簡介

采用反饋回路的自動(dòng)控制系統(tǒng)（即將系統(tǒng)輸出反饋至輸入端）古已有之，如今已成為現(xiàn)代技術(shù)中不可或缺的組成部分。James Clark Maxwell 在150多年前發(fā)表的《論調(diào)節(jié)器》[1]中，首次嘗試嚴(yán)謹(jǐn)?shù)孛枋鰬?yīng)用反饋的控制回路。

在控制策略中，開環(huán)控制系統(tǒng)是控制器根據(jù)預(yù)定的輸入值來確定控制動(dòng)作，不依賴任何反饋。相比之下，閉環(huán)控制器包含持續(xù)的反饋機(jī)制，能夠進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整，以提高精度、穩(wěn)定性和魯棒性，使其更適合在不斷變化的條件下實(shí)現(xiàn)所需的控制目標(biāo)。

目前，應(yīng)用最廣泛的閉環(huán)控制系統(tǒng)是比例-積分-微分 (PID) 控制器。這類控制器持續(xù)測量并調(diào)整系統(tǒng)輸出，使其與所需的設(shè)定點(diǎn)（即目標(biāo)過程或系統(tǒng)的給定目標(biāo)狀態(tài)）相匹配。由于 PID 控制器幾乎不需要系統(tǒng)的先驗(yàn)知識或模型，因此具有極強(qiáng)的通用性、成本效益高且易于實(shí)現(xiàn)。它們可應(yīng)用于多種過程：從液壓氣動(dòng)、模擬電路到數(shù)字電子技術(shù)。

因此，PID 控制器廣泛應(yīng)用于各種工業(yè)和研究領(lǐng)域，包括制造業(yè)、光子學(xué)、傳感器、材料科學(xué)和納米技術(shù)。

PID 控制回路在日常生活和工業(yè)自動(dòng)化中無處不在，例如智能手機(jī)和自動(dòng)駕駛汽車中的陀螺儀、用于烹飪或處理樣品的烤箱、管道中的流量控制器，甚至用于管理交通。

同時(shí)，它們在一些前沿研究領(lǐng)域也十分突出，例如光學(xué)和光子學(xué)中對激光腔和干涉儀的穩(wěn)定、基于 MEMS（微機(jī)電系統(tǒng)）陀螺儀的閉環(huán)控制，以及掃描探針顯微鏡 (SPM) 中機(jī)械諧振器的表征。

本文將介紹 PID 控制回路的關(guān)鍵功能和原理，通過分析其基本構(gòu)成模塊，描述其優(yōu)勢和局限性，并概述整定和設(shè)計(jì)策略，以及如何通過蘇黎世儀器的鎖相放大器輕松實(shí)現(xiàn)。

PID工作原理與構(gòu)成模塊

PID 控制器的目標(biāo)是生成一個(gè)控制信號 u(t)，用以動(dòng)態(tài)地最小化系統(tǒng)輸出 y(t) 與所需的設(shè)定點(diǎn) r(t) 之間的差異。

如圖1所示，在一個(gè)典型的控制方案中，首先將系統(tǒng)輸出 y(t) 反饋回來，并通過比較器與設(shè)定點(diǎn) r(t) 進(jìn)行比較，生成隨時(shí)間變化的誤差信號 e(t)=r(t)?y(t)。隨后，環(huán)路控制器對該誤差信號進(jìn)行最小化處理，并生成控制信號 u(t)。該控制信號被施加到執(zhí)行機(jī)構(gòu)上，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)輸出，從而啟動(dòng)閉環(huán)操作。為了持續(xù)最小化誤差，除了考慮當(dāng)前誤差外，考慮其隨時(shí)間累積（積分項(xiàng)）和其未來趨勢（微分項(xiàng)）也至關(guān)重要，如圖2所示。

圖 1. 最通用形式的 PID 控制回路示意圖。

圖 2. 誤差函數(shù)示例，突出顯示了 P、I 和 D 三項(xiàng)的貢獻(xiàn)。

在最一般情況下，誤差最小化是通過 PID 控制器環(huán)路控制器的三個(gè)主要部分實(shí)現(xiàn)的：比例項(xiàng)、積分項(xiàng)和微分項(xiàng)。

在數(shù)學(xué)上，最一般形式的完整控制函數(shù)可以寫成這三個(gè)獨(dú)立貢獻(xiàn)項(xiàng)的總和：

其中 Kp、Ki 和 Kd 分別是與比例項(xiàng)、積分項(xiàng)和微分項(xiàng)相關(guān)的增益系數(shù)。

比例項(xiàng)

比例項(xiàng)（用 P 表示）基于系統(tǒng)設(shè)定點(diǎn)與測量的系統(tǒng)輸出之間的瞬時(shí)誤差。這一項(xiàng)通過施加與誤差幅度成正比的校正，幫助將系統(tǒng)輸出快速拉回設(shè)定點(diǎn)，從而減少控制信號的上升時(shí)間，如圖3所示。誤差越大，比例項(xiàng)施加的校正越大；在固定 KP 的情況下，誤差越大，uP(t) 越大。由于 P 項(xiàng)需要非零誤差才能產(chǎn)生輸出，因此其本身不能完全消除誤差。系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，會殘留一個(gè)固有的穩(wěn)態(tài)誤差（或稱靜差）。

圖 3. 比例項(xiàng)的影響。增加Kp系數(shù)可以縮短上升時(shí)間，但穩(wěn)態(tài)誤差永遠(yuǎn)不會等于零。此外，比例項(xiàng)增益值過高可能會導(dǎo)致輸出振蕩。

積分項(xiàng)

積分項(xiàng)（用 I 表示）施加一個(gè)與誤差的時(shí)間積分（即誤差的累積歷史）成正比的校正。如果誤差持續(xù)累積，積分項(xiàng)會持續(xù)增大，導(dǎo)致對系統(tǒng)輸出施加更大的校正。與比例項(xiàng)不同，積分項(xiàng)能夠使控制器在瞬時(shí)零誤差的條件下，也能產(chǎn)生非零的控制信號。這一特性使控制器能夠?qū)⑾到y(tǒng)精確地帶到所需的設(shè)定點(diǎn)，徹底消除穩(wěn)態(tài)誤差。其效果如圖4所示。

圖 4： 在Kp=1恒定的情況下，積分項(xiàng)的影響。增加Ki，響應(yīng)速度會更快，但如果值增加太多，也會導(dǎo)致更大的振蕩和超調(diào)（綠色曲線）。

增大積分增益系數(shù) Ki 的值，會增加累積誤差對控制信號的貢獻(xiàn)。這意味著如果存在穩(wěn)態(tài)誤差，具有較大 Ki 的積分項(xiàng)將比小的積分項(xiàng)更快地驅(qū)動(dòng)控制信號以消除誤差。

然而，過度增加積分項(xiàng)會導(dǎo)致輸出振蕩。如果累積了過多誤差，可能導(dǎo)致控制信號超調(diào)并在設(shè)定點(diǎn)周圍產(chǎn)生振蕩。這種現(xiàn)象有時(shí)被稱為積分飽和[2]。

微分項(xiàng)

微分項(xiàng)（用 D 表示）通過施加與誤差對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（即其變化趨勢）成正比的校正來控制誤差。這有助于減少誤差的變化率，從而提高控制回路的穩(wěn)定性和響應(yīng)速度。其目的是預(yù)測誤差信號的變化：如果誤差呈上升趨勢，微分項(xiàng)會嘗試補(bǔ)償，無需等待誤差變得顯著（比例動(dòng)作）或持續(xù)一段時(shí)間（積分動(dòng)作）。

在 PID 的實(shí)際實(shí)現(xiàn)中，微分項(xiàng)有時(shí)會被省略，因?yàn)樗鼘斎胄盘柕馁|(zhì)量高度敏感。當(dāng)控制信號中信號噪聲較大或設(shè)定點(diǎn)快速變化時(shí)，誤差的導(dǎo)數(shù)往往會變得非常大，導(dǎo)致 PID 控制器輸出急劇變化，可能引起控制回路的不穩(wěn)定或振蕩。

為了提高穩(wěn)定性，一種緩解策略是使用低通濾波器對誤差信號進(jìn)行預(yù)處理。然而，低通濾波與微分控制在頻率響應(yīng)上相互抵消，因此只能進(jìn)行有限量的濾波。如果經(jīng)過正確校準(zhǔn)且系統(tǒng)具備足夠裕度，微分項(xiàng)可以對控制器性能做出決定性貢獻(xiàn)。微分項(xiàng)的效果如圖5所示。

圖 5： 微分項(xiàng)的目的是增加系統(tǒng)的阻尼。然而，如文中所述，過大的Kd值可能會使系統(tǒng)不穩(wěn)定或振蕩。圖中曲線是在保持比例和積分增益恒定（Kp=4 和 Ki=1 s?1）的情況下獲得的。

每個(gè)項(xiàng)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響在很大程度上取決于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

因此，可以調(diào)整 Kp、Ki 和 Kd 增益的權(quán)重來微調(diào)控制回路的性能，以實(shí)現(xiàn)所需的響應(yīng)速度和準(zhǔn)確性。

某些應(yīng)用或簡單系統(tǒng)中，可能只需要PID控制器三個(gè)控制項(xiàng)中的一個(gè)或兩個(gè)。要僅使用這些項(xiàng)的一部分來操作控制器，只需將未使用的項(xiàng)增益設(shè)為零，即可得到 PI、PD、P 或 I 控制器。

例如，PI 控制器在優(yōu)先考慮消除穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)穩(wěn)定性，而非極快響應(yīng)時(shí)間的應(yīng)用中很常見，因?yàn)樗鼈兊膭?dòng)態(tài)響應(yīng)相對較慢。一個(gè)典型的例子是烤箱溫度控制，通常使用 PI 控制器來確保精確的溫度調(diào)節(jié)并消除任何穩(wěn)態(tài)偏移，考慮到烤箱系統(tǒng)較慢的熱響應(yīng)特性。

初始參數(shù)推導(dǎo)（整定）

PID 控制器的主要優(yōu)勢之一是它們可以在不了解系統(tǒng)或沒有詳細(xì)模型的情況下實(shí)現(xiàn)。由于其啟發(fā)式的校準(zhǔn)程序，可以僅基于在校準(zhǔn)過程中進(jìn)行的簡單實(shí)驗(yàn)測試來計(jì)算系數(shù)。盡管如此，PID 參數(shù)的初始整定可能是一項(xiàng)復(fù)雜的任務(wù)。

存在幾種成熟的方法來推導(dǎo)初始系數(shù)集，其中許多涉及測量系統(tǒng)的開環(huán)特性參數(shù)。

開環(huán)指的是在沒有任何反饋控制下系統(tǒng)的行為，即有一個(gè)輸入信號輸入系統(tǒng)，僅測量結(jié)果輸出，但不反饋到輸入。輸入信號可以是階躍信號、斜坡信號、正弦波或任何其他適合被控系統(tǒng)的信號類型。系統(tǒng)的輸出作為時(shí)間的函數(shù)被記錄下來，并可以進(jìn)行分析以確定系統(tǒng)的響應(yīng)特性，例如其時(shí)間常數(shù)、自然頻率和阻尼比。

尋找初始參數(shù)的一般策略通常包括三個(gè)步驟：

1. 獲取系統(tǒng)的開環(huán)響應(yīng)并測量一些特征參數(shù)，例如系統(tǒng)輸出的振蕩周期和過程延遲。

2. 基于測得的參數(shù)，計(jì)算增益系數(shù) Kp、Ki 和 Kd 的粗略值。

3. 調(diào)整 PID 增益系數(shù)以優(yōu)化控制回路的噪聲抑制、速度或魯棒性。

一些最廣泛應(yīng)用的粗調(diào)技術(shù)是 Ziegler-Nichols 方法[3]、Cohen-Coon 方法[4]、繼電反饋方法[5]和 Tyreus-Luyben 方法[6]。

在表1中，概述了一個(gè)基于 Ziegler-Nichols 方法的初始整定過程示例：

表 1： 基于 Ziegler-Nichols 方法的 PID 控制器初始整定的逐步程序。

模擬和數(shù)字 PID 控制器

近年來，由于現(xiàn)場可編程門陣列 (FPGA) 技術(shù)、微處理器和數(shù)字信號處理技術(shù)的出現(xiàn)，數(shù)字 PID 控制器（連同許多其他數(shù)字工具）在許多方面已經(jīng)超越了其模擬對應(yīng)物。特別是，數(shù)字形式的 PID 控制具有易于通過算法實(shí)現(xiàn)并由微控制器設(shè)備執(zhí)行的巨大優(yōu)勢。這極大地提高了其靈活性、性能和可處理應(yīng)用的數(shù)量。

數(shù)字和模擬 PID 控制器在處理信號和執(zhí)行控制操作的方式上有所不同。模擬控制器使用連續(xù)信號和模擬器件（如運(yùn)算放大器和電阻器）來執(zhí)行計(jì)算并生成控制信號。相反，數(shù)字 PID 控制器對信號進(jìn)行采樣和數(shù)字化，執(zhí)行計(jì)算并輸出離散的控制信號。數(shù)字信號處理技術(shù)的使用使得數(shù)字控制器能夠執(zhí)行更復(fù)雜的控制算法，從而避免了額外的模擬電路。模擬電路的物理特性可能會隨時(shí)間漂移，從而降低控制操作的質(zhì)量。

此外，數(shù)字控制器可以輕松實(shí)現(xiàn)配置的保存/調(diào)用以及與其他數(shù)字系統(tǒng)的集成，從而增加了其對更多控制問題和應(yīng)用的適應(yīng)性。

與所有數(shù)字信號處理實(shí)現(xiàn)一樣，數(shù)字 PID 控制器最常見的問題與量化和采樣有關(guān)。在離散時(shí)間間隔內(nèi)操作時(shí)，合理選擇采樣速率對于避免諸如混疊之類的偽影并確保精確控制至關(guān)重要。此外，在數(shù)字化平臺（例如 FPGA 或微處理器）上實(shí)現(xiàn)算法可能成本更高，并且需要額外的技術(shù)專長以及對用于信號計(jì)算和調(diào)理的相應(yīng)數(shù)值方法的仔細(xì)評估。

最終，模擬和數(shù)字控制器之間的選擇通常取決于應(yīng)用要求、可用資源和所需的性能。

表2提供了兩種方法優(yōu)缺點(diǎn)的概述。

表 2： 模擬和數(shù)字 PID 控制回路之間的比較。

蘇黎世儀器為其鎖相放大器、阻抗分析儀和 Boxcar 平均器提供數(shù)字 PID 控制器作為升級選件。儀器的集成架構(gòu)允許用戶從多種不同的輸入和輸出信號中選擇 PID 的信號源。此外，通過選擇解調(diào)信號作為 PID 控制器的輸入，用戶可以獲得以下優(yōu)勢：

• 增強(qiáng)信噪比和穩(wěn)定性： 解調(diào)將所需信號與噪聲和干擾隔離，為控制器提供更“干凈”的輸入信號。

• 提高靈敏度并改進(jìn)系統(tǒng)響應(yīng)： 鎖相檢測放大微弱信號，實(shí)現(xiàn)更精細(xì)的調(diào)整，并增強(qiáng) PID 控制器對細(xì)微變化的響應(yīng)能力。

• 消除不需要的頻率分量： 解調(diào)濾除原始信號中存在的不需要的頻率分量，從而實(shí)現(xiàn)更準(zhǔn)確和高效的控制。

如圖6所示，可選擇的信號包括解調(diào)信號的幅度、相位（借此可構(gòu)建所謂的鎖相環(huán)，簡稱 PLL[7]）、正交分量（Q分量）和同相分量（I分量）、Boxcar 輸出以及輔助輸入和輸出。集成的數(shù)字信號處理保證了最大的信噪比、最小的反饋回路延遲和高穩(wěn)定性的閉環(huán)反饋操作。反饋信號可作為模擬輸出使用，也可以直接應(yīng)用于內(nèi)部信號發(fā)生器輸出以控制其幅度、頻率、偏置和相位。

圖 6： 蘇黎世儀器鎖相放大器中 PID 控制器的數(shù)字處理架構(gòu)。根據(jù)具體應(yīng)用，可以使用不同的輸入和輸出信號。

數(shù)字化處理使得可以在同一儀器上嵌入多個(gè) PID 控制器，其輸入和輸出可以以串聯(lián)或并行方式配置使用，即它們彼此獨(dú)立或級聯(lián)連接。

鑒于圖6所示的架構(gòu)類型，鎖相放大器中嵌入的 PID 選件增強(qiáng)了儀器的多功能性，使其適用于各種應(yīng)用，即使特定應(yīng)用需求可能彼此顯著不同。

如前所述，確定 PID 控制器的適當(dāng)起始參數(shù)條件及其優(yōu)化可能是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。蘇黎世儀器提供的與硬件對接的軟件 LabOne? 提供了幾種工具來簡化 PID 控制器的設(shè)置和優(yōu)化過程，使 PID 參數(shù)優(yōu)化過程更高效、更直接。

LabOne 工具（如 Sweeper 參數(shù)掃描儀、PID Advisor 和 Autotune PID 參數(shù)自動(dòng)整定）可以幫助用戶實(shí)現(xiàn) PID 控制回路，根據(jù)所需的性能提供直觀可調(diào)的帶寬、速度和初始整定參數(shù)。

例如，Sweeper 可用于通過掃描信號獲得被測設(shè)備 (DUT) 的開環(huán)響應(yīng)，然后 PID Advisor 基于預(yù)設(shè)的傳遞函數(shù)和通過 Sweeper 測量獲得的 DUT 開環(huán)特性選擇初始反饋增益參數(shù)。在閉環(huán)后，為了最小化殘余誤差信號并增強(qiáng)控制性能，可以將 Auto Tune 功能應(yīng)用于反饋信號以動(dòng)態(tài)調(diào)整反饋增益參數(shù)。

此外，由于 LabOne 支持最流行的編程語言（Python、C/C++、MATLAB?、LabVIEWTM 和 .NET），在設(shè)置控制回路及其后續(xù)優(yōu)化和改進(jìn)時(shí)確保了最大的靈活性。

挑戰(zhàn)與權(quán)衡

盡管 PID 控制器的多功能性和簡單性使其能夠應(yīng)用于許多控制問題，但它們受到一些限制，并且無法提供所謂的最優(yōu)控制。最優(yōu)控制指的是最小化或最大化用于測量受控系統(tǒng)性能的某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)（有時(shí)稱為成本函數(shù)）的一組控制信號，例如最小化能耗。

具體而言，PID 控制器滯后性的性質(zhì)（即不使用系統(tǒng)的明確模型來生成控制系數(shù)）使得它們對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的變化敏感，并且可能需要仔細(xì)調(diào)整以實(shí)現(xiàn)所需的性能。一些典型的缺點(diǎn)可能包括：

• 如果系統(tǒng)具有復(fù)雜或非線性的傳遞函數(shù)，性能會下降。在這些情況下，可能需要更先進(jìn)和計(jì)算量大的基于模型的控制方法，例如狀態(tài)空間控制或 H-infinity 控制[8]。

• D 項(xiàng)對噪聲和干擾信號的顯著敏感性，影響控制回路的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。可以應(yīng)用緩解策略來部分解決這些問題——例如省略 D 項(xiàng)分量或?qū)ζ溥M(jìn)行低通濾波。

• 對死區(qū)時(shí)間或相位延遲的敏感性，即控制回路對系統(tǒng)或設(shè)定點(diǎn)變化做出響應(yīng)所需的時(shí)間。如果相位延遲太大，控制回路可能變得不穩(wěn)定并開始振蕩或表現(xiàn)出其他不良行為。

• 執(zhí)行器飽和： 由于執(zhí)行器的物理限制（例如，電機(jī)不能提供超過其最大扭矩的力），會在過程中引入非線性，從而影響物理系統(tǒng)。諸如抗積分飽和或設(shè)定值加權(quán)之類的技術(shù)可以幫助緩解這些問題，且只需對控制回路進(jìn)行相對較小的修改[9]。

環(huán)路帶寬

設(shè)計(jì) PID 控制器時(shí)要考慮的另一個(gè)重要因素是環(huán)路帶寬或閉環(huán)帶寬。該帶寬是控制回路可以有效控制系統(tǒng)的頻率范圍。寬帶環(huán)路對設(shè)定點(diǎn)或系統(tǒng)的變化響應(yīng)迅速，但也更容易出現(xiàn)振蕩和超調(diào)。相比之下，窄帶環(huán)路對設(shè)定點(diǎn)的變化不太敏感，并且可以以較慢的響應(yīng)時(shí)間為代價(jià)提供更平穩(wěn)和更準(zhǔn)確的控制信號。

鑒于速度和精度之間的這種權(quán)衡，理解所考慮應(yīng)用的要求對于選擇合適的環(huán)路帶寬至關(guān)重要。寬帶環(huán)路可能在需要快速響應(yīng)的應(yīng)用中更受歡迎，例如電機(jī)或其他機(jī)械系統(tǒng)的控制。相反，窄帶環(huán)路可能在穩(wěn)定性更重要的應(yīng)用中表現(xiàn)最佳，例如化學(xué)過程的控制或其他具有長時(shí)間延遲的系統(tǒng)。

結(jié)論

由于能夠在不詳細(xì)了解其動(dòng)態(tài)的情況下，準(zhǔn)確快速地調(diào)整系統(tǒng)的輸出，PID 控制回路已成為在各種應(yīng)用中保持輸出穩(wěn)定性和可預(yù)測性的強(qiáng)大且廣泛使用的工具。在本文中，我們回顧了這些控制系統(tǒng)的基本原理和特性，并對其功能、參數(shù)整定策略、優(yōu)勢和權(quán)衡進(jìn)行了深入探討。

蘇黎世儀器的鎖相放大器憑借其集成于一體的架構(gòu)，允許用戶充分利用數(shù)字 PID 控制回路的所有優(yōu)勢，從而可以調(diào)整控制回路的操作，以滿足不同用例的需求。

參考文獻(xiàn)

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