導(dǎo)語

當(dāng)我們聆聽交響樂時，為何能清晰分辨出不同樂器的聲音？這背后隱藏著一個強大的數(shù)學(xué)思想：正交分解。它不僅是公式，更是一種“解耦”的思維模式，幫助我們在混沌中建立秩序，在復(fù)雜中識別核心。

本課程將從這一直覺出發(fā)，揭示內(nèi)積與正交性如何成為衡量相關(guān)性、構(gòu)建獨立坐標(biāo)系的基石。我們將探討如何用格拉姆-施密特方法“鍛造”出純凈的數(shù)學(xué)坐標(biāo)，并將視野延伸至無窮維的奇妙空間。更重要的是，本課程將結(jié)合科研實例，討論這種“正交思維”如何在處理高度耦合的數(shù)據(jù)、簡化復(fù)雜系統(tǒng)時發(fā)揮關(guān)鍵作用，并反思其適用的邊界。

集智學(xué)園聯(lián)合清華大學(xué)數(shù)學(xué)博士諸葛昌靖老師推出「」，并邀請武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院周進(jìn)教授于1月20日、1月27日就特征值與特征向量在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用做特別加餐分享。課程已于12月20日開啟，早鳥價將于本講結(jié)束后截止。

主題：線性空間與線性映射（下）

課程簡介

當(dāng)我們聆聽交響樂時，為什么能夠在混雜的空氣振動中，清晰分辨出小提琴的高亢與大提琴的低沉？在物理層面，空氣中傳播的其實只是一個疊加后的混合波形，而人耳卻能將其中不同成分“分離”出來。這一過程的本質(zhì)，正與線性代數(shù)中“正交分解”的思想高度相似。

如果說上一講的線性變換關(guān)注的是“結(jié)構(gòu)如何在映射中發(fā)生變化”，那么本講將進(jìn)一步引入內(nèi)積這一關(guān)鍵概念，討論如何在向量空間中刻畫“方向”“長度”與“相互關(guān)系”。內(nèi)積不僅是一個計算公式，它為向量空間賦予了幾何意義，使我們能夠討論角度、距離以及正交性，從而建立起更加精細(xì)的結(jié)構(gòu)認(rèn)知。

圍繞“為什么需要內(nèi)積、它解決了什么問題”這一核心問題，課程將系統(tǒng)介紹內(nèi)積空間的基本性質(zhì)，并通過Gram–Schmidt 正交化方法，展示如何在具體計算與建模中構(gòu)造合適的正交基。同時，課程將視野拓展至無窮維情形，幫助學(xué)習(xí)者理解內(nèi)積思想在函數(shù)空間中的一般意義。

結(jié)合真實科研與復(fù)雜系統(tǒng)研究中的案例，本講將展示正交分解如何作為一種重要的分析工具，參與到結(jié)構(gòu)識別與問題求解之中。通過學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)者不僅能夠掌握內(nèi)積空間的基本概念與方法，更將逐步形成一種在復(fù)雜問題中尋找“相互獨立結(jié)構(gòu)成分”的分析視角。

課程大綱

• 實際應(yīng)用：從耳朵識別頻率引出內(nèi)積(能量)的概念、Fourier 變換信號處理

• 內(nèi)積空間的定義、內(nèi)積的數(shù)學(xué)意義：長度、角度、正交性

• “代數(shù)”與“證明”：公理化方法的邏輯思維與數(shù)學(xué)的用處

• 內(nèi)積與線性相關(guān)性、正交化

• 線性無關(guān)的優(yōu)點與缺點、標(biāo)架

• 數(shù)學(xué)應(yīng)用：微分方程的解（常微分方程、偏微分方程）、積分作為內(nèi)積

• 無窮維內(nèi)積空間(Hilbert空間)舉例：函數(shù)空間、泛函、對偶空間

• 無窮的維數(shù)以及無窮求和的性質(zhì)

課程關(guān)鍵詞

內(nèi)積空間、投影、結(jié)構(gòu)化思維、Banach空間和Hilbert空間

概念解析｜正交（Orthogonality）在線性代數(shù)中，正交不僅意味著幾何上的 90 度夾角，更代表著信息之間的零冗余。當(dāng)兩個向量（或函數(shù)、信號）正交時，它們在結(jié)構(gòu)上彼此獨立。這一性質(zhì)是信號處理、特征工程與復(fù)雜系統(tǒng)分析得以成立的重要基礎(chǔ)。

課程信息

• 課程主題：人耳如何分離不同音調(diào)？——內(nèi)積與正交分解如何實現(xiàn)信號解耦

• 課程時間：12月27日（周六）晚 19:30–21:30

• 課程形式：

• • 騰訊會議（會議信息見群內(nèi)通知）

  • 集智俱樂部視頻號、B站直播

  • 集智學(xué)園網(wǎng)站錄播（3 個工作日內(nèi)上線）

課程主講人

北京工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計學(xué)與力學(xué)學(xué)院副研究員，清華大學(xué)數(shù)學(xué)博士，研究方向：計算系統(tǒng)生物學(xué)。致力于數(shù)學(xué)與生物醫(yī)學(xué)的交叉研究，聚焦癌癥的演化機制及放化療、血液病、網(wǎng)絡(luò)藥理學(xué)及傳染病等復(fù)雜生物醫(yī)學(xué)問題的多尺度動力學(xué)建模與分析。

特別加餐預(yù)告

課程簡介：

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的量化分析與結(jié)構(gòu)解析中，矩陣是刻畫網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮卣鞯暮诵墓ぞ?，而由矩陣衍生的特征值與特征向量，更是解鎖網(wǎng)絡(luò)內(nèi)在規(guī)律的關(guān)鍵鑰匙。那么，究竟有哪些矩陣與特征值、特征向量與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)緊密相關(guān)？這些核心數(shù)學(xué)元素又如何為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點與邊的重要性排序提供科學(xué)依據(jù)，進(jìn)而幫助我們精準(zhǔn)識別網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵核心與薄弱環(huán)節(jié)？特別加餐將圍繞上述問題展開探討，深入剖析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)語境下矩陣、特征值與特征向量的內(nèi)涵，及其在網(wǎng)絡(luò)重要性排序中的核心作用。

加餐時間：1 月 20 日、1 月 27 日19:30-21:30（具體安排見群內(nèi)通知）

形式：騰訊會議（會議信息見課程群內(nèi)通知）

面向?qū)ο螅?/strong>本課程學(xué)員

主講人：周進(jìn)

武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師。二十年來，開展數(shù)學(xué)、復(fù)雜性科學(xué)、智能科學(xué)交叉研究，聚焦于復(fù)雜系統(tǒng)的集群控制和動力學(xué)分析。曾獲國家自然科學(xué)二等獎，教育部自然科學(xué)一等獎，湖北省自然科學(xué)一等獎，獲全國優(yōu)秀博士論文提名及湖北省優(yōu)秀博士論文。共發(fā)表學(xué)術(shù)論文71篇，其中第一作者/獨立通訊作者論文65篇，全部為SCI或EI收錄，包括物理學(xué)頂刊Physical Review Letters, 控制學(xué)三大頂刊IEEE Transactions on Automatic Control (長文和短文)、Automatica及SIAM Journal on Control and Optimization。所發(fā)表論文被國內(nèi)國際引用總計近四千次。主持國家自然科學(xué)基金項目5項；參與專項研究項目1項，面上項目多項。指導(dǎo)的博士生獲得國家自然科學(xué)基金青年學(xué)生基礎(chǔ)研究項目 (博士研究生) 1項。作為骨干成員參與科技部國家重點研發(fā)計劃1項。受邀在2024年第二十屆全國復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)大會、2021年第十七屆中國網(wǎng)絡(luò)科學(xué)論壇及2016年第十二屆全國復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)大會上做大會特邀報告；2021年在“集智俱樂部”組織的第二期和第三期復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)課程中，分別作了題為“復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步”和“多層網(wǎng)絡(luò)及其動力學(xué)”的專題講座。

• 加餐主題：透視復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的核心——特征值與特征向量初探

• 加餐大綱：

• • 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與矩陣特征。從網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣與Laplacian矩陣出發(fā)，理解網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如何通過矩陣形式被刻畫。介紹特征值與特征向量在描述網(wǎng)絡(luò)整體結(jié)構(gòu)、連通性與穩(wěn)定性中的基本作用。

  • 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)與矩陣特征。討論網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)過程（如同步、擴散、穩(wěn)定性）與矩陣特征之間的關(guān)系，重點說明關(guān)鍵特征值及特征向量如何影響系統(tǒng)演化行為，以及特征值譜在動力學(xué)分析中的解釋意義。

  • 透視復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)“核心邊”：討論與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和動力學(xué)有關(guān)的邊中心性，展示如何利用矩陣特征刻畫網(wǎng)絡(luò)中對信息傳播與動力學(xué)過程起關(guān)鍵作用的邊，幫助理解網(wǎng)絡(luò)中“重要連接”的形成機制。

  • 透視復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)“核心節(jié)點”：從點中心性的角度出發(fā)，介紹基于特征向量的中心性指標(biāo)，如PageRank、LeaderRank等，說明這些方法如何揭示網(wǎng)絡(luò)中具有全局影響力的關(guān)鍵節(jié)點。

課程適用對象

• 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實，希望理解線性代數(shù)本質(zhì)及系統(tǒng)應(yīng)用的學(xué)生

• 對生物信息學(xué)、系統(tǒng)生物學(xué)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)感興趣的跨學(xué)科學(xué)習(xí)者

• 希望在數(shù)據(jù)科學(xué)、機器學(xué)習(xí)、網(wǎng)絡(luò)分析、系統(tǒng)建模領(lǐng)域深入應(yīng)用線性代數(shù)的人

• 對邏輯、抽象思維和系統(tǒng)性分析有長期興趣的公眾學(xué)習(xí)者

報名須知

• 課程形式：騰訊會議，前兩課線上同步直播；集智學(xué)園網(wǎng)站錄播；部分課程設(shè)置線下課

• 課程周期：2025年12月20日—2026年2月，每周六 19:30–21:30

• 課程定價：

• • 前兩節(jié)課程免費

  • 全部課程原價 599 元

  • 早鳥價 479 元（截至 12 月 27 日第二講結(jié)束）

可開發(fā)票

https://campus.swarma.org/course/5657

付費流程

1. 掃碼付費；

2. 課程頁面添加學(xué)員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

線性代數(shù)：一名合格科研人的筑基課

在科研世界中，無論你研究的是人工智能、生物信息、網(wǎng)絡(luò)科學(xué)，還是物理與工程，幾乎所有復(fù)雜系統(tǒng)的建模與推理，最終都會指向同一種底層語言——線性代數(shù)。

它不僅是一組計算公式，更是一名科研人理解“結(jié)構(gòu)”、刻畫“變換”、判斷“穩(wěn)定性”、提取“有效信息”的基本思維框架。本課程以系統(tǒng)科學(xué)的視角重新解構(gòu)線性代數(shù)，帶你越過技巧，直達(dá)本質(zhì)，在跨學(xué)科的真實問題中建立起堅實而可遷移的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

詳情請見：