【毅言堂】中小學(xué)銜接之正、反比例關(guān)系

在2022版新課標(biāo)第三學(xué)段（5-6年級）內(nèi)容要求中，關(guān)于數(shù)量關(guān)系：

（4）在實際情境中理解比和比例以及按比例分配的含義，能解決簡單的問題。

（5）通過具體情境，認(rèn)識成正比的量（如y/x=5）（例20）；能探索規(guī)律或變化趨勢（如y=5x）（例21）；

在學(xué)業(yè)要求中，關(guān)于數(shù)量關(guān)系：

能在具體情境中描述成正比的量y/x=k（k≠0），能找出生活中成正比的量的實例；能根據(jù)給出的成正比關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫圖，了解y=kx（k≠0）的形式，能根據(jù)其中一個量的值計算另一個量的值.

在學(xué)生七年級的時候，到底對正、反比例關(guān)系的認(rèn)知如何，不妨看下面一道選擇題。

題目

如圖，在直線l上有定點A，B和動點C，D，其中C在線段AB上（不與A，B重合），D點在射線AB上，滿足AD=3AC，則下列說法正確的是（ ）

A、AC和BC成正比例關(guān)系

B、AC和BC成反比例關(guān)系

C、AC和CD成正比例關(guān)系

D、BC和BD成反比例關(guān)系

解析

定點A，B說明線段AB長度一定，不妨記為a；

動點C，則設(shè)AC=x，則AD=3x，這里的x是變化的量；將圖中各線段表示出來，其中BC=a-x，BD=3x-a，CD=AD-AC=2x，接下來根據(jù)正、反比例定義進(jìn)行判斷，不難得出正確選項為C.

解題思考

我們需要先回顧在小學(xué)階段的正、反比例關(guān)系是什么？在北師大版小學(xué)六年級下冊專門有一個單元《正比例與反比例》，教材內(nèi)容如下：

我們從實際情境出發(fā)，分別用具體的量來說明，正比例關(guān)系是指兩個量的比值是定值，而反比例關(guān)系是指兩個量的積為定值；

再來看上題中的各選項，AC=x，BC=a-x，顯然AC/BC這個比值中含x，這不是常數(shù)，選項A錯誤；

而AC×BC結(jié)果中也含x，也不是常數(shù)，選項B錯誤；

BC×BD結(jié)果中也含x，也不是常數(shù)，選項D錯誤；

只有選項C中AC/CD=1/2，是常數(shù)，選項C正確；

原本這道題到此結(jié)束，利用小學(xué)的概念完全可以理解，但是若老師“意猶未盡”，賣弄一下在八年級下和九年級上登場的正比例函數(shù)和反比例函數(shù)概念，問題反而更復(fù)雜了。

本題學(xué)生最容易產(chǎn)生理解錯誤的地方，恰恰在于對于“正”、“反”兩個字的理解上，詢問了答錯的學(xué)生，他們無一例外地認(rèn)為，正比例就是兩個量一個增加，另一個也隨之增加，而反比例是一個量增加，另一個隨之減少；

瞠目結(jié)舌之下，隨口問“誰這么教的？”

統(tǒng)一答案：小學(xué)

細(xì)思之下，還真有可能，畢竟在小學(xué)階段，我們還在非負(fù)有理數(shù)的世界中打轉(zhuǎn)，對于y=kx而言，k為正數(shù)，y隨x增大而增大；對于y=k/x而言，k為正數(shù)，y隨x增大而減小；

不得不承認(rèn)，在初中學(xué)習(xí)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的過程中，遇到過不少這樣理解的學(xué)生，哪怕數(shù)域已經(jīng)擴(kuò)充到了實數(shù)，這個思維定勢依然存在，所以必須回顧在小學(xué)階段，我們是如何教這兩個概念的，教材上明白無誤地給出了描述，在小學(xué)范圍內(nèi)，比值為定值的兩個量，一定是一個增加，另一個隨之增加，而乘積為定值的兩個量，一定是一個增加，另一個減少；但這一切在引入負(fù)數(shù)之后，發(fā)生了改變，所以從中小學(xué)銜接角度看，小學(xué)階段對于正、反比例關(guān)系的教學(xué)，嚴(yán)格按課標(biāo)要求進(jìn)行，判斷是否正、反比例關(guān)系，不以增減性為依據(jù)，而要根據(jù)比值或乘積結(jié)果是否為常數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，這樣在初中階段，可避免學(xué)生錯誤的理解習(xí)慣。

在八年級下學(xué)期和九年級上學(xué)期，我們會分別學(xué)習(xí)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)，如下圖：

僅就此題來看中小學(xué)知識點上的銜接，在小學(xué)階段，有很多數(shù)學(xué)概念是基于情境認(rèn)知，描述性的定義，在沒有上升到嚴(yán)格定義之前，需要留有“空間”，通俗點就是不要把話說死了。當(dāng)然，教師在課堂上注意用語是一方面，更重要的是防止學(xué)生理解上出現(xiàn)“A就是B”這樣的定勢思維，強(qiáng)調(diào)“在目前階段”，可引入適當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明“必要”和“充分”條件的區(qū)別。