微分這一“鏡頭”，就相當(dāng)于顯微鏡，能讓我們觀察到非常細(xì)小的部分。積分則是將這些細(xì)小的部分連接、組合起來(lái)，讓我們將研究對(duì)象再次視為曲線來(lái)理解。

先分割再連接組合，從某種意義上來(lái)說(shuō)，微積分是非常簡(jiǎn)單的思考方法，而這種簡(jiǎn)單的思考方法卻發(fā)揮出了驚人的威力。

在數(shù)學(xué)中，能發(fā)揮如此威力的構(gòu)想并不多見(jiàn)。

來(lái)源 | 《數(shù)學(xué)與生活5：數(shù)學(xué)的歷史、現(xiàn)代與方法》

作者 | [日]遠(yuǎn)山啟

譯者 | 武曉宇

01

微分與積分的力量

其實(shí)，只要稍微學(xué)過(guò)一點(diǎn)微積分的人，就能知道其重要性。假如沒(méi)有微積分，現(xiàn)代數(shù)學(xué)可能只能發(fā)展到現(xiàn)在程度的三分之一左右。

同樣，如果沒(méi)有微積分，現(xiàn)代天文學(xué)、物理學(xué)也都會(huì)失去其體系中的重要支柱，像如今這種程度的發(fā)展也無(wú)從談起?？梢哉f(shuō)，如果不使用微積分，那么自然方面的研究幾乎無(wú)從下手。

然而，微積分這么重要的東西，其思考方法卻簡(jiǎn)單至極，只不過(guò)是對(duì)笛卡兒四條原則中的第二原則和第三原則的一種完美應(yīng)用而已。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，微積分相當(dāng)于幫助我們觀察種種現(xiàn)象的“精巧鏡頭”。如前文所述，對(duì)于彎曲的東西，用微分這一“鏡頭”就能將其近似為直線，從而使得研究難度大幅度降低。微分這一“鏡頭”，就相當(dāng)于顯微鏡，能讓我們觀察到非常細(xì)小的部分。積分則是將這些細(xì)小的部分連接、組合起來(lái)，讓我們將研究對(duì)象再次視為曲線來(lái)理解。先分割再連接組合，微積分就是這么簡(jiǎn)單的構(gòu)想。如果沒(méi)有微積分，我們就無(wú)法研究太陽(yáng)系的各個(gè)行星是如何圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的，也就無(wú)法發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)系天體的運(yùn)動(dòng)法則。

為了解決太陽(yáng)系天體運(yùn)動(dòng)這個(gè)在當(dāng)時(shí)來(lái)說(shuō)至關(guān)重大的問(wèn)題，牛頓構(gòu)想出了微積分這一方法。前文中曾提過(guò)，牛頓將伽利略、開(kāi)普勒的研究連接了起來(lái)，創(chuàng)建了牛頓力學(xué)。行星具體是怎樣運(yùn)動(dòng)的，其實(shí)在牛頓出生之前，開(kāi)普勒就已經(jīng)研究清楚了，并創(chuàng)立了今天所說(shuō)的開(kāi)普勒定律。

02

開(kāi)普勒定律

開(kāi)普勒自己雖然沒(méi)有進(jìn)行天文觀測(cè)，但他的老師天文學(xué)家第谷·布拉赫（1546—1601）是當(dāng)時(shí)非常有名的天體觀測(cè)研究者。也就是說(shuō)，開(kāi)普勒推導(dǎo)出行星運(yùn)動(dòng)的三條基本定律，靠的僅僅是第谷積累的龐大的天文觀測(cè)數(shù)據(jù)。當(dāng)時(shí)還沒(méi)有望遠(yuǎn)鏡，天文觀測(cè)要靠肉眼來(lái)觀察星空，而開(kāi)普勒的眼睛不太好，無(wú)法觀察星星?？傊_(kāi)普勒是從前人的觀測(cè)數(shù)據(jù)中推導(dǎo)出了行星運(yùn)動(dòng)的三條基本定律。

雖然有許多行星，但開(kāi)普勒首先研究的是火星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。火星緊鄰地球，位于地球的外側(cè)。開(kāi)普勒第一定律指出了火星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即火星以橢圓軌道圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)。橢圓有兩個(gè)焦點(diǎn)，太陽(yáng)就位于橢圓軌道的其中一個(gè)焦點(diǎn)上。

“所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓的，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上?！?/p>

這便是開(kāi)普勒第一定律。

開(kāi)普勒第一定律雖然搞清楚了行星運(yùn)動(dòng)的軌道，但無(wú)法確定行星在軌道上的各個(gè)點(diǎn)處以何種速度運(yùn)動(dòng)。于是，為了解決這個(gè)問(wèn)題，開(kāi)普勒第二定律就誕生了。

如圖1-2所示，假設(shè)我們將太陽(yáng)和火星用線連接起來(lái)，那么此時(shí)火星的運(yùn)動(dòng)就如同汽車(chē)前擋風(fēng)玻璃上的雨刮器那樣。這個(gè)火星與太陽(yáng)之間形成的“雨刮器”，其掃過(guò)的面積在相等的時(shí)間內(nèi)總是相等的。因此，它也被稱為“面積定律”。

如圖1-2中的情況所示，由于火星與太陽(yáng)的連線掃過(guò)的面積總是恒定的，因此可以得知火星在遠(yuǎn)離太陽(yáng)時(shí)，其速度會(huì)變慢；靠近太陽(yáng)時(shí)，其速度會(huì)變快。

開(kāi)普勒第二定律雖然寫(xiě)在紙上只有寥寥數(shù)語(yǔ)，但其發(fā)現(xiàn)過(guò)程非常艱辛。

行星的運(yùn)行軌道是橢圓的，這其實(shí)也是一個(gè)突破性的發(fā)現(xiàn)。在開(kāi)普勒之前，大家都以為行星的運(yùn)動(dòng)軌道是圓的。但通過(guò)對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的長(zhǎng)期研究，開(kāi)普勒逐漸注意到行星的軌道似乎像被輕微地?cái)D壓過(guò)的圓一樣。圓被輕微擠壓就是橢圓，于是開(kāi)普勒提出了相應(yīng)的假設(shè)，并通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)證實(shí)了這個(gè)假設(shè)。

提出假設(shè)是科學(xué)研究中經(jīng)常使用的一種方法，大部分假設(shè)可能都不成立，但也有偶爾成立的時(shí)候。我們從結(jié)果上來(lái)看，似乎是研究者直接把成立的假設(shè)發(fā)表了出來(lái)，但在科學(xué)研究中，幾十個(gè)、幾百個(gè)假設(shè)中可能才有一個(gè)是成立的。

開(kāi)普勒就經(jīng)歷了這種艱辛的探索過(guò)程，他在龐大的觀測(cè)數(shù)據(jù)中苦心孤詣，花費(fèi)了非常長(zhǎng)的時(shí)間才發(fā)現(xiàn)了開(kāi)普勒第二定律。

開(kāi)普勒第三定律的發(fā)現(xiàn)也經(jīng)歷了相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間，與發(fā)現(xiàn)第二定律之間相距約有10年。第三定律描述的是行星軌道的大小與其公轉(zhuǎn)時(shí)間之間的關(guān)系，具體內(nèi)容是“行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期的平方和它們的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的立方成正比”。這個(gè)定律，對(duì)于圍繞地球運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星也是成立的。

有了開(kāi)普勒第一定律和第二定律，至少就可以確定某個(gè)行星的運(yùn)動(dòng)情況。如果我們將其翻譯為瞬間運(yùn)動(dòng)的定律，也就是對(duì)其進(jìn)行微分的話，情況會(huì)如何呢？如果不持續(xù)觀察行星完整公轉(zhuǎn)一周，就無(wú)法用開(kāi)普勒定律確定其運(yùn)動(dòng)情況。也就是說(shuō)，如果沒(méi)有對(duì)火星運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)時(shí)間持續(xù)觀測(cè)，那么就無(wú)法把握火星的運(yùn)動(dòng)情況。

那么，有沒(méi)有方法能在非常短的時(shí)間內(nèi)確定其瞬間運(yùn)動(dòng)的情況呢？這時(shí)就需要使用微分，使用微分就可以把握行星的瞬間運(yùn)動(dòng)情況。用微分表達(dá)的行星瞬間運(yùn)動(dòng)情況，也與牛頓的萬(wàn)有引力定律相合，即太陽(yáng)和火星互相被引力吸引，這種引力的大小與二者距離的平方成反比。

牛頓的萬(wàn)有引力定律與開(kāi)普勒定律在本質(zhì)上是相同的，只不過(guò)表達(dá)的方式不同。開(kāi)普勒定律需要觀察行星公轉(zhuǎn)的整體時(shí)間才能確定行星的運(yùn)動(dòng)情況，牛頓的萬(wàn)有引力定律則是把握天體瞬間運(yùn)動(dòng)的定律，二者在這一點(diǎn)上是大不相同的。

03

微分、積分與牛頓力學(xué)

牛頓的萬(wàn)有引力定律也可以看作微分定律，即在無(wú)窮小的時(shí)間中、在無(wú)窮小的空間范圍內(nèi)進(jìn)行觀察的定律。牛頓的萬(wàn)有引力定律是關(guān)于力的定律，即力與加速度成正比。這里的加速度，就需要在無(wú)窮小的時(shí)間中、在無(wú)窮小的距離之間進(jìn)行觀察，才能計(jì)算出來(lái)。

所以從這個(gè)意義上說(shuō)，牛頓的萬(wàn)有引力定律可以說(shuō)是微分定律，而開(kāi)普勒的定律則可以說(shuō)是積分定律。牛頓用微分定律重寫(xiě)了開(kāi)普勒的積分定律。如果將牛頓的微分定律還原為積分定律，則與開(kāi)普勒定律完全一致。

也就是說(shuō)，將開(kāi)普勒的積分定律用笛卡兒的第二原則進(jìn)行細(xì)分，就得到了牛頓的萬(wàn)有引力定律，而將其再次連接、組合起來(lái)的話，又會(huì)得出原來(lái)的開(kāi)普勒定律。

積分定律與微分定律在本質(zhì)上是相同的，二者可以相互轉(zhuǎn)化，僅僅是表達(dá)方式不同而已。不過(guò)，從難易程度上來(lái)說(shuō)，微分定律要更加容易操作，也更簡(jiǎn)單。如果僅僅是考察火星的運(yùn)動(dòng)情況，那么使用開(kāi)普勒第一定律和第二定律所構(gòu)建的體系還是可以應(yīng)對(duì)的。但是，如果要考察其他行星（比如土星或木星）的運(yùn)動(dòng)情況，并將其納入第一定律和第二定律的體系中，那么無(wú)論如何都需要開(kāi)普勒第三定律。將越多大小不同的行星納入開(kāi)普勒的體系中，對(duì)第三定律的需求就會(huì)越高。

像開(kāi)普勒這樣悲慘境遇的人，在科學(xué)家中也是少有的。當(dāng)時(shí)的德國(guó)正處于相當(dāng)于日本戰(zhàn)國(guó)時(shí)代一樣的亂世，如果大家讀過(guò)《獵巫》一書(shū)就會(huì)多少了解一些背景。當(dāng)時(shí)，開(kāi)普勒的母親經(jīng)受了“女巫審判”，遭受了殘忍的刑罰。開(kāi)普勒為了救他的母親，也吃盡了苦頭?？梢哉f(shuō)，開(kāi)普勒的一生幾乎都是在苦難與貧困中度過(guò)，但他在這樣的人生中依然為世人留下了開(kāi)普勒定律。開(kāi)普勒定律雖然寫(xiě)在紙上不滿一頁(yè)，但它是科學(xué)史上第一級(jí)別的重要發(fā)現(xiàn)。

如前文所述，牛頓用近乎完美的定律描述了太陽(yáng)系中太陽(yáng)與行星之間的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。牛頓的萬(wàn)有引力定律問(wèn)世后，科學(xué)不僅僅能用來(lái)說(shuō)明過(guò)去到現(xiàn)在的現(xiàn)象，甚至變得可以預(yù)測(cè)未來(lái)了。例如，科學(xué)可以預(yù)測(cè)下一次日食將于何年何月何日何時(shí)何分開(kāi)始，其過(guò)程將歷時(shí)幾分鐘幾秒。像科學(xué)所具有的這種預(yù)測(cè)能力，是可以進(jìn)行實(shí)證的，而這正是科學(xué)的獨(dú)特魅力，也是牛頓力學(xué)所帶來(lái)的強(qiáng)大威力。因此，牛頓力學(xué)的誕生，讓科學(xué)發(fā)生了重大變化。牛頓時(shí)代的人，恐怕對(duì)這種天翻地覆般的轉(zhuǎn)變大為吃驚。

科學(xué)能這樣精準(zhǔn)地預(yù)測(cè)未來(lái)，這讓當(dāng)時(shí)的人們覺(jué)得科學(xué)已經(jīng)變得無(wú)所不能。雖然有些夸張，但這種思潮還是自然而然地洶涌而至。其實(shí)，從某種意義上來(lái)說(shuō)，太陽(yáng)系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是極其簡(jiǎn)單、單純的，所以其未來(lái)的情況才能被預(yù)測(cè)到。

但是，一般的現(xiàn)象并不像太陽(yáng)系天體的運(yùn)動(dòng)那樣單純，所以無(wú)法精準(zhǔn)預(yù)測(cè)。例如，紙片會(huì)以何種方式掉落，這個(gè)過(guò)程其實(shí)非常復(fù)雜。不過(guò)，牛頓力學(xué)中所使用的數(shù)學(xué)工具可以解決這類(lèi)問(wèn)題。這種數(shù)學(xué)工具便是微積分，特別是其中的微分方程。使用微分方程，我們可以對(duì)復(fù)雜現(xiàn)象進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。有人認(rèn)為，世間萬(wàn)物似乎都可以用微分方程來(lái)進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。雖然有些夸張，但“數(shù)學(xué)是萬(wàn)能的”這一觀點(diǎn)自然而然地出現(xiàn)了。由此也能看出，牛頓力學(xué)給當(dāng)時(shí)人們的認(rèn)知帶來(lái)了怎樣的巨大沖擊。

天體的運(yùn)動(dòng)非常單純，所以才能進(jìn)行精準(zhǔn)預(yù)測(cè)。越是對(duì)于類(lèi)似天體運(yùn)動(dòng)這種單純的情況，微積分越能發(fā)揮出強(qiáng)大的威力。

以笛卡兒為起點(diǎn)的近代數(shù)學(xué)，其中心便是由牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立發(fā)展而出的微積分。如前文所述，微積分相當(dāng)于精巧的相機(jī)鏡頭，能幫助我們觀察各種現(xiàn)象。與玻璃制成的相機(jī)鏡頭不同，微積分的這種“鏡頭”能讓我們細(xì)致地觀察世界，并且對(duì)世界中的現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)測(cè)。

與古代、中世紀(jì)的數(shù)學(xué)相比，近代數(shù)學(xué)的威力可謂大幅增強(qiáng)。

《數(shù)學(xué)與生活5：數(shù)學(xué)的歷史、現(xiàn)代與方法》

作者：[日]遠(yuǎn)山啟

譯者：武曉宇

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一本書(shū)講明現(xiàn)代數(shù)學(xué)的本質(zhì)和意義，讀懂百年數(shù)學(xué)。高中生應(yīng)該人手一冊(cè)。

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本書(shū)是關(guān)于“數(shù)學(xué)是什么”的通俗科普讀物。作者著眼于數(shù)學(xué)思考方法的發(fā)展，將數(shù)學(xué)劃分為古代數(shù)學(xué)、中世紀(jì)數(shù)學(xué)、近代數(shù)學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)，以生動(dòng)的講述方法清晰呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)，并結(jié)合日常經(jīng)驗(yàn)講述了諸多數(shù)學(xué)概念與思想的來(lái)源與發(fā)展。此外，本書(shū)還通俗地講述了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要概念與方法，引導(dǎo)讀者對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更深刻的理解。

《數(shù)學(xué)與生活》系列

作者：[日]遠(yuǎn)山啟

譯者：武曉宇等

生活故事 詮釋小學(xué)至大學(xué)數(shù)學(xué)的原理與精髓！

人性思維 消解“應(yīng)試數(shù)學(xué)”帶來(lái)的數(shù)學(xué)恐懼感！

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• 《數(shù)學(xué)與生活5：數(shù)學(xué)的歷史、現(xiàn)代與方法 》：初中以上，高中生和大本階段尤其需要好好讀