在動態(tài)幾何圖形中，動點、動線均可視為因變量，受它們影響，圖形的其它部分也隨之發(fā)生變化，以動點為例，點在直線上、點在射線上、點在線段上意味著因變量本身存在一個范圍，相應的，隨之變化的點、線，也可能存在一個變化范圍，這就是幾何最值產(chǎn)生的原因。

在此類題目中，構(gòu)圖是最關鍵的步驟，雖然題目會給出參考圖，是靜態(tài)圖形，通過閱讀題目條件，想像點、線的運動狀態(tài)，找準關鍵點(臨界點)，并以此為突破口，解決最值問題。

題目

如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=1，點E為邊AB上的動點，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接FB，F(xiàn)C，EC，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A.EC-ED的最大值是2√5 B.FB的最小值是√10

C.EC+ED的最小值是4√2 D.FC的最大值是√13

解析

對于四邊形ABCD而言，它是一個直角梯形，且各邊長度均為定值，源動點是點E，它帶動點F運動，同時線段ED、EC、FB、FC隨之改變長度。

觀察ED和EC，當點E在線段AB上由A到B，當E與A重合時ED最短為1，EC最長為5，當E與B重合時ED最長為√17，EC最短為3，所以EC-ED存在最大值4；

判斷選項A錯誤；

當點E在線段AB上運動時，點F沿經(jīng)過點F且垂直于AB的直線運動，如下圖：

我們將△ADE也繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△GDF，由于點E運動受限，在線段AB上，所以點F也存在一個范圍，我們知道BF最短時，理應是當BF⊥FG，這意味著點F在AB上，但點F不能到達AB，它最低點就是點G，此時點E與A重合，我們可求出FB的最小值就是圖中的BG，我們不妨連接BG，如下圖：

利用勾股定理，求得BG=√10；

判斷選項B正確；

兩條線段和的最值，基本思路是轉(zhuǎn)移到同一條線段上，具體方法是利用軸對稱，如下圖：

作點D關于AB的對稱點D'，連接CD'，此時CD'的長度就是EC+ED的最小值，同樣可由勾股定理求得CD'=4√2；

判斷選項C正確；

在前面選項A的探究過程中，我們知道FC的長度存在最小值，但本選項是探索最大值，因此我們考慮兩個臨界點，即E與A重合，E與B重合時FC的長；

當E與A重合時，求得FC長度是√13；

當E與B重合時，易證△ADE≌△HDF，于是AE=HF=4，可求出FI=5，減掉GI后，得FG=2，在Rt△FGC中由勾股定理求出FC=√13；

判斷選項D正確；

因此，除A錯誤外，其余均正確，本題選A.

解題思考

作為選擇題壓軸題，考最值很常見，但這道題屬于半開放題型，并沒有指定某個最值，而是讓學生判斷四個選項中的最值是否存在，相當于學生要判斷四次，這就不簡單了。

而這道題也有快捷解答方式，就是讓圖在學生腦子里動起來，我們在課堂上探究動態(tài)幾何問題的時候，有一個很重要的目的，就是讓學生學會看動圖，看懂動圖，究竟紙上的圖形如何在學生腦子里動起來，老師的引導很重要，包括教學語言、肢體語言等，這些語言傳遞給學生之后，產(chǎn)生的作用是形成動畫，學生可通過描述自已想像中的動畫，讓老師來判斷是否符合題意，這個過程在課堂教學中必不可少。

不少數(shù)學課堂上都涉及到動態(tài)幾何圖形，尤其是在解題課教學中，老師的表達很關鍵，準確說出幾何圖形如何動，并用學生能理解的語言進行描述，還要能聽懂學生的描述，了解圖形在學生腦子里是如何動的，這是雙向理解，任何一個方面出現(xiàn)理解偏差，這個教學環(huán)節(jié)就無法落實。

讓學生懂，再懂學生，學、教、評在這一刻，是一致的，千萬不要拿動畫演示一遍就完事。