新定義“不動點(diǎn)函數(shù)”

2025年江西省中考數(shù)學(xué)第22題

在2022版新課標(biāo)中，對函數(shù)概念的學(xué)業(yè)要求如下：

初中階段函數(shù)的教學(xué)，要通過對現(xiàn)實(shí)問題中變量的分析，建立兩個變量之間變化的依賴關(guān)系，讓學(xué)生理解用函數(shù)表達(dá)變化關(guān)系的實(shí)際意義，因此， 設(shè)置適當(dāng)情景，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)變量及變量間的關(guān)系，從而建立函數(shù)模型，是考查函數(shù)概念的常見命題思路。

題目

問題背景：對于一個函數(shù)，如果存在自變量x0=m時，其對應(yīng)的函數(shù)值y0=m，那么我們稱該函數(shù)為“不動點(diǎn)函數(shù)”，點(diǎn)(m,m)為該函數(shù)圖象上的一個不動點(diǎn).例如：在函數(shù)y=x2中，當(dāng)x=1時，y=1，則我們稱函數(shù)y=x2為“不動點(diǎn)函數(shù)”，點(diǎn)(1,1)為該函數(shù)圖象上的一個不動點(diǎn).某數(shù)學(xué)興趣小組圍繞該定義，對一次函數(shù)和二次函數(shù)進(jìn)行了相關(guān)探究.

探究1

(1)對一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)進(jìn)行探究后，得出下列結(jié)論：

①y=x+2是“不動點(diǎn)函數(shù)”，且只有一個不動點(diǎn)；

②y=-3x+2是“不動點(diǎn)函數(shù)”，且不動點(diǎn)是(1/2,0)；

③y=x是“不動點(diǎn)函數(shù)”，且有無數(shù)個不動點(diǎn).

以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的是__________(填寫正確的序號).

(2)若一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)是“不動點(diǎn)函數(shù)”，請直接寫出k，b的應(yīng)滿足的條件.

探究2

(3)對二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)進(jìn)行探究后，該小組設(shè)計(jì)了以下問題，請你解答，若拋物線y=x2-2bx+c的頂點(diǎn)為該函數(shù)圖象上的一個不動點(diǎn)，求b，c滿足的關(guān)系式.

探究3

(4)某種商品每件的進(jìn)價為6元，在某段時間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣出(12-x)件，獲得利潤y元，請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，判斷該函數(shù)是否是“不動點(diǎn)函數(shù)”，并說明理由；若函數(shù)是“不動點(diǎn)函數(shù)”，請聯(lián)系以上情境說明該函數(shù)不動點(diǎn)表達(dá)的實(shí)際意義.

解析：

01

(1)首先對“不動點(diǎn)函數(shù)”概念進(jìn)行解讀，根據(jù)描述，存在x=m時，y=m時，點(diǎn)(m,m)為該函數(shù)圖象上的一個不動點(diǎn)，我們知道所有橫縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，均在直線y=x上，因此可以從代數(shù)、幾何兩個角度來理解：

代數(shù)角度：將函數(shù)表達(dá)式與y=x聯(lián)立成二元一次方程組，只要這個方程組有解，包括有一個角或無數(shù)個解；

幾何角度：函數(shù)圖象與一次函數(shù)y=x有公共點(diǎn)，包括一個公共點(diǎn)或無數(shù)個公共點(diǎn)(重合)；

現(xiàn)在我們可以對這三個結(jié)論進(jìn)行判斷了，①顯然錯誤；②中y=-3x+2與y=x聯(lián)立之后有一個解，但這個解是(1/2,1/2)，而不是(1/2,0)，也錯了；③與y=x重合，有無數(shù)個公共點(diǎn)，符合定義；

從圖象上看，如下圖：

故選③；

02

(2)聯(lián)立方程組x=kx+b，化簡得(1-k)x=b，當(dāng)k≠1時，存在一個解，當(dāng)k=1，b=0時，存在無數(shù)個解，因此k、b滿足的條件為k≠1，b為任意實(shí)數(shù)，或者k=1，b=0；

03

(3)將這個二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，以方便看出頂點(diǎn)坐標(biāo)y=(x-b)2-b2+c，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(b,c-b2)，由于頂點(diǎn)是一個不動點(diǎn)，根據(jù)“不動點(diǎn)函數(shù)”的定義，其橫縱坐標(biāo)相等，得b=c-b2；

04

(4)列出利潤與單價的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=(x-6)(12-x)=-x2+18x-72，將它與y=x聯(lián)立，得x=-x2+18x-72，解得x1=8，x2=9；

因此存在兩個公共點(diǎn)(8,8)，(9,9)滿足“不動點(diǎn)”概念，回到實(shí)際情景中，x=8時，y=8，即單價定為8元，總利潤為8元；x=9，y=9，即單價定為9元，總利潤為9元.

當(dāng)單價為8元或9元的時候，總利潤與單價相同.

解題思考

函數(shù)是一種具有普遍意義的數(shù)學(xué)模型，是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的重要模型，對函數(shù)的概念及其表達(dá)方式(解析式、表格、圖象)、圖象特征、思想方法的運(yùn)用，以及對抽象能力、推理能力、模型觀念、應(yīng)用意識等核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)及其內(nèi)涵的理解水平和程度，均是函數(shù)命題時必須考慮的基本問題.

函數(shù)概念的形成，必然依托于現(xiàn)實(shí)世界中的問題情境，反映實(shí)際問題情境中數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系，當(dāng)這樣的對應(yīng)關(guān)系具有規(guī)律可循，可以用圖象或者字母、符號語言表達(dá)時，便成為了一種函數(shù)關(guān)系.初中階段主要是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù).

本題通過構(gòu)建“不動點(diǎn)函數(shù)”概念，安排三次探究，分別針對概念文字的數(shù)學(xué)解讀、與所學(xué)一次函數(shù)和二次函數(shù)的對照、簡單的實(shí)際應(yīng)用.

將新定義的函數(shù)概念與已有的一次函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合起來，也是考查學(xué)生是否通過函數(shù)學(xué)習(xí)，掌握理解新的函數(shù)概念的能力，即學(xué)習(xí)函數(shù)方法的遷移；在理解“不動點(diǎn)函數(shù)”的過程中，可以從數(shù)和形兩方面，盡管題目并未給出坐標(biāo)系，但函數(shù)的表達(dá)本身就有圖象方式，“不動點(diǎn)”既可以是方程組的解，也可以是公共點(diǎn)；公共點(diǎn)可以是一個，也可以是無數(shù)個，這也是定義描述中“存在”二字的含義.

對今后函數(shù)教學(xué)的指導(dǎo)意義在于，必須在數(shù)學(xué)化的過程中感受變量之間的對應(yīng)關(guān)系，從現(xiàn)實(shí)世界中的情境抽象出函數(shù)概念，在新授課上幫助學(xué)生完成這個環(huán)節(jié)，即用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；

函數(shù)模型的建立，是讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實(shí)世界，在課堂上需要幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)符號完成邏輯論證，并形成推理能力，領(lǐng)悟核心素養(yǎng)的內(nèi)涵.

在《從優(yōu)秀試題研究中領(lǐng)悟初中數(shù)學(xué)教學(xué)》下冊第369頁，由張欽博士撰寫的初中函數(shù)教學(xué)思考之一、之二，深刻闡述了在初中階段如何有效進(jìn)行函數(shù)教學(xué)，函數(shù)如何命題等主張，如下圖：

通過對近年來全國各地中考數(shù)學(xué)函數(shù)壓軸題的研究，進(jìn)一步反思我們的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，提升教師專業(yè)素養(yǎng)，從而讓盡可能多的學(xué)生在課堂上受益，本套叢書值得研究.