導語

一個簡單的方程，能夠容納宇宙的復雜嗎？那些需要超級計算機日夜運算的解析解，會不會在更高的維度里不過是某種一目了然的幾何圖形？當我們追蹤非線性動力系統(tǒng)在時間中的演化軌跡，看到的是混沌、分岔和永不重復。但如果轉換視角呢？當我們從時間序列走向相圖，從一維數(shù)據(jù)步入二維狀態(tài)空間，原本不可捉摸的混沌竟顯露出優(yōu)雅的幾何結構——那些看似隨機的波動，在相圖中劃出拋物線的弧度；而吸引子則在蛛網(wǎng)圖中呈現(xiàn)分形的圖案。更令人驚奇的是，同樣的數(shù)據(jù)，混沌系統(tǒng)呈現(xiàn)規(guī)則的拋物線結構，而純隨機過程只剩下雜亂無章的噪聲——可視化瞬間揭示了確定性與隨機性的本質差別。

本文以Logistic映射為例，借助時間序列圖、相圖、分岔圖和蛛網(wǎng)圖等可視化工具，帶您領略非線性動力系統(tǒng)從混沌到秩序、從不可預測到清晰可辨的奇妙轉變。

關鍵詞：非線性動力學，吸引子，混沌，分形，自相似，相圖，蛛網(wǎng)圖

陶如意丨作者

周莉丨審校

論文題目：Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction 論文地址：https://www.mdpi.com/2079-8954/4/4/37

在當代科學研究中，非線性動力系統(tǒng)無處不在，卻又因復雜的行為模式難以解析。從滴水的水龍頭到城市的發(fā)展變遷，從心率的波動到經(jīng)濟市場的起伏，這些看似毫無關聯(lián)的現(xiàn)象，背后都隱藏著非線性動力系統(tǒng)的規(guī)律。混沌理論作為非線性動力系統(tǒng)研究的核心分支，打破了 “簡單系統(tǒng)必可預測” 的固有認知。然而，由于非線性方程組解析求解的巨大難度，長期以來，科學界在該領域的研究進展緩慢。本文以logistic映射為核心模型，借助可視化方法，為跨學科研究者打開了理解非線性動力系統(tǒng)的大門，同時推出開源 Python 工具包 Pynamical，為相關研究提供了實用工具。本文的主要貢獻體現(xiàn)在三個方面：

第一，梳理并向跨學科的系統(tǒng)研究學者傳播用于非線性動力系統(tǒng)行為定性分析的先進可視化技術；

第二，借助可視化介紹非線性動力學、混沌、分形、自相似性及預測局限性的基礎理論；

第三，推出開源 Python包Pynamical，簡化非線性動力系統(tǒng)的可視化與探索。

以Logistic為例——非線性動力系統(tǒng)的基本概念

logistic是一個常見的 S 型邏輯函數(shù)，用于描述種群增長過程：種群先緩慢增長，隨后快速增長，最終因達到環(huán)境承載能力而趨于穩(wěn)定 。邏輯映射采用差分方程，研究離散的時間步長。其公式為：

xt+1 = rxt(1-xt)

其中x表示某一時間t的種群數(shù)量，r表示種群數(shù)量生長率。因此，任意時刻的種群數(shù)量是增長率參數(shù)和前一時間步種群數(shù)量的函數(shù)。若生長率過低，種群將逐漸滅絕；生長率較高時，種群可能趨于一個穩(wěn)定值，或在一系列種群繁榮與衰退的狀態(tài)間波動。

邏輯映射是一個簡單的一維離散方程，但卻表現(xiàn)出了典型的復雜性為。種群數(shù)量的演化會隨著生長率的不同而發(fā)生變化。圖1是由 Pynamical 生成的時間序列圖，橫軸表示時間（世代），縱軸表示系統(tǒng)狀態(tài)（種群數(shù)量），展示了種群數(shù)量隨著生長率的變化而展現(xiàn)出的不同行為：例如，代表生長率r=0.5的紫色曲線迅速降至 0，表明種群滅絕；代表生長率r=2的青色曲線穩(wěn)定在 0.5 的種群數(shù)量水平。生長率r=3和r=3.5的情況更為有趣：r=3的綠色曲線似乎緩慢趨近于一個穩(wěn)定值，而r=3.5的黃色曲線則在四個不同值之間反復波動。

圖1. logistic隱射時間序列圖，不同的7個參數(shù)條件下的20次迭代。

這可以引出吸引子的概念。吸引子是系統(tǒng)隨時間推移最終趨于的某個值或一組值。當r=0.5時，系統(tǒng)存在一個固定點吸引子（種群數(shù)量為 0），如紫色曲線所示。也就是說，隨著模型迭代，種群數(shù)量會逐漸趨向于 0 這一穩(wěn)定平衡狀態(tài) —— logistic方程將固定點吸引子的值映射到其自身。當r=3.5時，系統(tǒng)在四個值之間波動，如黃色曲線所示，這種振蕩的吸引子被稱為極限環(huán)。

然而，當參數(shù)r超過 3.57 時，混沌現(xiàn)象開始出現(xiàn)，具體表現(xiàn)為種群數(shù)量無限振蕩，既不重復先前的行為，也不趨于穩(wěn)定狀態(tài)。這種奇怪的狀態(tài)被稱為奇異吸引子（strange attractor），系統(tǒng)會圍繞奇異吸引子無限振蕩。奇異吸引子不會產(chǎn)生重復值，且其結構具有分形特征 —— 無論放大多少倍，在任何尺度下都能觀察到相同的模式——這一點我們將在下一部分再詳細展開。

分岔圖：分形與奇異吸引子

分岔圖是一個展示混沌現(xiàn)象更好的方式，分岔圖能將系統(tǒng)的吸引子可視化為參數(shù)的函數(shù)。圖2就展示了logistic映射吸引子如何隨著生長率r變化。從圖 2 中可以觀察到：當生長率小于 1 時，系統(tǒng)最終總會趨于 0（種群滅絕）；當生長率在 1 到 3 之間時，系統(tǒng)總會趨于一個精確的穩(wěn)定種群值。例如，在生長率r=2.5對應的垂直切片上，僅呈現(xiàn)一個種群值（0.6），這與圖 1 中r=2.5對應的曲線最終穩(wěn)定的數(shù)值完全一致 —— 在該參數(shù)值下，系統(tǒng)的吸引子是population= 0.6處的固定點。然而，對于某些生長率（如 r=3.9），圖 2 中的切片呈現(xiàn)出 100 個不同的值，即每個迭代的種群值都不同，此時系統(tǒng)既不趨于固定點，也不趨于極限環(huán)。

圖2. 100次迭代的Logistic映射的分岔圖。圖中展示了參數(shù)值在0到4之間的1000個不同的參數(shù)值。每個生長率對應的縱坐標描述了該生長率下系統(tǒng)的吸引子

這之所以被稱為分岔圖，是因為這在生長率變化的過程中，吸引子數(shù)量增多，且是連續(xù)地發(fā)生變化，就表現(xiàn)為一個吸引子“分岔”成了兩個。其實，這對應著動力系統(tǒng)系統(tǒng)的相變——從一種行為（如固定點吸引子）轉變?yōu)樾再|完全不同的另一種行為（如周期 2 的極限環(huán)吸引子），當生長率超過 3.57 時，分岔頻率不斷加快，最終系統(tǒng)能夠遍歷所有可能的種群值，這一過程被稱為 “周期倍分岔通向混沌”。隨著增長率參數(shù)的增大，Logistic映射會依次在 2 個、4 個、8 個、16 個、32 個……（直至無限多個）種群值之間波動。當生長率達到 3.99 時，分岔次數(shù)已多到系統(tǒng)會在所有種群值之間隨機跳躍 —— 這里的 “隨機” 只是表面現(xiàn)象，實際上該模型遵循嚴格的確定性規(guī)則，只是由于吸引子的周期無限長，才表現(xiàn)出隨機性。這就是混沌：具有確定性，且無周期性。

混沌和分形之間存在深刻的聯(lián)系。奇異吸引子就具有分形結構。分形是具有自相似性的圖形 —— 在任何尺度下觀察，都能發(fā)現(xiàn)與整體相似的局部結構。放大分形圖像，會看到更小的 “復制品”，其結構與宏觀整體一致。如果我們將圖2放大，會發(fā)現(xiàn)放大后的圖像和放大前的結構驚人地一致。事實上，無論將該可視化結果放大多少倍，在越來越精細的尺度上，我們始終能看到相同的結構和模式，如圖3所示。所以，Logistic映射的分岔圖（及其吸引子）具有分形特征。實際上，這一結論可以推廣至所有的混沌系統(tǒng)。混沌系統(tǒng)的奇異吸引子往往都具有分形特征。

圖3. 對圖2不同程度的放大

相圖：狀態(tài)空間

另一種可視化非線性時間序列的方法是相圖。簡單來說，相圖以t時刻的系統(tǒng)值為橫軸，以t+1時刻的系統(tǒng)值為縱軸，為我們觀察系統(tǒng)的定性行為提供了直觀視角。相圖的巧妙之處在于，它能將Logistic映射的一維時間序列數(shù)據(jù)嵌入到二維狀態(tài)空間中 —— 狀態(tài)空間是一個"假想"的空間，以系統(tǒng)變量為維度。狀態(tài)空間中的每個點代表系統(tǒng)的一個狀態(tài)（即一組變量值）。傳統(tǒng)的系統(tǒng)分析往往側重于如圖 1 所示的時間序列可視化，而非線性動力學則更關注狀態(tài)空間的可視化。盡管現(xiàn)實世界中的系統(tǒng)很少能被完全觀測，但通過恰當重構的狀態(tài)空間，仍能呈現(xiàn)系統(tǒng)完整的真實動力學行為。

logistic映射穩(wěn)定運行后的相圖如4所示，橫坐標是t時刻的種群數(shù)量，縱坐標是t+1時刻的種群數(shù)量。圖4從A到D分別展示了固定吸引子（狀態(tài)空間僅一個點）、四周期極限環(huán)（狀態(tài)空間四個點）、8個周期極限環(huán)（狀態(tài)空間8個點），以及隨著生長率提高，吸引子迅速增多的現(xiàn)象。

圖4. Logistic200次迭代的相圖，四個子圖代表不同的生長率

隨著生長率的進一步增大，我們可以逐漸清晰地到混沌系統(tǒng)的結構特征。表現(xiàn)出混沌行為的生長率對應的曲線呈拋物線狀，但曲線中存在一些間隙 —— 這些間隙對應系統(tǒng)偶爾回歸周期行為的情況。從相圖中我們也可以看到奇異吸引子的存在：系統(tǒng)雖受到某種奇特的約束，但不再趨于固定點或極限環(huán)，而是在不同種群值（即拋物線上的點）之間無限波動，且從不重復任何一個值。無法預測任意兩個連續(xù)觀測值在拋物線上是靠近還是遠離。此外，由于分形幾何特征和Logistic映射的確定性，圖 5B 中的拋物線永不重疊。

圖5. 圖A展示了生長率r=3.9時系統(tǒng)的吸引子；圖B則可視化了 3.6 到 4 之間（混沌區(qū)域）的 50 個增長率參數(shù)值，每個值對應一條彩色曲線。

相比于狀態(tài)演化圖，使用相圖可以非常清晰地看出混沌系統(tǒng)的結構。以圖6左圖中的兩條時間序列為例：兩條曲線看似都在隨機波動，但紅色曲線代表隨機數(shù)據(jù)，藍色曲線則來自生長率r=3.99時的Logistic模型 —— 這是確定性混沌，但從時間序列軌跡中很難與隨機性區(qū)分。而在圖6的右圖中，我們用相圖而非時間序列圖來可視化這兩組數(shù)據(jù)，就能清晰觀察到系統(tǒng)的定性行為：混沌系統(tǒng)受奇異吸引子約束，呈現(xiàn)出規(guī)則結構；而隨機數(shù)據(jù)則僅表現(xiàn)為雜亂的 “噪聲”，無任何規(guī)律可言。

圖6. 混沌動力學和隨機動力學的區(qū)別

1蛛網(wǎng)圖：吸引域、李雅普諾夫指數(shù)與初值敏感

蛛網(wǎng)圖是一種特別適合揭示一維映射定性行為的可視化技術，可用于分析這類系統(tǒng)在遞歸迭代下的長期演化。

圖 7 中由 Pynamical 生成的蛛網(wǎng)圖包含三條線：灰色的對角線（代表y=x）、紅色的曲線（代表特定參數(shù)值下的Logistic映射y=f(x)）和藍色的蛛網(wǎng)軌跡線。蛛網(wǎng)圖的繪制步驟如下：

1. 在橫軸上找到初始種群值對應的點(x,0)（本文中初始值均為 0.5），從該點垂直向上連接到紅色的映射曲線，得到新點(x, f(x))；

2. 從該新點水平連接到灰色的對角線，得到點(f(x), f(x))；

3. 從該點垂直連接到紅色的映射曲線，得到點(f(x), f(f(x)))；

4. 重復步驟 2 和步驟 3，進行遞歸迭代。圖 7 中的蛛網(wǎng)圖均迭代了 100 次。

圖 7A 和圖 7B 中的蛛網(wǎng)圖顯示，系統(tǒng)分別趨于 0 和 0.65 處的固定點吸引子；圖 8C（生長率r=3.5）中，系統(tǒng)在極限環(huán)吸引子的四個點之間波動，蛛網(wǎng)圖呈現(xiàn)出矩形閉合回路，回路與紅色曲線的交點，與圖 4B 中吸引子的點完全一致（這兩個圖的參數(shù)r都是3.5）；最后，圖 7D 可視化了增長率r=3.9（混沌區(qū)域）時系統(tǒng)的行為 —— 混沌軌道在圖中布滿矩形，形成無限多條不重復的軌跡，構成整個圖中的分形蛛網(wǎng)結構。

圖7. logistic映射的蛛網(wǎng)圖。四個子圖對應著四個不同的生長率。

蛛網(wǎng)圖可以直接用來觀察吸引域——即系統(tǒng)動力學行為會將該區(qū)域內(nèi)的所有點逐漸拉向吸引子。圖 8 顯示，當生長率r=2.7時，Logistc映射的吸引域將三個不同的初始種群值（0.1、0.5、0.9）都拉向同一個固定點吸引子。由于吸引域內(nèi)存在多個可能的初始點，系統(tǒng)的初始狀態(tài)最終會變得無法追溯 —— 我們無法確定系統(tǒng)最初是從吸引域內(nèi)的哪個點開始演化的。

圖8. 相同的生長率，不同的初始值。在參數(shù)r=2.7的條件下收斂于固定值。

與之相反，混沌系統(tǒng)的特征是對初始條件的敏感依賴性。其奇異吸引子具有全局穩(wěn)定性和局部不穩(wěn)定性：雖然存在吸引域，但在奇異吸引子內(nèi)部，初始時無限接近的點會隨時間推移逐漸發(fā)散，且始終不會脫離吸引子的范圍。這種發(fā)散程度可通過李雅普諾夫指數(shù)來衡量，其計算方法由沃爾夫等人提出：若李雅普諾夫指數(shù)為正值，兩點會隨時間呈指數(shù)級遠離；若為負值，兩點會呈指數(shù)級趨近（如趨于固定點或極限環(huán)）；當系統(tǒng)發(fā)生分岔時，李雅普諾夫指數(shù)為 0。正的李雅普諾夫指數(shù)是混沌系統(tǒng)的典型特征，表明系統(tǒng)對初始條件具有高度敏感依賴性。

這種相似值的非線性發(fā)散特性，使得現(xiàn)實世界中的建模和預測變得困難 —— 要準確預測，必須以無限高的精度測量參數(shù)和系統(tǒng)狀態(tài)；否則，測量或舍入過程中產(chǎn)生的微小誤差會隨時間不斷累積，最終導致系統(tǒng)行為與預測結果大幅偏離。而在現(xiàn)實世界中，無限精度的測量是不可能實現(xiàn)的。洛倫茲正是因為一次舍入誤差，偶然發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象。這種現(xiàn)象就是著名的 “蝴蝶效應”：一只蝴蝶在中國扇動翅膀，可能會在德克薩斯州引發(fā)龍卷風。微小事件會通過累積效應，不可逆轉地改變宇宙的未來。

小結

對于有學術背景的跨學科學者而言，這篇文章不僅提供了理解非線性動力系統(tǒng)的理論框架和方法工具，還為各學科領域的研究開辟了新的思路。無論是生態(tài)學家研究種群動態(tài)，經(jīng)濟學家分析市場波動，還是城市規(guī)劃者預測城市發(fā)展，都可以借鑒文中的可視化方法和模型思想，探索本領域的非線性規(guī)律。

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