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數(shù)學(xué)家們突破了“極小曲面”研究中長(zhǎng)期存在的障礙，極小曲面在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中都發(fā)揮著重要作用。

多孔螺旋面（Gyroid，一種三重周期性極小曲面TPMS）是一種面積極小化的曲面，已被用于材料設(shè)計(jì)和藥物輸送。

Gyroid最早由Alan Schoen于1970年發(fā)現(xiàn)。 它具有無窮多的連接面，并且不包含任何直線。 Gyroid結(jié)構(gòu)在自然界中廣泛存在，例如蝴蝶翅膀的微結(jié)構(gòu)，還有細(xì)胞內(nèi)膜的形態(tài)，也被應(yīng)用于現(xiàn)代科技中，如3D打印、石墨烯結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域。

圖源：Paul Nylander

作者：Steve Nadis（量子雜志特約撰稿人） 2025-11-12

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-11-13

19世紀(jì)中期，比利時(shí)物理學(xué)家約瑟夫·普拉托（Joseph Plateau）——他自幼便開始設(shè)計(jì)和進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)——將金屬絲環(huán)浸入肥皂溶液中，并研究其形成的薄膜。當(dāng)他將金屬絲彎成圓環(huán)時(shí)，肥皂膜會(huì)覆蓋在圓環(huán)上，形成一個(gè)扁平的圓盤。但當(dāng)他將兩個(gè)平行的金屬絲環(huán)浸入溶液中時(shí)，肥皂膜會(huì)在兩個(gè)環(huán)之間延展，形成一個(gè)沙漏狀——數(shù)學(xué)家稱之為懸鏈旋轉(zhuǎn)面（catenoid，懸鏈線繞軸線旋轉(zhuǎn)生成的極小曲面）。不同的金屬絲框架會(huì)產(chǎn)生各種各樣不同的薄膜，有些形狀像鞍形或螺旋斜坡，有些則復(fù)雜到難以描述。

普拉托認(rèn)為，這些肥皂膜應(yīng)該始終占據(jù)盡可能小的面積。數(shù)學(xué)家稱它們?yōu)?strong>面積極小曲面（area-minimizing surface）。

數(shù)學(xué)家們花了近一個(gè)世紀(jì)才證明他是對(duì)的。1930年代初，杰西·道格拉斯（Jesse Douglas）和蒂博爾·拉多（Tibor Radó）分別獨(dú)立地證明了“普拉托問題”的答案是肯定的：對(duì)于三維空間中的任何閉合曲線（你的線框），總能找到一個(gè)與其邊界相同的二維極小曲面（你的肥皂膜）。這一證明后來為道格拉斯贏得了首屆菲爾茲獎(jiǎng)。

此后，數(shù)學(xué)家們不斷拓展普拉托問題，希望更深入地了解極小曲面。這些曲面在數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域隨處可見——在幾何學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)重要猜想的證明中，在細(xì)胞和黑洞的研究中，甚至在生物分子的設(shè)計(jì)中?！八鼈兪欠浅?yōu)美的研究對(duì)象，”斯坦福大學(xué)的奧蒂斯·喬多什（Otis Chodosh）說道，“非常自然、引人入勝、令人著迷?！?/p>

數(shù)學(xué)家現(xiàn)在知道，普拉托的預(yù)測(cè)在七維以內(nèi)都是絕對(duì)正確的。但在更高維度上，情況就有所不同了：形成的極小曲面可能并不總是像圓盤或沙漏那樣光滑平整。取而代之的是，它們可能會(huì)在某些地方折疊、收縮或相交，形成所謂的奇點(diǎn)（singularities）。當(dāng)極小曲面存在奇點(diǎn)時(shí)，理解和處理它們就變得更加困難。

因此，數(shù)學(xué)家們想要了解這種非光滑極小曲面的普遍程度，以及它們可能具有哪些性質(zhì)。如果奇點(diǎn)在給定維度中很少見，只在人為設(shè)定的條件下出現(xiàn)，那么只要你稍微調(diào)整一下線框，它們就會(huì)消失。你將得到一個(gè)光滑的極小曲面，更容易對(duì)其進(jìn)行研究，從而有機(jī)會(huì)深入了解該維度中此類曲面的性質(zhì)。

肥皂膜在金屬絲框架內(nèi)拉伸，形成面積極小化的曲面。

圖源：衛(wèi)斯理大學(xué)

1985年，數(shù)學(xué)家們證明，在八維空間中，奇點(diǎn)確實(shí)可以被消除。但在更高維度中，喬多什說“一切都亂套了”。奇點(diǎn)的分析變得更加困難。近40年來，這個(gè)問題一直沒有取得實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。

這一障礙終于被打破了。2023年，喬多什（Chodosh）與萊斯大學(xué)的克里斯托斯·曼圖利迪斯（Christos Mantoulidis）和華威大學(xué)的費(fèi)利克斯·舒爾茨（Felix Schulze）合作，證明在九維和十維空間中，光滑的極小化曲面是常態(tài) https://arxiv.org/abs/2302.02253 。今年早些時(shí)候，該團(tuán)隊(duì)與康奈爾大學(xué)的王志涵（Zhihan Wang https://bicmr.pku.edu.cn/cn/content/show/70-3324.html ）合作，證明了在十一維空間中同樣如此。

這項(xiàng)研究標(biāo)志著在理解更高維度中可能出現(xiàn)的奇異極小曲面方面取得了重大進(jìn)展。數(shù)學(xué)家們現(xiàn)在可以利用這一成果來解決許多其他長(zhǎng)期以來僅限于八維或更低維度的數(shù)學(xué)問題——這使得這些定理更加強(qiáng)大。

一段奇異歷史

1962年，數(shù)學(xué)家溫德爾·弗萊明（Wendell Fleming）證明，所有二維極小曲面——普拉托可能研究的任何肥皂膜——都必須是光滑的。具有奇點(diǎn)的二維極小曲面根本不存在。

這些二維曲面存在于我們熟悉的三維空間中。但當(dāng)我們進(jìn)入更高維度時(shí)會(huì)發(fā)生什么呢？那時(shí)問題就更難可視化了。例如，在四維空間中，我們線框的對(duì)應(yīng)物是一個(gè)二維曲面，而普拉托問題要求我們找到一個(gè)三維形狀，用盡可能小的體積填充這個(gè)曲面。這個(gè)形狀會(huì)是什么樣子呢？斯坦福大學(xué)的布萊恩·懷特（Brian White）說，就我們所知，“它可能非常糟糕——像分形一樣，或者極其不規(guī)則?！?/p>

Christos Mantoulidis（左）、Felix Schulze（中）和 Otis Chodosh 證明，在九維和十維空間中，大多數(shù)極小化曲面都是光滑的。

圖源：Alison Law | Christos Mantoulidis | Gregor Fels

在弗萊明證明之后的幾年里，數(shù)學(xué)家們證明，這種情況在四維、五維、六維或七維空間中永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生。極小曲面總是光滑的。但在1968年，數(shù)學(xué)家吉姆·西蒙斯（Jim Simons，參閱）在八維空間中構(gòu)造了一個(gè)七維形狀，該形狀僅在一個(gè)點(diǎn)處存在奇點(diǎn)。次年，數(shù)學(xué)家們證明了這個(gè)形狀是一個(gè)極小曲面，從而確定了八維空間中的極小曲面實(shí)際上可能是奇異的。

于是問題就變成了：這些奇點(diǎn)到底有多糟糕？它們是罕見的還是常見的？能否通過稍微調(diào)整線框的形狀，以恰當(dāng)?shù)姆绞较鼈?？“如果你想弄清楚一個(gè)曲面的特性，奇點(diǎn)會(huì)使分析變得更加困難，”懷特說道。但如果奇點(diǎn)出現(xiàn)的頻率很低，而且你可以輕松地調(diào)整它們以獲得光滑的曲面，那么事情就會(huì)變得容易得多——例如，你可以使用微積分的工具。

1985年，羅伯特·哈特（Robert Hardt）和萊昂·西蒙（Leon Simon）證明了八維空間中的極小曲面具有一種優(yōu)良的性質(zhì)，數(shù)學(xué)家稱之為一般正則性（generic regularity）。但沒有人能夠找到如何將他們的方法應(yīng)用于更高維度，以證明這種性質(zhì)是否存在。

這種情況持續(xù)了幾十年——直到Chodosh、Mantoulidis和Schulze介入。

進(jìn)入陌生領(lǐng)域

這三位數(shù)學(xué)家想要探索未知的更高維度領(lǐng)域，并了解其極小曲面的本質(zhì)，就像生物學(xué)家試圖了解新發(fā)現(xiàn)島嶼上的動(dòng)植物群一樣。于是，他們開始著手研究能否消除這些奇點(diǎn)。

懸鏈旋轉(zhuǎn)面（catenoid，左）和Costa（科斯塔，右）曲面都是面積極小曲面。

其中Costa曲面，由巴西數(shù)學(xué)家Costa科斯塔于1982年發(fā)現(xiàn)，是一個(gè)完備的極小嵌入曲面，具有虧格為1和三個(gè)孔洞。它是一個(gè)有限拓?fù)淝?，平均曲率為零，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中。

圖源：Wikimedia Commons

他們首先在八維空間中重新證明了哈特和西蒙幾十年前得出的結(jié)論，這次他們采用了一種不同的方法，并希望檢驗(yàn)這種方法的有效性。首先，他們假設(shè)了與他們想要證明的相反的情況：當(dāng)你對(duì)定義曲面的線框進(jìn)行微小擾動(dòng)時(shí)，奇點(diǎn)（單個(gè)點(diǎn)）始終存在。每次進(jìn)行擾動(dòng)，你都會(huì)得到一個(gè)新的極小曲面，該曲面仍然具有奇點(diǎn)。然后，你可以將所有這些極小曲面堆疊在一起，使得奇點(diǎn)所在的點(diǎn)構(gòu)成一條直線。

但這不可能。1970年，數(shù)學(xué)家赫伯特·費(fèi)德勒（Herbert Federer）發(fā)現(xiàn)， n維空間中極小化曲面上的任何奇點(diǎn)，其維度至多為n-8。這意味著在八維空間中，任何奇點(diǎn)都必須是零維的：一個(gè)孤立點(diǎn)。直線是不允許的。喬多什、曼圖利迪斯和舒爾茨將費(fèi)德勒的證明推廣到八維空間中的曲面堆疊。然而，在他們的證明中，他們卻構(gòu)造了一個(gè)包含這樣一條直線的曲面堆疊。這個(gè)矛盾表明他們最初的假設(shè)是錯(cuò)誤的——這意味著，你最終還是可以通過擾動(dòng)線框來消除奇點(diǎn)。

王志涵和他的同事證明，當(dāng)11維空間中的極小化曲面上形成奇點(diǎn)時(shí)，可以通過調(diào)整使其消失。

圖源：Yueqing Feng

他們現(xiàn)在覺得可以著手解決九維問題了。他們的證明方法與之前相同：他們假設(shè)最壞的情況，進(jìn)行一系列擾動(dòng)，最終得到一個(gè)無限堆疊的極小曲面，這些曲面都存在奇點(diǎn)。然后，他們引入了一種名為分離函數(shù)（separation function）的新工具，用于衡量這些奇點(diǎn)之間的距離。如果任何擾動(dòng)都無法影響奇點(diǎn)，那么這個(gè)分離函數(shù)應(yīng)該始終保持很小。但三人組證明，有時(shí)這個(gè)函數(shù)的值會(huì)很大：某些擾動(dòng)可以使奇點(diǎn)消失。

數(shù)學(xué)家們證明了九維空間中極小曲面的一般正則性 https://arxiv.org/abs/2302.02253 。他們能夠?qū)⑼瑯拥淖C明應(yīng)用于十維空間——但在十一維空間中，奇點(diǎn)的處理變得更加棘手。他們的方法對(duì)一種特定的三維奇點(diǎn)失效了?！捌纥c(diǎn)的類型多種多樣，”曼圖利迪斯說，“任何成功的證明都必須足夠?qū)挿?，能夠處理所有這些奇點(diǎn)?！?/p>

團(tuán)隊(duì)決定與曾深入研究過這類奇點(diǎn)的王志涵合作。他們共同改進(jìn)了分離函數(shù)，使其也能適用于這種情況。他們已經(jīng)解決了11維空間中的這個(gè)問題 https://arxiv.org/abs/2506.12852 。

“他們將我們的理解拓展了幾個(gè)維度，這真是太棒了，”懷特說。

但他們可能需要找到不同的方法來處理更高維度的問題?！拔覀冃枰环N新的成分，”舒爾茨說。

與此同時(shí)，數(shù)學(xué)家們期望這項(xiàng)新成果能夠幫助他們?cè)跀?shù)學(xué)和物理的其他問題上取得進(jìn)展。幾何學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)中許多猜想的證明——例如關(guān)于具有特定曲率性質(zhì)的形狀的存在性和行為——都依賴于極小曲面的光滑性。因此，這些猜想此前僅被證明到八維?，F(xiàn)在，其中許多猜想可以推廣到九維、十維甚至十一維。

廣義相對(duì)論中的一個(gè)重要論斷——正質(zhì)量定理（positive mass theorem）——也是如此。該定理粗略地指出，宇宙的總能量必然為正。1970年代，理查德·舍恩（Richard Schoen）和丘成桐（Shing-Tung Yau）利用極小曲面證明了七維及以下維度的正質(zhì)量定理。2017年，他們將結(jié)果推廣到所有維度。如今，普拉托問題的最新進(jìn)展為驗(yàn)證九維、十維和十一維的正質(zhì)量定理提供了一種新方法?！八麄兲峁┝艘环N更直觀的推廣方法，”懷特說，“不同的證明會(huì)帶來不同的見解?！?/p>

這項(xiàng)研究也可能帶來許多意想不到的后果。普拉托問題已被用于研究各種其他問題，包括冰川融化機(jī)制 https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-melting-ice-stays-smooth-20211006/ 。數(shù)學(xué)家們希望該團(tuán)隊(duì)的新方法能夠幫助他們更深入地理解這些聯(lián)系。

至于普拉托問題本身，現(xiàn)在有兩種前進(jìn)的方向：要么數(shù)學(xué)家們繼續(xù)證明更高維度上的一般規(guī)律性，要么他們會(huì)發(fā)現(xiàn)，在11維以上，奇點(diǎn)就無法再被消除。舒爾茨說，那也將“算是一個(gè)奇跡”——又一個(gè)待解之謎?！盁o論哪種結(jié)果，都將令人興奮?！?/p>

參考資料

https://arxiv.org/abs/2302.02253

https://arxiv.org/abs/2506.12852

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-melting-ice-stays-smooth-20211006/

https://bicmr.pku.edu.cn/cn/content/show/70-3324.html

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