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可視化圖解是數(shù)學(xué)科普最需要的演繹手段之一，雖難而有意義，且聽馬薩諸塞大學(xué)James Propp教授的見(jiàn)聞和觀點(diǎn)。

作者：James Propp（麻省大學(xué)教授，數(shù)學(xué)家）2025-10-18

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-11-12

我非常相信低技術(shù)含量的數(shù)學(xué)。我不喜歡依賴計(jì)算機(jī)告訴我的東西；如果代碼里有bug怎么辦？我更喜歡相信自己能檢查的東西。同時(shí)，我非常清楚自己的想象力是有限的，即使借助紙筆。有時(shí)我需要一臺(tái)電腦來(lái)向我展示一些我能想象但看不到的東西。

一起圖解數(shù)學(xué)

2016年，位于羅德島州普羅維登斯的布朗大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算與實(shí)驗(yàn)研究所（ICERM https://icerm.brown.edu ）舉辦了一場(chǎng)名為 “圖解數(shù)學(xué)” 的研討會(huì) https://icerm.brown.edu/program/topical_workshop/tw-16-im ，希望能夠匯聚像我一樣研究數(shù)學(xué)抽象概念的研究人員，讓他們能夠通過(guò)合適的視覺(jué)效果將其變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)。研討會(huì)催生了一個(gè)社群，該社群不時(shí)在ICERM舉行會(huì)議 https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-019-09962-z ，并從2023年開始舉辦一系列網(wǎng)絡(luò)研討會(huì) https://illustratingmath.org 。

我在網(wǎng)絡(luò)研討會(huì)上發(fā)言過(guò)兩次。在2024年，我曾為才華橫溢的數(shù)學(xué)探索者羅杰·安東森（Roger Antonsen）做過(guò)簡(jiǎn)短的數(shù)學(xué)頌詞。如今，他不幸去世了（雖然從他的網(wǎng)站上看不出來(lái) https://rantonse.org/about ），他擁有一種獨(dú)特的天賦，能為我們討論過(guò)的每個(gè)話題創(chuàng)作出精彩的視覺(jué)效果。

下面這張引人注目的圖形，只是他在我們郵件交流中創(chuàng)作的數(shù)十張圖形之一，，源自我提出的一維氣體確定性模型。

2025年10月10日，我第二次在網(wǎng)絡(luò)研討會(huì)上發(fā)言，時(shí)間更短：我做了一個(gè)五分鐘的“展示與提問(wèn)”式演講，作為杰出數(shù)學(xué)講解員/動(dòng)畫師格蘭特·桑德森（即 3Blue1Brown https://3blue1brown.com ）的暖場(chǎng)表演。我的簡(jiǎn)短演講題為“福特球的演變橫截面” https://faculty.uml.edu/jpropp/ford-spheres.pdf ，旨在試探網(wǎng)絡(luò)研討會(huì)聽眾的胃口。

我當(dāng)時(shí)想：如果我描述一個(gè)引人注目的數(shù)學(xué)對(duì)象，而這個(gè)對(duì)象至今無(wú)人能以一種完全令人（或至少?zèng)]有令我）滿意的方式進(jìn)行圖解，并且與其他網(wǎng)絡(luò)研討會(huì)參與者分享我的愿景：如何讓這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象更容易被大腦通過(guò)眼睛感知，那么我能否說(shuō)服那些在計(jì)算機(jī)輔助繪圖領(lǐng)域比我更熟練的人，將我的愿景變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)？

答案是響亮的“是的！”羅伊斯·尼爾森（Roice Nelson，我以前和他通信過(guò)）是幾位表示感興趣的人士之一，我和羅伊斯已經(jīng)推進(jìn)了這個(gè)項(xiàng)目?？梢哉f(shuō)我不應(yīng)該把時(shí)間花在這樣的地方——我沒(méi)打算寫任何關(guān)于福特球的研究文章。我只是覺(jué)得它們很酷，如果更好地宣傳，其他人也會(huì)覺(jué)得它們很有趣。它們就像一首朗朗上口的曲子一樣縈繞在我的腦海里。

87歲的分形

我相信你一定聽說(shuō)過(guò)分形（fractal）——它在1980年代曾風(fēng)靡一時(shí)，至今仍未消退。分形不僅滲透到科學(xué)和極客文化領(lǐng)域，也深入到流行文化中，并在2013年迪士尼電影《冰雪奇緣》

Frozen

福特球構(gòu)成了一種三維分形，盡管萊斯特·福特（Lester Ford）早在1938年就曾在一篇名為《分?jǐn)?shù)》

Fractions

實(shí)際上，現(xiàn)在有很多種被稱為福特球排列（Ford sphere arrangements）的排列方式，但福特本人描述的排列方式是這樣的：

這張圖片是Sam Wells和Aidan Donahue制作的視頻截圖 https://www.youtube.com/watch?v=FHzPgarTkqI 。視頻對(duì)分形進(jìn)行了一些直觀的理解，但（引用另一位迪士尼電影女主角的話 https://www.youtube.com/watch?v=SXKlJuO07eM&list=RDSXKlJuO07eM&start_radio=1 ）“我還想知道更多”。

福特球?yàn)楹沃档醚芯?？從研究角度?lái)看，它們是福特在1938年的文章中提到的更著名的二維分形的衍生。福特圓 https://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circle 是有理數(shù)的幾何替代，而這些圓相互依偎的方式恰恰反映了數(shù)論中的重要事實(shí)。

按理說(shuō)，類似的三維分形也應(yīng)該有秘密可以教給我們。

到處都是，但幾乎無(wú)處可尋

福特球值得一提的另一個(gè)原因是，它讓熱愛(ài)數(shù)學(xué)的非數(shù)學(xué)人士有機(jī)會(huì)體驗(yàn)可數(shù)稠密集的反直覺(jué)行為，讓他們大開眼界。此類集合的原始例子是有理數(shù)集：作為實(shí)數(shù)軸的元素，有理數(shù)無(wú)處不在，但又幾乎處處不在。

我的措辭略帶挑釁和自相矛盾，但在某種數(shù)學(xué)意義上，這的確是事實(shí)：實(shí)數(shù)里面幾乎都不是有理數(shù)，但實(shí)數(shù)軸上的每一小段都包含有理數(shù)。如果你放大（比如說(shuō)）2的平方根，無(wú)論放大到什么程度，你都會(huì)看到分子和分母越來(lái)越大的有理數(shù)。福特圓賦予了這種“大”的幾何意義：分子和分母越大，對(duì)應(yīng)的圓就越小。

所有福特圓都與一條水平線相切。理解福特圓的一種方法是，把它想象成你試圖在那條水平線上方盡可能多地塞滿圓時(shí)得到的結(jié)果。首先，在點(diǎn) ……，-2，-1，0，1，2，……處畫出與數(shù)軸相切的等距圓。我只畫出在0和1處與數(shù)軸相切的兩個(gè)圓，之后忽略它們左側(cè)或右側(cè)的所有圓：

然后添加一個(gè)圓來(lái)填補(bǔ)0-圓和1-圓之間的空隙，與 1/2 處的線相切：

然后添加更多圓來(lái)填充新的間隙，切點(diǎn)位于 1/3 和 2/3 處：

然后添加更多圓來(lái)填充新的間隙，切點(diǎn)分別為 1/4、2/5、3/5 和 3/4：

如果繼續(xù)這個(gè)過(guò)程，你畫出的圓就正是福特圓，全部與數(shù)軸相切，并且切點(diǎn)都是有理數(shù)，沒(méi)有其他數(shù)。

現(xiàn)在想象一下，畫好福特圓（或者盡可能多地畫一些圓），然后在圖片上添加一條與我們之前提到的那條線平行但略高于它的水平線。這條新的線會(huì)與一些圓相交。如果你稍微向下移動(dòng)這條新的線，它會(huì)與更多的圓相交。隨著你繼續(xù)向下移動(dòng)這條新線，越來(lái)越靠近原來(lái)的線（我稱之為“極限線”），你會(huì)開始與越來(lái)越多的圓相交。

從二維到三維

福特也描述了一種類似的高一維的分形。我們有無(wú)數(shù)個(gè)球體，它們都與 x , y 平面相切，并且切點(diǎn)恰好對(duì)應(yīng)于點(diǎn) (x,y)，其中 x 和 y 為有理數(shù)。這是福特繪制的草圖，其中顯示了無(wú)限多個(gè)球體中的四個(gè)：

（是的，四比無(wú)窮小得多，但對(duì)福特應(yīng)寬容些：畢竟這是在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前。）

我想通過(guò)二維的橫截面來(lái)描繪這個(gè)復(fù)雜的三維物體。這是Roice幾天前發(fā)給我的動(dòng)畫之一，這是我們正在進(jìn)行的工作的一部分：

https://youtu.be/bMiG5VVluNU

它展示了當(dāng)你將福特球與一個(gè)移動(dòng)的平面相交時(shí)會(huì)得到什么，這個(gè)平面接近但從未達(dá)到與所有福特球相切的極限平面（類似于與所有福特圓相切的極限線）。

隨著視頻中時(shí)間的流逝和移動(dòng)平面的移動(dòng)，我們看到了不斷增長(zhǎng)的圓盤和不斷收縮的圓盤的混合；收縮的圓盤是平面已經(jīng)穿過(guò)其中心的球體的橫截面，而不斷增長(zhǎng)的圓盤是其中心仍然位于我們前方一點(diǎn)的球體的橫截面。畫面變得越來(lái)越模糊。

當(dāng)然，視頻在達(dá)到無(wú)限分形模糊之前就停止了；一旦圓圈變得太小而看不見(jiàn)，時(shí)間就會(huì)逆轉(zhuǎn)，切割平面就會(huì)改變方向，直到我們回到起點(diǎn)。

這段視頻只是粗剪，但我已經(jīng)看到了一些意想不到的特征：或許可以稱之為光暈和太陽(yáng)拱門。也許你們中有人能找到方法，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方法解釋眼睛所看到的東西，但即使沒(méi)有，我也希望這段動(dòng)畫能給你們帶來(lái)視覺(jué)上的享受。

我為何要煞費(fèi)苦心

如果這篇文章能激發(fā)大家參加“圖解數(shù)學(xué)”網(wǎng)絡(luò)研討會(huì)的月度會(huì)議，請(qǐng)?jiān)L問(wèn)網(wǎng)絡(luò)研討會(huì)鏈接 https://illustratingmath.org/node/42 ?；蛘?，如果你足夠勇敢，想要提出一個(gè)想法或進(jìn)行任何形式的五分鐘演講，請(qǐng)?jiān)L問(wèn) “展示并提問(wèn)”注冊(cè)表單 https://forms.gle/L2T4L9RVurMPEATe7 ?；蛘?，如果你只是想看看 Roice 創(chuàng)作的其他精彩視覺(jué)效果，請(qǐng)?jiān)L問(wèn)他的網(wǎng)站 https://www.roice3.org 。

我在發(fā)表這篇文章前不久意識(shí)到，這與我的研究有某種聯(lián)系，盡管并非直接聯(lián)系，但這可能潛意識(shí)地驅(qū)使著我去探索福特球。二十年前，我研究過(guò)“轉(zhuǎn)子路由器斑點(diǎn)”，它產(chǎn)生了像托拜厄斯·弗里德里希（Tobias Friedrich）和萊昂內(nèi)爾·萊文（Lionel Levine）生成的這種圖像：

如果你像我一樣，你的眼睛和大腦會(huì)看到幽靈般的圓圈（或近似圓圈），形成由橙色火焰線隔開的帶狀區(qū)域。問(wèn)題是，這些近似圓圈很大程度上是你的眼睛和大腦的產(chǎn)物，由一個(gè)叫做 ImageMagick 的軟件介導(dǎo)。我無(wú)法弄清楚究竟是哪些像素級(jí)細(xì)節(jié)在我的大腦中產(chǎn)生了幽靈般的近似圓圈。

這就是“數(shù)字點(diǎn)畫法”（digital pointillism）挫敗我的地方：當(dāng)我們放大時(shí)，我們往往會(huì)忽略我們?cè)噲D理解的東西！這是巨幅畫作的創(chuàng)作者面臨的問(wèn)題：你必須站在畫布附近才能繪制你的筆觸、點(diǎn)或其他東西，但當(dāng)你站得太近時(shí)，很容易真的看不到畫面的全貌。我希望有一天，當(dāng)我擁有比過(guò)去更有效地“審視”這些圖片的工具和技能時(shí)，能再次嘗試觀察這些斑點(diǎn)。

我的技能差距在福特球上體現(xiàn)得更為明顯。那些光暈和太陽(yáng)拱門存在于我的大腦中（我希望也存在于你的大腦中），但它們?cè)谙袼貙用嫔蠈?duì)應(yīng)什么？我不知道該如何讓圖片告訴我，但我希望我能學(xué)會(huì)。

最后，我想提一下將福特球從幻想世界帶入感官世界的最后一個(gè)原因：像這樣的視頻可以向非數(shù)學(xué)家傳達(dá)文字和符號(hào)無(wú)法做到的事情，即為什么數(shù)學(xué)對(duì)我們這些熱愛(ài)數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)如此具有吸引力。

感謝David Jacobi和Roice Nelson。

參考資料

https://mathenchant.wordpress.com/2025/10/18/picturing-mathematics/

L. R. Ford， 《分?jǐn)?shù)》 https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/ford.pdf ，《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》，45，586-601。

S. Northshield， 《福特圓和福特球》 https://arxiv.org/abs/1503.00813 ，2015年。

C. Pickover，《美與高斯有理數(shù)》，第103章（第243-247頁(yè)），載于：“數(shù)字奇跡：數(shù)學(xué)、思想和意義的冒險(xiǎn)” Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning ，牛津大學(xué)出版社，2001年。

S. Wells 和 A. Donahue， 《福特球》https://www.youtube.com/watch?v=FHzPgarTkqI ，2021年。

https://icerm.brown.edu

https://icerm.brown.edu/program/topical_workshop/tw-16-im

https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-019-09962-z

https://illustratingmath.org

https://rantonse.org/about

https://3blue1brown.com

https://faculty.uml.edu/jpropp/ford-spheres.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=L0MK7qz13bU&list=RDL0MK7qz13bU&start_radio=1

https://www.youtube.com/watch?v=FHzPgarTkqI

https://www.youtube.com/watch?v=SXKlJuO07eM&list=RDSXKlJuO07eM&start_radio=1

https://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circle

https://youtu.be/bMiG5VVluNU

https://illustratingmath.org/node/42

https://forms.gle/L2T4L9RVurMPEATe7

https://www.roice3.org

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