只需向左跳一下，然后再向右邁一步。本文涉及Oliver Johnson教授對群的討論。

作者：奧利弗·約翰遜 (Oliver Johnson，布里斯托大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院信息論教授，兼任統(tǒng)計科學(xué)研究所所長）2025-11-8

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-11-10

本周，《紐約客》在一篇（原本相當(dāng)有趣的）關(guān)于人工智能和數(shù)據(jù)中心的文章中 https://www.newyorker.com/magazine/2025/11/03/inside-the-data-centers-that-train-ai-and-drain-the-electrical-grid ，夾雜著對數(shù)學(xué)的看法：

“美是首要的檢驗標(biāo)準(zhǔn)：丑陋的數(shù)學(xué)在這個世界上沒有一席之地，”數(shù)學(xué)家G. H. 哈代在1940年寫道。然而，我們文明如今投入如此多資源的矩陣乘法，卻如同釘釘子般笨拙不堪。它既不美觀，也不對稱：事實上，在矩陣乘法中， a乘以b并不等于b乘以a ?！?/p>

我今天要告訴你，這種想法完全錯誤：如果a乘以b總是等于b乘以a，那其實相當(dāng)無趣。允許其他可能性存在，能讓我們領(lǐng)略到遠(yuǎn)超作者想象的美感和對稱性。這是一個關(guān)于量子力學(xué)、探索深空的衛(wèi)星以及打包 23 維行李箱的故事。讓我來解釋一下。

我謹(jǐn)代表群（group）向大家表示感謝

想象一個三臂指尖陀螺放在桌子上，其中一臂指向正北，三臂兩側(cè)分別標(biāo)有數(shù)字 1、2 和 3。以下兩種操作不會改變陀螺的形狀，但會改變數(shù)字的順序：

我們可以將指尖陀螺順時針旋轉(zhuǎn) 120 度。

我們可以把它翻過來放在桌子上，只需保持指向北方的那根臂不動即可。

希望你能明白，如果你先做步驟 1 再做步驟 2（上圖），最終得到的轉(zhuǎn)盤形狀會和先做步驟 2 再做步驟 1（下圖）的結(jié)果不同。順序很重要！

這就像《紐約客》雜志之前批評過的黑客帝國一樣。這也沒什么不好！事實上，這兩種情況都符合同樣的規(guī)律，這絕非巧合。

我向你們展示的是對稱群（symmetric group）S3（S 代表對稱，3 代表指尖陀螺的三個臂）。數(shù)字有六種可能的組合——希望你們能明白，通過以不同的順序執(zhí)行步驟 1 和 2，可以得到所有這六種組合。我們稱這個群為六階群。

我說這并非巧合的原因是，我們可以用矩陣以各種方式構(gòu)建這個群的某種形式 https://groupprops.subwiki.org/wiki/Linear_representation_theory_of_symmetric_group:S3 。我們可以選擇一個矩陣作為運算1，再選擇一個矩陣作為運算2，而各種矩陣乘積都與陀螺的位置一致。這就是所謂的群的表示（representation），而這種矩陣表示是理解量子力學(xué)最常用方法之一的基礎(chǔ)——更多信息請參見維基百科上關(guān)于泡利矩陣的頁面 https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices ！

總的來說，思考群及其表示使我們能夠理解從晶格 https://en.wikipedia.org/wiki/Molecular_symmetry 和伊斯蘭瓷磚圖案 https://archive.bridgesmathart.org/2014/bridges2014-183.pdf 到多項式方程 https://nrich.maths.org/articles/introduction-galois-theory 的解和音階 https://libres.uncg.edu/ir/asu/f/Kennedy,%20Kristie%20Spring%202015.pdf 等一切事物。

事實上，我描述的并非唯一的六階群。另一個例子是，一根時鐘指針可以指向數(shù)字 1 到 6。這根指針就具有《紐約客》雜志的性質(zhì)：順時針旋轉(zhuǎn)兩格，再順時針旋轉(zhuǎn)三格，指針就會指向 6。如果先旋轉(zhuǎn)三格再旋轉(zhuǎn)兩格，結(jié)果也一樣。但這沒什么意思。

即使是最好哄的小孩，玩一會兒也會對這個游戲感到厭倦，而指尖陀螺似乎更有趣——比如，每次轉(zhuǎn)動2格，數(shù)字的順序就會從順時針變?yōu)槟鏁r針，然后再變回順時針。但實際上，S3 是具有這種“順序改變很重要”性質(zhì)的最簡單的群，群更大，情況就越復(fù)雜。

重申我的假設(shè)。一：數(shù)學(xué)是自然的語言。

再想象一下另一個畫面：想象一個三維立方體，然后在兩個對角上粘上一團橡皮泥。

用坐標(biāo)表示，我們可以把橡皮泥塊的位置分別寫成 000 和 111。但這同時也為我們提供了一種通信方式。如果我們把 000 和 111 看作是用二進(jìn)制編寫的消息，并通過一個容易出錯的調(diào)制解調(diào)器發(fā)送，那么其中一位數(shù)字可能會翻轉(zhuǎn)。例如，如果我發(fā)送 000，而第二位數(shù)字翻轉(zhuǎn)了，那么接收方會看到 010。但 010 仍然比 111 更接近 000，所以他們很可能會合理地認(rèn)為發(fā)送的消息是 000。

你可以把翻轉(zhuǎn)數(shù)字的過程想象成沿著立方體的棱走。立方體上有一些角點比 111 更接近 000，如果我們收到其中任何一個角點，我們就假定發(fā)送的是 000。這是糾錯碼（error-correcting code）最簡單也最有趣的例子。事實上，它被稱為完全碼（perfect code）：我們收到的任何消息都與 000 或 111 相差不超過一步。

但最有趣的是思考我們可以對這個立方體做什么。想象一下，交換坐標(biāo)軸，同時保持兩團橡皮泥不動。我們可以做兩件事：

1. 將立方體繞著角點 000 旋轉(zhuǎn)，使每個軸都移動 1（ x 軸旋轉(zhuǎn)到y(tǒng) 軸， y 軸旋轉(zhuǎn)到z 軸， z 軸旋轉(zhuǎn)到x 軸）。

2. 保持z軸固定，并在一個平面內(nèi)進(jìn)行反射，使x軸和y軸互換。

我們能夠移動坐標(biāo)軸，同時保持橡皮泥團塊位置不變的這些方法的集合，被稱為代碼的自同構(gòu)群（automorphism group）。更有趣的是，我們在魔方上的步驟 1 和 2 與指尖陀螺上的步驟 1 和 2 完全對應(yīng)，并且坐標(biāo)軸的六種排列方式也完全相同。換句話說，我們的群 S3 又出現(xiàn)了！

但這只是小兒戲，是時候認(rèn)真起來了。

可怕的魔怪，超級怪胎

想象一個不是三維的，而是二十三維的立方體。而且，不要在立方體上放兩團橡皮泥，而是放4096團。馬塞爾·戈萊（Marcel Golay）在1949年發(fā)表了一篇只有一頁紙的論文 https://pierre-hyvernat.apps.math.cnrs.fr/data/Enseignement/2223/info602/TP-Golay/golay_paper.pdf ，其中就闡述了一種非常巧妙的實現(xiàn)方法。（我們現(xiàn)在為什么還要浪費時間讀長篇論文呢？）

戈萊擺放橡皮泥的方法簡直妙不可言。他找到了一種方法，可以將這些橡皮泥塊均勻地分布在23維立方體上。以前，我們只要翻轉(zhuǎn)一個數(shù)字就行了，但在戈萊的構(gòu)造中，你可以從4096塊橡皮泥中的任意一塊出發(fā)，走最多三步，最終到達(dá)的位置仍然比到達(dá)任何其他橡皮泥塊的位置都更接近起點。換句話說，戈萊的算法可以糾正3個錯誤——而這正是旅行者1號和2號探測器 https://www.quantamagazine.org/sphere-packing-solved-in-higher-dimensions-20160330/ 在行星飛掠中傳回照片時所使用的程序。

此外，就像我們在立方體例子中所做的那樣，我們可能收到的任何長度為 23 的消息，都距離我們的一塊橡皮泥不超過 3 步。我們對任何消息的處理方式都沒有任何歧義。再次強調(diào)，這是一個完美的編碼：在某種意義上，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了如何用類似球體的東西完美地填充 23 維空間。（你可能已經(jīng)注意到，4096 是 2 的冪（十二次方）。事實上，通過最多三步，你可以到達(dá)立方體的 2048 個角，而 2048 也是 2 的冪（十一次方）。十二加十一等于二十三，也就是立方體的維度數(shù)。這表明戈萊堆積在理論上是可行的，但并不能證明它在實踐中存在。）

三十年前在數(shù)學(xué)第三部分https://en.wikipedia.org/wiki/Part_III_of_the_Mathematical_Tripos 學(xué)習(xí)這些內(nèi)容，真是我一生中最激動人心的智力探索之一，因為真正精彩的部分還在后面。（譯者注：Part III of the Mathematical Tripos，數(shù)學(xué)榮譽學(xué)位課程第三部分，正式名稱為數(shù)學(xué)碩士/高級研究碩士，是劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)系開設(shè)的一門為期一年的碩士級別數(shù)學(xué)課程。 它被認(rèn)為是世界上最難、最密集的數(shù)學(xué)課程。 大約三分之一的學(xué)生在完成數(shù)學(xué)榮譽學(xué)位課程第一部分、第二部分和第二部分后，選擇在劍橋大學(xué)繼續(xù)攻讀該課程，最終獲得綜合碩士學(xué)位MMath；其余三分之二的學(xué)生是校外學(xué)生，他們選擇攻讀該課程，獲得一年制碩士學(xué)位MASt。）

我曾將群的概念描述為對稱性的集合，一種交換對象順序的方法。人們自然會好奇，究竟有多少種不同的方法可以做到這一點。我們可以將每一種化合物分解成少量基本元素，也可以將每個整數(shù)分解成一系列質(zhì)數(shù)（prime numbers，即素數(shù)）。

事實證明，群也具有類似的特性。所有可能的群都可以分解成所謂的單群（simple groups），數(shù)學(xué)家們可以列出所有單群的完整列表。這項工作浩大無比 https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups ，涉及數(shù)萬頁的學(xué)術(shù)論文，并有數(shù)百位作者的參與。即使是簡化版的數(shù)學(xué)版“人類基因組計劃”，也已經(jīng)出版到第十卷（最新一卷長達(dá)570頁 https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=SURV%2F40.10 ），而且絲毫沒有放緩的跡象。

但暫且不談證明過程，我可以描述一下這些作者的發(fā)現(xiàn) https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_simple_groups 。這些簡單的群大多屬于某些眾所周知的族。例如，我們可以考慮一個等價于我的時鐘群的群，只不過圓周上的點數(shù)可以是任意質(zhì)數(shù)。但并非所有群都能歸入一個清晰的族：有26個奇怪的例外，即所謂的散在單群（sporadic groups）。

其中最大的是魔群（Monster group https://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group ），它不像指尖陀螺那樣只有六種變換，而是有808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000（= 32!·10!·4!2·2·7·13·41·47·59·71 = 2??·32?·5?·7?·112·133·17·19·23·29·31·41·47·59·71 ≈ 8.08 × 10?3）種變換。這真是一個龐大的數(shù)字。

理解這些結(jié)構(gòu)的研究項目吸引了大眾數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注：你可以在《西蒙：我地下室里的天才》 https://www.amazon.co.uk/Simon-Genius-Basement-Alexander-Masters/dp/0385341083 、 《天才玩家-康威的好奇心靈》 https://www.amazon.co.uk/Genius-At-Play-Curious-Horton/dp/1620405938 等書中讀到部分內(nèi)容。 還有馬庫斯·杜·索托伊（Marcus Du Sautoy）的《尋找月光 - 一位數(shù)學(xué)家的對稱發(fā)現(xiàn)之旅》 https://www.amazon.co.uk/Finding-Moonshine-Mathematicians-Journey-Symmetry/dp/0007214626/ 。這些都是意義深遠(yuǎn)且精美的作品，與數(shù)學(xué)和物理學(xué)的許多領(lǐng)域都有聯(lián)系 https://en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine ，無論《紐約客》怎么想，都值得人們畢生研究。

但現(xiàn)在我可以解釋為什么學(xué)習(xí)戈萊代碼讓我如此震撼。就像我們可以交換原始立方體的三個軸一樣，我們也可以問，如何在保持橡皮泥團塊位置不變的情況下，交換23維立方體的23個軸。

事實證明（我們在課堂上學(xué)習(xí)了如何證明這一點，可現(xiàn)在別讓我做了。我不如以前那么聰明了。我認(rèn)為構(gòu)造這個碼的證明需要用多項式定義循環(huán)碼，利用BCH定理證明 https://en.wikipedia.org/wiki/BCH_code 距離足夠大，但天知道，你最終會得到自同構(gòu)群！） ，我們實現(xiàn)這一目標(biāo)的方法對應(yīng)于另一個散在群。

它雖然不如“魔群”那么龐大，但馬蒂厄群（Mathieu group） M23 也擁有相當(dāng)可觀的 10,200,960 個移動。最初看似只是為了滿足集郵愛好者的好奇心而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)奇觀，最終卻揭示了一個基本且重要對象的對稱性。

當(dāng)然，在這個M23群中， a乘以b遠(yuǎn)不等于b乘以a。但這又有什么關(guān)系呢？描述這些完美填充23維空間的點的對稱性，遠(yuǎn)比任何人在時鐘算術(shù)這種更簡單的世界里所能做的任何事情都更美妙。事實上，正是這種結(jié)構(gòu)的豐富性，使得矩陣和人工智能能夠如此出色地近似模擬我們所生活的世界，而數(shù)學(xué)正是所有這些現(xiàn)代奇跡的基石。

參考資料

https://bristoliver.substack.com/p/ai-symmetry-and-beauty

https://www.newyorker.com/magazine/2025/11/03/inside-the-data-centers-that-train-ai-and-drain-the-electrical-grid

https://groupprops.subwiki.org/wiki/Linear_representation_theory_of_symmetric_group:S3

https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices

https://en.wikipedia.org/wiki/Molecular_symmetry

https://archive.bridgesmathart.org/2014/bridges2014-183.pdf

https://nrich.maths.org/articles/introduction-galois-theory

https://libres.uncg.edu/ir/asu/f/Kennedy,%20Kristie%20Spring%202015.pdf

https://pierre-hyvernat.apps.math.cnrs.fr/data/Enseignement/2223/info602/TP-Golay/golay_paper.pdf

https://www.quantamagazine.org/sphere-packing-solved-in-higher-dimensions-20160330/

https://en.wikipedia.org/wiki/Part_III_of_the_Mathematical_Tripos

https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups

https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=SURV%2F40.10

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_simple_groups

https://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group

https://www.amazon.co.uk/Simon-Genius-Basement-Alexander-Masters/dp/0385341083

https://www.amazon.co.uk/Genius-At-Play-Curious-Horton/dp/1620405938

https://www.amazon.co.uk/Finding-Moonshine-Mathematicians-Journey-Symmetry/dp/0007214626/

https://en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine

https://en.wikipedia.org/wiki/BCH_code