【毅言堂】綜合與實踐課怎么上？

觀2025年湖北好課堂有感

前言：綜合與實踐是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域。學(xué)生將在實際情境和真實問題中，運用數(shù)學(xué)的其他學(xué)科的知識與方法，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，感悟數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識之間、數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)和社會生活之間的聯(lián)系，積累活動經(jīng)驗，感悟思想方法，形成和發(fā)展模型意識、創(chuàng)新意識，提高解決實際問題的能力，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

綜合與實踐主要包括主題活動和項目學(xué)習(xí)等，第一、第二、第三學(xué)段主要采用主題活動式學(xué)習(xí)，第三學(xué)段可適當(dāng)采用項目式學(xué)習(xí)。

目前無論是小學(xué)北師大版數(shù)學(xué)教材或人教版數(shù)學(xué)教材，對于綜合與實踐領(lǐng)域都比舊版更為重視，更強調(diào)綜合性和實踐性。北師大版教材中“數(shù)學(xué)好玩”，人教版教材中不同單元后面的數(shù)學(xué)活動，都從不同角度要求我們在教學(xué)中有效完成這些綜合與實踐。

簡單對比如下表（來自deepseek整理）：

北師大版

人教版

整體風(fēng)格

開放、活潑、重體驗

嚴(yán)謹(jǐn)、扎實、重應(yīng)用

編排邏輯

以獨立的“數(shù)學(xué)好玩”板塊呈現(xiàn)，自成體系，趣味引領(lǐng)。

緊密依附于各單元知識，作為知識的綜合應(yīng)用環(huán)節(jié)。

活動形式

低年級“主題活動”，高年級“項目學(xué)習(xí)”，梯度明顯。

以“解決問題”為導(dǎo)向的探究活動為主，形式相對統(tǒng)一。

教師角色

更像引導(dǎo)者、組織者，需要放手讓學(xué)生去探索。

更像指導(dǎo)者、點撥者，沿著清晰的主線推進活動。

一、好課堂展示安排

2025年11月20-21日在湖北武漢進行的小學(xué)數(shù)學(xué)“湖北好課堂”交流展示活動中，有幸學(xué)習(xí)了9節(jié)課，聆聽了劉莉老師、方芳老師等專家的點評，收獲頗豐，感悟猶深。

課題如下表：

節(jié)次

課題

主講教師

年級

1

土圭之法

李靜瑤

四年級

2

相反意義的量

羅偲

六年級

3

探秘南水北調(diào)

余力

六年級

4

穿越古今的測量——長方體的體積

趙燕

五年級

5

我們的校園

王珍珍

四年級

6

探秘九省通衢——武漢

廖俊輝

六年級

7

旅游中的數(shù)學(xué)——推理

王璽玥

二年級

8

擲一擲

廖涵

五年級

9

藏在紙張里的數(shù)學(xué)密碼

肖潔

六年級

這9節(jié)課都非常精彩，每一位授課教師及其背后的教研團隊，都付出了艱苦的努力，展現(xiàn)出了強大的實力，每一位孩子都展現(xiàn)出了出色的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對照聽課記錄，值得不斷研究揣摩。

二、九節(jié)課學(xué)習(xí)體會

0 1

第一節(jié)《土圭之法》

在2022版新課標(biāo)第46頁內(nèi)容要求和第134頁例55《土圭之法的故事》中，我們可以詳細(xì)了解課標(biāo)給出的示例：

精彩之處：

顯然這個選題十分講究，新北師大版數(shù)學(xué)三年級上冊安排了綜合與實踐《探索年月日的秘密》，對中國古代歷法進行了初步探索，而本節(jié)課的選題則來自于2022版新課標(biāo)中主題活動1，以及例55。

整節(jié)課邏輯非常清晰，沿是什么、怎么做、為什么的主線，以《尚書·堯典》中“期三百有六旬有六日，以閏月定四時成歲”這段話導(dǎo)入，一起尋找其中與時間有關(guān)的字詞，并給予解讀，幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光去觀察古文，理解古文中的數(shù)學(xué)信息。然后讓學(xué)生提出“想知道什么”的問題，并進行整理歸納；關(guān)于土圭之法的知識，需要在教材之外尋找解釋，李老師用到了豆包工具，由學(xué)生現(xiàn)場向豆包提問，AI給出了若干文字解釋，包括圖片、視頻等，在這些信息中，提取學(xué)生容易理解和操作的部分，一個模擬土圭之法的學(xué)具，并組織學(xué)生在小組活動中操作這些學(xué)具，完成測量和記錄，并從記錄中找到規(guī)律，驗證四個節(jié)氣的劃分依據(jù)——日影長度；最后是學(xué)生總結(jié)歸納，并輔以動畫演示，解釋四季形成的原因。

整個課堂活動中學(xué)生參與度高，并且有效進行了數(shù)學(xué)活動，最終完成了實踐活動，圓滿達成教學(xué)目標(biāo)。

我的思考：

導(dǎo)入環(huán)節(jié)，將側(cè)重點調(diào)整為中國古代如何認(rèn)識一年四季，設(shè)置如下問題串：

師：同學(xué)們，你們知道我們吃的糧食什么時候播種？什么時候收獲嗎？

生：春天播種、秋天收獲；

師：那我們?nèi)绾沃来禾焓裁磿r候來，秋天什么時候來呢？

生：討論中……

從學(xué)生討論的各種結(jié)果中，肯定所有人的探索過程，找到適合本課的方法——太陽影子長度的變化。

理由是，中國古代的農(nóng)業(yè)主要看天，天上有兩個最為明顯的參照物，太陽和月亮，這也是所有文明古代的歷法中，都離不開太陽和月亮的原因，顯然白天是人類活動最密集的時間段，看太陽最為方便，所以研究它的影子，是一個重要參考。中國古代地域廣闊，植被和地貌差別極大，無法形成統(tǒng)一的認(rèn)知，而太陽很有效避免了這一問題，大家對其研究的成果可以互相交流，理解一致。

在學(xué)生討論結(jié)果中，一定會呈現(xiàn)多樣化，但每一種方法，自然有其限制，老師可適當(dāng)評價，引導(dǎo)學(xué)生得到更容易的方法，這和中國古代最終確定用日影的理由是一樣的。

由這個四季來源問題，再引到本課的測量工具上，更加自然，其實課標(biāo)上那段《尚書》，學(xué)生讀起來還是有困難的，需要老師解讀其數(shù)學(xué)意義，這個環(huán)節(jié)用時也就較長了。

在研究土圭之法的時候，為什么要用到土圭之法，即為什么要測日影長，那段文字啟發(fā)意義并不明顯，所以可以將這部分時間調(diào)整至問題串中，將實踐活動的必要性更充分體現(xiàn)出來。

學(xué)生可能遇到的另一個困惑，就是為什么四季中日影長會不同，李老師展示的地球、太陽模型很好地解釋了這一現(xiàn)象，中國古代的智慧，是建立在長期、大量的觀察基礎(chǔ)上，需要學(xué)生知道用日影長來區(qū)分四季，并不是某個人靈機一動想出來的點子，而是中國古代勞動人民集體智慧的結(jié)晶，我們在課堂上重現(xiàn)測量，只是將漫長的智慧積累過程濃縮到了一節(jié)課。

0 2

第二節(jié)《相反意義的量》

在2022版新課標(biāo)第49頁、第50頁分別是對應(yīng)的內(nèi)容要求和學(xué)業(yè)要求：

在第138頁例50中，對于如何表達具有相反意義的量，給出了樣例：

關(guān)于負(fù)數(shù)的初步認(rèn)知，北師大版教材位于四年級上冊《生活中的負(fù)數(shù)》，人教版教材位于六年級下冊《負(fù)數(shù)》，與課標(biāo)要求一致，由于正式引入負(fù)數(shù)進行數(shù)域的擴充，放在了七年級，因此小學(xué)階段對于負(fù)數(shù)，主要是理解相反意義的量，從生活情景中感受數(shù)系的擴展，進一步發(fā)展數(shù)感；每一輪數(shù)系的擴展，都會經(jīng)歷認(rèn)識數(shù)、比大小、運算、生活中的應(yīng)用等若干階段，顯然對于負(fù)數(shù)，只是起了個頭。

精彩之處：

羅老師在課的開始，展示了真實生活情景中出現(xiàn)的負(fù)數(shù)如樓層、不同方向、收入支出、上下車、氣溫等，這些學(xué)生熟知的事物中，出現(xiàn)了前面帶有“-”號的數(shù)字，引發(fā)學(xué)生對“是什么”的探索，針對為什么會出現(xiàn)這樣的數(shù)字，通過讓學(xué)生用自已的方式記錄，從文字說明到圖形說明，最后到符號說明，解決了“-”號出現(xiàn)的必要性；

通過讓學(xué)生說一說的方式，解讀這些數(shù)字所表示的實際意義，體會“相反意義”，在這個環(huán)節(jié)中，學(xué)生表達得非常清楚，本課重點得到了體現(xiàn)。而數(shù)線的引入（此時稱數(shù)軸并不嚴(yán)謹(jǐn)），則將正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的位置關(guān)系更直觀的展現(xiàn)了出來，這已經(jīng)接近七年級時對負(fù)數(shù)的認(rèn)識了；

當(dāng)然本課亮點絕不僅止于此，在生活中的情境中發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)，體會相反意義的量，羅老師的視野非常開闊，生活中一定經(jīng)常用數(shù)學(xué)眼光去觀察周邊事物，例如手機相機上的角度，色彩飽和度、音效等，這些身邊的案例具有明顯的現(xiàn)代特征，學(xué)生可以立即感受到。

在課堂上，羅老師還提出了一個好問題：“海平面高度是否會發(fā)生變化？”，學(xué)生在探究這個問題的時候表現(xiàn)出極大的興趣，其實我也很有興趣知道學(xué)生是如何認(rèn)知海平面上升之后，原有地標(biāo)的海拔高度的變化，有一個孩子說得非常接近真相，當(dāng)海平面上升后，珠穆朗瑪峰的海拔高度會減少，而吐魯番盆地的高度吞吞吐吐，似乎我聽到的結(jié)果是增加；前者比較好理解，六年級的孩子可以很直觀地發(fā)現(xiàn)，但后者則理解稍有困難，畢竟學(xué)生還沒學(xué)過負(fù)數(shù)比大小，這是七年級的課程內(nèi)容。

當(dāng)海平面上升之后，羅老師增加了新的海平面，這個圖就很有意思了：

其實有個學(xué)生發(fā)現(xiàn)的很值得肯定，就是最高峰和最低谷之間的距離是不變的，當(dāng)海平面上升之后，珠峰的海拔高度肯定是減少了，盆地到海平面的距離肯定是增加了，但海拔高度應(yīng)該是減少，而不是增加。這涉及到絕對值的意義，不展開說明。

我的思考：

關(guān)于表示正負(fù)的符號問題，我們在小學(xué)時，接觸到的“+”和“-”通常是代表運算，即這個符號兩端是寫有數(shù)字的，現(xiàn)在出現(xiàn)只在符號右側(cè)出現(xiàn)數(shù)字，左側(cè)空空如也，這是非常別扭的，其實左側(cè)并不是空的，我們完全可以用0代替，但出現(xiàn)0-2這樣的運算，超出了學(xué)生的認(rèn)知，所以只能理解為以零為界，大于零，0+2，省略零之后記為+2，小于零，0-2，省略零之后記為-2；

這直接導(dǎo)致后面有一個生活情境不好理解，那就是樓層，眾所周知，現(xiàn)實中并不存在0樓，1樓開始，往上是2樓，往下是-1樓，也有的地方標(biāo)為B1樓，這需要解釋清楚，符合數(shù)學(xué)的理解是，1樓作為0，往上一層樓是2樓，記為+1，往下一層樓是-1樓（B1），記為-1，是不是和實際生活有出入？數(shù)學(xué)來源于生活，但生活中的數(shù)字是否就是字面意義，未必；

關(guān)于零，有必要多說一點，它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，這一點課堂上說是對的，也就是說，你把誰作為分界線，誰就是零，例如在誤差表示時，100克為標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，那么它就代表零，+5代表100+5，而-5代表100-5；這就相當(dāng)于把分界線從0變成了100，于是原來的+5和-5實際上是105和95；這與課堂上海平面升高的含義是一致的，至此這個例子算是畫上一個圓滿的句號了。

0 3

第三節(jié)《探秘南水北調(diào)》

在2022版新課標(biāo)第50頁、51頁《水是生命之源》內(nèi)容要求和學(xué)業(yè)要求如下：

在第142頁例63中，給出了相應(yīng)的樣例說明：

這里包含的內(nèi)容遠不止一個南水北調(diào)，事實上這也是建議之一，可挖掘的內(nèi)容相當(dāng)豐富，關(guān)鍵在于老師能否用數(shù)學(xué)眼光去審視，因此選材南水北調(diào)工程，這節(jié)課主要研究三個問題：路線、水量、受益。

精彩之處：

這三個問題并不是由老師拋給學(xué)生，而是在課堂上通過讓學(xué)生自已說一說，想知道什么，再由老師進行提煉，學(xué)生前期的準(zhǔn)備工作還是相當(dāng)充分的，在通過各種信息渠道了解到南水北調(diào)相關(guān)常識后，課堂上的提問相對就會精準(zhǔn)許多，體現(xiàn)了課前的引導(dǎo)非常到位，學(xué)生對為什么要進行南水北調(diào)這樣的超級工程理解很深刻。

在研究第一個問題中，通過讓學(xué)生在地圖上用合適的測量工具來測量圖上路線長，再根據(jù)比例尺計算路線的實際長度，學(xué)生多數(shù)選擇了繩子和刻度尺，在第1個學(xué)生小組上臺匯報的時候，第二個男生專門強調(diào)了測量時，要按住繩子，讓繩子與路線完全重合，同時這一組也出現(xiàn)了極容易被忽略的問題，南水北調(diào)從丹江口出發(fā)，終點處有分岔，北京和天津，他們只測量了到北京的那段路線，沒有測量天津，后來有個女孩補充得很好，天津也是南水北調(diào)工程中的一部分，必須加上；在各小組測量結(jié)果中，出現(xiàn)不一樣是很正常的，學(xué)生也能理解。圓滿完成了怎樣測量

在研究第二個問題時，700億立方米的水，學(xué)生不容易感受到，所以選擇讓學(xué)生用身邊熟知的事物，這個班的孩子都是武漢的，所以第一個男生說用東湖(還有其它組用湯遜湖)，很貼切，第二個女生說用長江，第三個男生說用西湖，其實這個地方只要是能夠直觀感受到水量的巨大就可以。這個問題是借助豆包AI來完成的，結(jié)果通過彈幕分享到大屏幕上，學(xué)生興趣比較高。

第三個問題則是實實在在需要學(xué)生閱讀并計算，類似于應(yīng)用題，從現(xiàn)場學(xué)生表現(xiàn)來看，速度很快、準(zhǔn)確度很高。

像這種給材料分析的活動，一方面培養(yǎng)了學(xué)生從文字信息中讀取數(shù)學(xué)信息的能力，另一方面也幫助學(xué)生運用已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識去解決問題，素養(yǎng)導(dǎo)向明確。

關(guān)于調(diào)水分配方案的設(shè)計，非常妙，一方面是扇形統(tǒng)計圖的運用，另一方面是讓學(xué)生參與決策，依靠數(shù)據(jù)進行決策。

我的思考：

當(dāng)學(xué)生在用細(xì)繩將地圖上的路線“化曲為直”的過程中，主要是體驗這種轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，但在實際操作中，印在紙上的路線更多是用刻度尺一段段量出來，這其實也沒問題，從數(shù)學(xué)意義上講，曲線分割下去，可近似認(rèn)為由很多小線段構(gòu)成，部分小組的學(xué)生用刻度尺一小段一小段地測量，精度和用繩子拉直后測量，相差并不大。

學(xué)生在調(diào)水分配方案中有各自不同的想法，是很正常的，只要合理，都值得肯定，事實上南水北調(diào)有益之處并非只有對北方的民生、農(nóng)業(yè)、生態(tài)等有影響，對于南方也有益，多余的水被北調(diào)了，那么發(fā)生洪澇災(zāi)害的可能會減少一點，同時運河的存在，也讓南北交通更便利，對雙方都有益。

0 4

第四節(jié)《穿越古今的測量——長方體的體積》

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊教材中，有專門的討論活動，怎樣計算長方體的體積？

長方體的體積計算公式是長×寬×高，如何讓學(xué)生在探究活動中理解這一公式的來源，用學(xué)生能理解的方式推導(dǎo)出這個公式，是本節(jié)課的重要任務(wù)。學(xué)生在前面的課時中已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么是體積，以及體積單位，按認(rèn)知規(guī)律，將用前面學(xué)過的體積單位來“測量”長方體的體積，知道一個長方體的體積由多少個體積單位組成，如何組成，對于真正理解公式的幾何意義有極大幫助。

精彩之處：

這節(jié)課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)就十分吸引人，粟米層積法。

在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》“商功”章中，記載了一種計算長方體糧倉容積的方法，其原理是：利用標(biāo)準(zhǔn)容器“斗”或“斛”為基本單位，將一定單位數(shù)量的粟米運入糧倉平鋪，記錄下這一層粟米的厚度，再通過觀察糧倉中粟米的高度有多少層，從而計算出這個糧倉的容積。

這是非常奇妙的體積計算方法，成功將體積計算變成了高度測量，這種層積法再往后發(fā)展，便是大名鼎鼎的祖暅原理“冪勢既同，則積不容異”，意思是截面面積相等的立體體積相同，通過分層（切片）解決不規(guī)則立體體積的問題。

趙老師通過一段AI視頻解讀了這一古代求長方體體積的方法，并將視頻中的透明長方體盒子也拿到了現(xiàn)場，完成了從虛擬到真實的轉(zhuǎn)場。然而這節(jié)課并不是要重復(fù)這個方法，而是基于該法的升級，用單位體積來表示長方體體積，因此這一段轉(zhuǎn)進是趙老師示范講解的，通過講解，也介紹了即將登場的各種道具，為后面的活動進行了很好的鋪墊。

通過這個轉(zhuǎn)場，從導(dǎo)入情境中的古代問題，變成了現(xiàn)實課堂中的小立方塊和長方體箱子的問題，十分精彩，十分順滑。

方法也提煉了出來，求一個物體的體積，就是求這個物體包含多少個體積單位。

第一組學(xué)生很快擺滿了這個箱子，隨后趙老師提出了一個好問題“不擺滿箱子也能算出體積嗎？”這個問題其實也是來源于古代的實際問題，哪有那么多標(biāo)準(zhǔn)容器？這就把如何用單位體積去測量長方體體積的方法的必要性展現(xiàn)了出來。

四個學(xué)生回應(yīng)了猜想，分別有三種：7個，一半（12個），5個；然后各小組抽簽決定用多少個小立方體去擺滿箱子，簽上的數(shù)字分別是1，7，13，即分別用1個，7個，13個小立方體去測量長方體箱子的體積。這個活動是本節(jié)課的重點部分，讓學(xué)生動手操作，去實際感受體積單位如何“湊”成一個長方體。

在展示環(huán)節(jié)，學(xué)生表達非常清晰，每一層的數(shù)量乘以層數(shù)，就是總數(shù)，而每一層的數(shù)量是長乘以寬的結(jié)果，這幾乎就是體積計算公式了。

學(xué)生展示用7個立方體表示長方體的體積，也就是表示出了長方體的三條棱，如下圖：

于是接下來用1個立方體也能擺，只不過需要移動一下，設(shè)計用1個立方體擺的目的是幫助學(xué)生理解體積單位概念，然后順理成章將測量工具進化成刻度尺，如下圖：

當(dāng)我們將長×寬換成底面積，則得到了長方體的另一個體積計算公式，底面積×高，整節(jié)課思路非常清晰，板書漂亮，如下圖：

我的思考：

在第一個活動中，學(xué)生用多少個小立方體可以測量長方體箱子的體積，不妨再放開一點，在前面四個學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生任意選取需要用到的小立方體，時間再給多一點，充分體驗“最簡”，后面有學(xué)生解讀如何用5個小立方體來測量，其實和用1個的思路是一樣的，雖然這節(jié)課設(shè)計的時候給出了1，7，13這三種情況是學(xué)生最容易想到的，但沒有必要限制數(shù)量。

從數(shù)小立方體個數(shù)到用刻度尺測量長、寬、高，這中間存在一個過渡，趙老師已經(jīng)處理得很好，不再贅述，這里只是就長方體體積公式拓展一下：在學(xué)生前半節(jié)課已經(jīng)熟練掌握用小立方體測量長方體體積后，他們已經(jīng)知道了用體積單位來測量體積，在學(xué)生回答還可以用刻度尺測量之后，這個性質(zhì)就完全變了，我們知道刻度尺測量出來的是長度，而不是剛才學(xué)生們數(shù)的立方體個數(shù)，長度×長度結(jié)果是面積，而個數(shù)×個數(shù)得到的是總數(shù)，因此這節(jié)課的理解難點就在這里，從數(shù)學(xué)意義上理解，當(dāng)每個小立方體的棱長縮小成刻度尺上的一個長度單位之后，最底層的小立方體會變得很“薄”，近似于平面，而多個平面疊加起來，就是我們的長方體，小學(xué)生并沒有接觸過無窮小概念，所以這個學(xué)段，我們只能是感受。

為什么在學(xué)習(xí)了長×寬×高之后，還要再推導(dǎo)出底面積×高？恐怕這是學(xué)生很容易產(chǎn)生的疑惑，這其實涉及到長方體的分類，它屬于柱體，只要每個截面面積相同，那么這一類柱體都可以用其截面積乘以高，另外，對于長方體而言，底面是相對的，任意兩條相鄰的棱所在的平面，都可以作為底面，而幫助學(xué)生理解這一點，只需要將長方體換個擺法。

0 5

第五節(jié)《我們的校園》

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊的綜合與實踐活動

總共有兩個校園中的問題，本節(jié)課選擇的是第一個問題，鋪草皮。

學(xué)生在三年級已經(jīng)學(xué)過了面積計算和搭配，因此在這個綜合與實踐活動中，主要運用這兩個章節(jié)的內(nèi)容來解決實際問題，對應(yīng)的核心素養(yǎng)維度分別是數(shù)感與運算能力、量感與空間觀念、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識、推理意識和數(shù)據(jù)意識、模型意識。

精彩之處：

王老師很巧妙地將書本中的問題變成了現(xiàn)實中的問題，并創(chuàng)新性地將標(biāo)書這一事物呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓所有學(xué)生的參與感得到有效激發(fā)。

在第一個活動中，讓學(xué)生自主設(shè)計兩塊空地鋪設(shè)不同草皮，再計算所需要總費用這就涉及到如何分配的問題，每塊空地鋪一種草皮，現(xiàn)有兩塊地、三種草皮，將這個實際問題用數(shù)學(xué)眼光觀察，就是分配（列舉法），課堂上用“如何寫最簡單”將它數(shù)學(xué)化，分別用字母表示這三種草皮，而為更直觀表示結(jié)果，將它們表格化，學(xué)生在面對表格中的數(shù)字時，所需要思考的維度是不一樣的，通常情況下，算式中的數(shù)字，我們只需要考慮它進行的什么運算，表示什么實際意義，而在表格中，一個數(shù)字除了左右相鄰，還有上下相鄰（行與列）的關(guān)系，對學(xué)生要求較高，特別是在計算不同空地鋪不同草皮時，從表格中找到相應(yīng)的數(shù)字，是難點之一。

第二個活動屬于開放性活動，學(xué)生可自由發(fā)揮，根據(jù)前面引導(dǎo)視頻中的草地樣式，學(xué)生不限于同一空地只用一種草皮，而是可以混搭，并且課堂上還給出了一個自動計算面積的程序，將設(shè)計過程中需要的計算自動處理，讓學(xué)生專注于設(shè)計圖案。實際在課堂上，學(xué)生的想法多種多樣，并且很有實際意義，有些設(shè)計真的可以用于現(xiàn)實。

我的思考：

用表格來容納數(shù)字對小學(xué)生來講一直很不容易，因為表格是二維的，每個單元格分屬不同的行與列，而行與列則是表格中數(shù)字的一類信息，以本課表格為例，每個數(shù)字包含的信息有草皮名稱，價格，因此這三個數(shù)字所在單元格，行指草皮信息，列指價格，學(xué)生在讀取表格中的數(shù)字信息的時候，必須同時關(guān)注這兩條；反之，未來在學(xué)生需要用表格表示數(shù)字信息的時候，要學(xué)會將數(shù)字信息分成兩類，根據(jù)這兩類來列表，這個難度更高。

在學(xué)生討論總共有多少種鋪草皮的方案時，全鋪同一種的有AA，BB，CC，這比較容易解釋，但鋪不同類草皮時，學(xué)生對于AB，BA是同一類的理解，有點勉強，畢竟在圖示上，這兩塊空地位置是不一樣的，因此，需要說明，當(dāng)我們在計算總費用的時候，兩塊空地的位置信息不重要，而在后面進行草地圖案設(shè)計的時候，這個位置信息就不能忽略了，例如有孩子在草地上設(shè)計文字，“天天向上”和“向上天天”顯然不同。這同時也是在告訴我們，用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界，是帶著目的去觀察的，學(xué)生在需要解決問題的前提下，用數(shù)學(xué)眼光去觀察，那觀察出來的結(jié)果必須與問題相關(guān)，不盲目。

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第六節(jié)《探秘九省通衢——武漢》

本課是六年級綜合與實踐，內(nèi)容自創(chuàng)，通過巧妙的設(shè)計，將比例尺、統(tǒng)計圖、速度等數(shù)學(xué)知識，與地理、經(jīng)濟等多學(xué)科融合，教學(xué)設(shè)計非常新穎，并在課堂上引入與AI大模型對話，調(diào)整提示詞從而得到預(yù)期回答。

精彩之處：

第一個活動是探秘水陸空交通網(wǎng)，通過一張車票展開，特別是省內(nèi)非武漢地區(qū)的人們，外出乘坐交通工具，基本繞不開武漢中轉(zhuǎn)或途經(jīng)武漢，這完美解釋了“九省通衢”的含義，通過武漢臨近的幾座大城市到武漢的距離，在數(shù)學(xué)意義上解讀了它“中心”的含義。

第二個活動是“千公里經(jīng)濟圈”，結(jié)合前面的數(shù)據(jù)，加上經(jīng)濟數(shù)據(jù)，呈現(xiàn)了武漢的這個經(jīng)濟圈中了樞紐地位，順便引出“長江經(jīng)濟帶”的概念，從經(jīng)濟角度來看武漢的地位。在這個活動中，學(xué)生通過向AI提問，獲取武漢經(jīng)濟地位相關(guān)的信息，并從這些信息中提取自已需要的內(nèi)容，用自已的數(shù)學(xué)知識去理解，用數(shù)學(xué)的方式展現(xiàn)，例如統(tǒng)計圖。

學(xué)生在這個活動中，直接與AI對話，并審視AI給出的回答，判斷是否有益于自已思考的問題，并不是盲目聽從AI給出的結(jié)果，這對于我們未來在課堂上科學(xué)運用AI給出了很好的案例，值得進一步思考。

我的思考：

導(dǎo)入環(huán)節(jié)已經(jīng)很優(yōu)秀了，不妨在此基礎(chǔ)上將問題拋給學(xué)生，如果你從省內(nèi)某個其它城市出發(fā)，例如黃石，前往外省某個城市，車票怎么買？可以現(xiàn)場打開12306來呈現(xiàn)，若直達，則途經(jīng)城市中有沒有武漢，若中轉(zhuǎn)，是不是在武漢中轉(zhuǎn)，通過這個設(shè)計，讓學(xué)生更直接認(rèn)識到武漢“九省通衢”的地理意義；

另一方面，“九省通衢”中的數(shù)字“九”真的是是指九個省嗎？這也可以作為跨學(xué)科知識進行解讀。

活動一中，主要是通過水陸空交通網(wǎng)來體現(xiàn)武漢的“中心”地位，除了在地圖上測量，通過比例尺計算外，其實還有多種方式，例如在初中學(xué)段，將整個中國地圖，看作一個不規(guī)則圖形，它的中心在哪里？如何用一個半徑最小的圓，將整個中國地圖完全覆蓋，圓心在哪？

第二個活動是通過AI問答，了解武漢的經(jīng)濟地位，現(xiàn)場老師們耳目一新，引發(fā)了熱烈的討論，那就是關(guān)于AI回答這種形式，究竟是不是數(shù)學(xué)課？劉莉老師進行了專業(yè)解讀，肯定了這種形式的AI運用，并且鼓勵老師們進行更深入的思考和實踐，我們的數(shù)學(xué)課堂上，怎樣用AI才能促進學(xué)生核心素養(yǎng)的提升？

到目前為止，我們絕大多數(shù)AI的應(yīng)用，都集中在搜索信息，這是搜索引擎時代的習(xí)慣，AI的作用絕不僅僅作為搜索引擎，它可以模仿人的某些操作，還會進行判斷，它的“經(jīng)驗”來自于背后海量的數(shù)據(jù)、大模型，因此在這節(jié)課上，學(xué)生向AI提問之后，AI給出的結(jié)果是基于成年人的理解層面，它并不知道小學(xué)六年級的孩子具備什么樣的知識儲備，也不明白這個班的學(xué)生的成長經(jīng)歷，因此無法給出最適合孩子們理解的內(nèi)容，所以能看出孩子們在看到結(jié)果之后，臉上的一點茫然。

AI給出的結(jié)果不經(jīng)加工直接給學(xué)生，是欠妥的，這也是課堂上依然需要老師的必要性，因此在小學(xué)階段，對于AI在課堂上的使用是很謹(jǐn)慎的，畢竟我們都知道它喜歡“一本正經(jīng)胡說八道”，但作為老師備課、教研卻是利器。

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第七節(jié)《旅游中的數(shù)學(xué)——推理》

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級下冊綜合與實踐

本課對教材內(nèi)容進行了改編，用家人出游問題代替教材上的拿書問題，并在后續(xù)安排了活動二，包含教材上的汪汪調(diào)色盤、座位選選看、鞋子對對碰，用排除法、列表法、連線法教學(xué)生初步的數(shù)學(xué)推理，讓學(xué)生從已知信息出發(fā)，分析條件間的關(guān)聯(lián)，養(yǎng)成有序思考的習(xí)慣，限于二年級學(xué)生的認(rèn)知水平，主要是從兩個元素到三個元素的推理。

精彩之處：

導(dǎo)入環(huán)節(jié)貼近生活，以早餐吃什么的二選一推理，拉近與學(xué)生的距離，這一類基礎(chǔ)推理，學(xué)生面對兩個選擇A和B，條件肯定A或否定B，則選A；讀懂條件中表示肯定和否定的語句，從而得到推理依據(jù)；

活動一中第一個孩子說的是對的，但寫的是錯的，后面連續(xù)發(fā)言的學(xué)生，邏輯思維非常清晰，王老師的板書將這些邏輯漂亮地記錄在黑板上；

以上同學(xué)均通過描述的方法推理出最后的結(jié)果，完成了邏輯推理的第一層；

借助學(xué)生在學(xué)習(xí)單上的生成，將描述法進一步升級成連線法；

王老師迅速抓住學(xué)生現(xiàn)場表現(xiàn)，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生回答，利用生成推進課堂節(jié)奏，很高明。

兩名學(xué)生先后上臺，用邊推理邊填表的方式，完成第三種表格法；其中每種顏色代表第幾次推理，紅色代表第一次推理“第一站去動物園”，這個條件的另外含義是第一站不去游樂園和科技館、第二站和第三站不去動物園；藍色代表第二次推理“第二站不去游樂園”，它的另外含義是第二站去科技館、第三站不去科技館；最后的黃色則是最后一步，只剩下一個選擇了，這種方法對學(xué)生來講理解難度較大，要用好并不容易。

三種方法之后，提出了一個好問題“這三種方法在推理步驟上有什么相同之處？”引導(dǎo)學(xué)生迅速找到了推理的關(guān)鍵點——有序思考。

活動二中，學(xué)生很順利地完成推理，說明在這節(jié)課上，確實掌握了推理的方法；

這兩個推理的設(shè)計非常好，座位選選看中，第一句是否定句，第二句需要比較大小后才能確定；鞋子對對碰中，第一句同樣也沒有確定，第二句才確定一處，再回過頭看第一句，確定了兩處，第三、四句都是否定句式，這樣的條件在推理中很考驗學(xué)生的邏輯能力，畢竟不是A，那可能是什么呢？這個問題比起簡單的肯定句式，對推理的要求更高一些。

我的思考：

連線法就是未來樹狀圖的雛形，不妨用樹狀圖來整理一下活動一：

這是所有可能的情況，現(xiàn)在按活動一中的條件，第一站去動物園，第二站不去游樂園，劃掉排除的分支，如下圖：

這個過程學(xué)生用描述法說得很好，用連線的方式也容易接受，表格法稍有困難，仔細(xì)聽了描述表格法的兩個孩子的回答，其實他們沒有給出老師期望的答案，不過老師很有耐心，充分鼓勵了這兩個孩子，那么老師期望什么結(jié)果呢？

動物園

游樂園

科技館

第一站

第二站

第三站

當(dāng)上圖中的√和×用藍色統(tǒng)一之后，老師本意是，通過讀條件“第一站去動物園”，學(xué)生確定了第一站的去處之后，同時還要確定第一站不去游樂園和科技館，以及第二站和第三站都不可能再去動物園，但兩個孩子始終只說了第一站去動物園，不去游樂園和科技館，因為他們心里默認(rèn)，既然第一站去了動物園，那么第二站和第三站自然不會再去動物園，這個問題其實好解決，在活動一開始之前，規(guī)則中講清楚，每一站去一處，不重復(fù)即可。

而第二個條件“第二站不去游樂園”，老師期望的結(jié)果同樣如下圖：

動物園

游樂園

科技館

第一站

第二站

第三站

第二站不去游樂園，那么剩下只有科技館可選，同時第三站一定是游樂園，最后再補上表格中最后一塊，第三站不去科技館，不同顏色區(qū)分出不同判斷步驟，這沒有問題，只是學(xué)生未必按這個思路，二年級的孩子，能夠通過二選一排除法完成初步推理，教學(xué)目標(biāo)已經(jīng)達到了。

我們再來看這兩個條件“第一站去動物園”和“第二站不去游樂園”，其實它們能推理出的結(jié)論是有重復(fù)部分的，“第一站去動物園”，可以推理出第二站和第三站都不會去動物園，以及第一站不會去游樂園和科技館；“第二站不去游樂園”，可以推理出第二站去科技館，第三站去游樂園，以及第三站不會去游樂園；也就是說，學(xué)生僅通過前一個條件可以推理出相應(yīng)的結(jié)論，也可以在前一個條件中推理出部分結(jié)論，而由第二個條件補齊剩下結(jié)論，是可以的；但從線性邏輯角度來講，盡量由一個條件推理出所有結(jié)論，不遺漏最好。

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第八節(jié)《擲一擲》

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊綜合與實踐

本節(jié)課在第4單元《可能性》最后一節(jié)，學(xué)生在前面已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了列舉法求概率，用次數(shù)估計概率等，接觸到了摸卡片、轉(zhuǎn)盤、擲立方體等游戲，對事情發(fā)生的可能性有一定了解，所以在章節(jié)最后安排這個綜合與實踐活動，旨在幫助學(xué)生運用所學(xué)知識，解決兩個骰子（色子）擲出點數(shù)的問題。

精彩之處：

在前面鋪墊一個骰子可扔出6種可能，并且每一種可能性相等之后，提出兩個骰子一起扔，總共有多少種可能，這其實埋下了伏筆，因為我們知道兩個骰子扔出的所有結(jié)果，可能性并不相等，但此時學(xué)生并不知道，這也是利用認(rèn)識誤區(qū)營造一種懸念，為后面的游戲引出做好準(zhǔn)備。

在學(xué)生認(rèn)知中，兩個骰子一起扔，總共會有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12這十一個結(jié)果，因此當(dāng)老師出示悟空和八戒一起玩游戲的時候，下意識地認(rèn)為悟空的5，6，7，8，9只有五種，而八戒有六種結(jié)果，所以八戒會贏，不過有個孩子說悟空的結(jié)果是連續(xù)的，八戒的不連續(xù)，所以悟空會贏，這個觀察角度十分特別（似乎是對的），引起爭議之后，后面再做實驗就顯得十分必要了。

收集實驗數(shù)據(jù)的方式采用了平板上的app，如下圖：

這比起傳統(tǒng)的畫“正”字，效率提高了很多，也更方便匯總?cè)鄶?shù)據(jù)，信息技術(shù)手段使用得恰到好處。

有限的實驗次數(shù)能否說明悟空一定能贏？有孩子說運氣不好，不服，那么順勢增加次數(shù)，顯然一節(jié)課時間不夠完成，因此再次引出自動投骰子的小程序，它恰好解決了傳統(tǒng)課堂時間與空間不足的問題，這也是課堂上正確使用信息技術(shù)的范例。

實驗之后，老師引導(dǎo)學(xué)生思考為什么會有這樣的結(jié)果，引出了數(shù)字組合的概念，再用加法算式來表示所有數(shù)字組合的結(jié)果，讓學(xué)生思考實驗結(jié)果的必然性。

廖老師展示的這個小組的結(jié)果很有代表性，在列舉所有可有可能算式時，加數(shù)中出現(xiàn)了超過6的數(shù)字，現(xiàn)場這個小組的孩子們立刻進行了反思，相信他們對自已的錯誤認(rèn)識足夠深刻了。

我的思考：

仔細(xì)對比了教材上的情景和本節(jié)課的情景，西游記的背景更童趣一些，但個人認(rèn)為教材上的情景更容易讓學(xué)生有參與感，老師與學(xué)生一起玩游戲，老師為什么總是贏，會激發(fā)學(xué)生更大的興趣。

課堂上廖老師敏銳地抓住了學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，并利用這個生成有效推進了課堂，經(jīng)驗十分老道，其實還有一種方法可以避免學(xué)生出現(xiàn)這種錯誤，就是表格，如下圖：

1

2

3

4

5

6

1

1+1

1+2

1+3

1+4

1+5

1+6

2

2+1

2+2

2+3

2+4

2+5

2+6

3

3+1

3+2

3+3

3+4

3+5

3+6

4

4+1

4+2

4+3

4+4

4+5

4+6

5

5+1

5+2

5+3

5+4

5+5

5+6

6

6+1

6+2

6+3

6+4

6+5

6+6

在表格中我們同樣可以用不同色塊區(qū)分兩人獲勝，效果是一樣的，當(dāng)然，本課所用方法更類似正態(tài)分布圖，統(tǒng)計圖總比表格更直觀。

0 9

第九節(jié)《藏在紙張里的數(shù)學(xué)密碼》

小學(xué)六年級學(xué)過比和比例之后，利用生活中常見的A4紙作為情景，研究它的長寬比，以及為什么選擇這樣的長寬比，引申到古代中國紙張的尺寸，從古到今，從傳統(tǒng)文化到現(xiàn)代工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，這節(jié)課的選題十分巧妙，將多個學(xué)科的知識融到了一起，同時還具備延展性，留下的問題可以在初中階段繼續(xù)研究，直到徹底弄明白。

精彩之處：

從中國古代不同朝代紙張的大小導(dǎo)入本課，厚重的歷史感一下子就上來了，直到出現(xiàn)現(xiàn)代的紙張，這是生活中經(jīng)常見到的事物，貼近學(xué)生。

肖老師擅于引導(dǎo)學(xué)生提問，通過學(xué)生發(fā)言，將他們想研究的問題一一羅列，并成功導(dǎo)出本課的問題，A3紙是297×420mm，A4紙是210×297mm，A5紙是148×210mm，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字之間的聯(lián)系，并由此產(chǎn)生了新的問題，為什么這樣設(shè)計？

學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)這些不同的紙張，有的長等于另一張的寬，有的長等于另一張長的一半，而“一半”可以通過對折得到，而且學(xué)生確實觀察非常細(xì)致，對折后，長與寬是相對的，畢竟我們學(xué)習(xí)長方形的時候，長代表較長的邊，寬代表較短的鄰邊，這一點抓得很好。

通過活動對折、測量，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：A3紙對折后就變成A4紙，長寬比不變，都約為1.4。

發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論之后，進一步激發(fā)學(xué)生興趣，為什么會這樣？用字母a、b表示一個長方形的長與寬，對折后，新長方形的長是b，寬是a/2，結(jié)果得到a:b=b:a/2，當(dāng)然這個比例式在小學(xué)階段學(xué)生還暫時得不出比值，但這節(jié)課進行到這一步，探究已經(jīng)足夠深入了。

我的思考：

在人教版初中數(shù)學(xué)七年級下冊，我們還會有一次這樣的探究：

在此基礎(chǔ)上，我們還可以繼續(xù)探究B4、B5尺寸的紙，還有8開、16開尺寸的紙，研究方法仍然是一樣的。

我們在未來初中擴充數(shù)域時，這也可以作為“數(shù)不夠用了”的案例，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，不僅僅只是邊長為1的正方形的對角線長度，長寬比一定，對折后仍然保持這一長寬比的長方形，都可以設(shè)計成引導(dǎo)問題。

在小學(xué)階段，我們接觸到的絕大多數(shù)都屬于有理數(shù)，即可以寫成q/p形式的數(shù)，其中p、q是整數(shù)(p≠0)，從數(shù)指頭開始認(rèn)識整數(shù)，從分一分開始認(rèn)識分?jǐn)?shù)，這些都屬于有理數(shù)，只有當(dāng)學(xué)習(xí)小數(shù)的時候，有一個讓學(xué)生十分困惑的數(shù)，那就是圓周率，除它外的小數(shù)，都可以變成分?jǐn)?shù)，而到了初中，接觸到更多不能變成分?jǐn)?shù)的小數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)，再擴充至實數(shù)，高中階段還會再經(jīng)歷一次數(shù)域的擴充，這是后話了。

三、怎樣上好數(shù)學(xué)綜合與實踐？

首先需要提出一個好項目（好活動、好問題）

數(shù)學(xué)來源于生活，當(dāng)我們用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界時，會產(chǎn)生很多數(shù)學(xué)問題，相當(dāng)一部分可以搬到課堂上進行研究，例如這九節(jié)課的選題，在選題方面，我們的課標(biāo)已經(jīng)給出了很多樣例，我們的教材更給出了具體的問題，教師用書針對這些問題也給出了相應(yīng)的教學(xué)建議，所以對于一線教師來講，認(rèn)真學(xué)習(xí)新課標(biāo)，認(rèn)真研究教材，認(rèn)真閱讀教師用書，這是前提；

其次需要科學(xué)地設(shè)計好項目的課堂呈現(xiàn)形式，雖然我們在生活中可能會有無數(shù)數(shù)學(xué)問題需要解決，但在課堂上，在40分鐘（或45分鐘），能夠呈現(xiàn)出的部分有限，因此選擇哪些點鋪開，延伸到什么程度，適合哪個學(xué)段，需要課前仔細(xì)思考；例如新課標(biāo)中《度量衡的故事》，這里面可挖掘的內(nèi)容非常多，我們需要根據(jù)教學(xué)需要，選擇其中部分元素來進行教學(xué)設(shè)計，在大標(biāo)題之下，確定小標(biāo)題；

在選題之后，就是內(nèi)容的裁定，我們需要一個學(xué)生能夠在課堂上“盡全力”完成的項目，或能解決的問題，所謂“盡全力”，一方面是指這個問題要引起學(xué)生足夠的興趣，這九節(jié)課中，研究的問題均來源于學(xué)生“想知道”、“想完成”，而不是老師想知道、想完成；另一方面是不超范圍，在學(xué)生認(rèn)知框架下設(shè)計，讓學(xué)生能夠用已有的數(shù)學(xué)知識來解決問題，如果過程中涉及到未來內(nèi)容，也是以留下懸念為主，忌諱將未學(xué)內(nèi)容匆匆包裝，喂一口夾生飯。

最后是師生共同完成項目，正如現(xiàn)實中的項目，并非領(lǐng)隊一個人發(fā)號施令就把項目完成了，而是牽頭進行研究，帶動團隊一起研究，老師顯然是班級這個團隊的Project Manager (PM)，所有參與綜合與實踐的學(xué)生，要深刻感受到課堂上的活動與操作，是為了他們自已的興趣或困惑，而不是“老師讓我們這樣做”，因此整個課堂上要有分工協(xié)作，除了生生協(xié)作，還需要有師生協(xié)作，當(dāng)老師將自已從課堂活動的“局外者”切換身份到“參與者”，課堂活力就出來了。

四、關(guān)于AI與課堂教學(xué)的話題

感謝劉莉老師在活動中屢次提及它，目前AI很流行，大家都在用，都在研究，聲音也很多，我個人認(rèn)為：

第一、任何AI給出的結(jié)果，未經(jīng)加工，不得直接拋給學(xué)生；

第二、AI是工具，需要老師去主導(dǎo)，而非反過來；

第三、絕對禁止學(xué)生用AI找答案；

借用劉莉老師的一段話作為結(jié)尾