嗨，我是萌芽。

聊完前幾期的內(nèi)容，今天咱們繼續(xù)把目光投向1-6年級(jí)的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)攻略。

這陣子我也在連載，想圍繞期末考試這個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，幫大家好好做個(gè)小學(xué)的總復(fù)習(xí)，也讓大家對(duì)小學(xué)升初中孩子需要做的準(zhǔn)備有所概念。

大家都知道，小學(xué)數(shù)學(xué)散落在書本里的知識(shí)點(diǎn)挺多，歸納起來其實(shí)就是四大塊：數(shù)與代數(shù)、圖形幾何、統(tǒng)計(jì)概率，還有綜合實(shí)踐。

教材的編寫邏輯是把它們分散在不同年級(jí)，像“撒芝麻”一樣慢慢學(xué)。但小升初的邏輯完全不同，它更像是一場“縱向深挖”的挑戰(zhàn)。

所以，我決定把這一系列拆解開來，每篇文章只攻克一個(gè)主題，由淺入深地帶大家把知識(shí)點(diǎn)串成線。畢竟，只有看清了全景，心里才不會(huì)慌。

今天咱們先來啃最硬的一塊骨頭：數(shù)與運(yùn)算。別看它基礎(chǔ)，這可是整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)體系里的“定海神針”。

接下來的內(nèi)容，我會(huì)帶大家站在新課標(biāo)的視角，把這塊知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)地過一遍，看看小升初到底在考什么、怎么考。

建議大家收藏起來，哪怕平時(shí)沒時(shí)間細(xì)看，在孩子參加各種大考前，拿出來對(duì)照著查缺補(bǔ)漏，也會(huì)非常有幫助。

話不多說，咱們直接進(jìn)入正題吧。

小升初系列·語文篇回顧：

期末復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)篇回顧：

1

數(shù)和數(shù)的運(yùn)算，究竟在考啥？

很多家長帶孩子復(fù)習(xí)時(shí)，一上來就猛刷題，但翻開新課標(biāo)你會(huì)發(fā)現(xiàn)，國家對(duì)孩子數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，早已從算出得數(shù)升級(jí)到了“理解數(shù)理”。▼

在小學(xué)階段，“數(shù)與代數(shù)”其實(shí)就抓兩個(gè)關(guān)鍵主題：數(shù)與運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系。 它們像螺旋上升的階梯，在不同年級(jí)有著不同的使命。▼

第一學(xué)段（1-2年級(jí)）：種下“數(shù)感”的種子

這個(gè)階段，通過感知數(shù)字的實(shí)際應(yīng)用，來深入建立數(shù)感。。

• 數(shù)與運(yùn)算：讓孩子在生活情境中認(rèn)識(shí)萬以內(nèi)的數(shù)，理解數(shù)位的意義。 更重要的是，要讓孩子通過摸得著、看得見的例子，去探索加減法的算理（為什么這么算）。

• 數(shù)量關(guān)系：開始嘗試用數(shù)學(xué)解決簡單的生活問題，形成初步的應(yīng)用意識(shí)。

第二學(xué)段（3-4年級(jí)）：從“感性”跨向“理性”

孩子開始接觸大數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，邏輯思維開始起飛。

• 數(shù)與運(yùn)算：認(rèn)識(shí)萬以上的數(shù)，掌握十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。 此時(shí)，運(yùn)算律（如交換律、分配律）成了主角，孩子要學(xué)會(huì)用字母來表達(dá)這些規(guī)律。

• 數(shù)量關(guān)系：孩子要開始理解生活中的“通用模型”了，比如我們常說的：總量=分量+分量，或者路程=速度×?xí)r間。 掌握了這些，孩子看世界題目的眼光就不一樣了。

第三學(xué)段（5-6年級(jí)）：為初中打下“邏輯”底座

這是小升初的關(guān)鍵期，要求孩子對(duì)數(shù)有更本質(zhì)的理解。

• 數(shù)與運(yùn)算：深入研究倍數(shù)、因數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)。 關(guān)鍵點(diǎn)在于：要理解運(yùn)算的一致性，無論整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，背后的邏輯其實(shí)是通著的。

• 數(shù)量關(guān)系：引入了等式的性質(zhì)和字母表示數(shù)。 這就是代數(shù)思維的萌芽。同時(shí)，孩子要學(xué)會(huì)估算，在解決實(shí)際問題時(shí)，能選出最合適的方法，而不能只是硬算。

在各地公開可查的小升初試卷里，這個(gè)板塊的考核要求會(huì)更高一些。

比如這是廣州去年的某卷，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)和數(shù)的運(yùn)算板塊，占比是真的多。下面標(biāo)黃的部分，都屬于這個(gè)板塊，幾乎占了整張卷面一半的題量了。

那么，在考試中，這個(gè)板塊究竟考些什么呢？我把它分為三種類別。

第一類，基礎(chǔ)題，專查計(jì)算基本功和定律的直接應(yīng)用，這部分是必須牢牢握在手中的基礎(chǔ)分。

比如下面這類的計(jì)算題，幾乎每張卷子都有。

第二類，中檔題，考察的是孩子能否靈活運(yùn)用知識(shí)、建立數(shù)學(xué)模型的能力，比如計(jì)算水電費(fèi)或比較購物折扣，有一定難度。

比如下面這種結(jié)合生活常見的題目：

第三類，壓軸難題，約占兩成，形式可能是新穎的定義新運(yùn)算或需要抽絲剝繭的數(shù)字謎，目的在于選拔那些邏輯清晰、善于逆向思考的孩子。

了解了怎么考之后，接下來我們就帶著考點(diǎn)來重新梳理一下“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”的知識(shí)內(nèi)容。

2

先來系統(tǒng)認(rèn)識(shí)一下“數(shù)的運(yùn)算”

整個(gè)小學(xué)“數(shù)的運(yùn)算”體系，是一個(gè)層層遞進(jìn)、邏輯嚴(yán)密的構(gòu)建過程。

第一階段：整數(shù)。

我們學(xué)習(xí)最純粹的運(yùn)算意義和基本規(guī)則。

比如，加法就是合并，先乘除后加減，為后面的復(fù)雜運(yùn)算打下地基。

第二階段：小數(shù)、分?jǐn)?shù)。

我們學(xué)習(xí)數(shù)的擴(kuò)展。

當(dāng)測量和分配出現(xiàn)“不夠整”的情況時(shí)，小數(shù)和分?jǐn)?shù)誕生了。它們的運(yùn)算規(guī)則與整數(shù)一脈相承。

第三階段：定律、應(yīng)用。

我們學(xué)習(xí)工具的優(yōu)化和綜合使用。運(yùn)算定律是捷徑，大大提高計(jì)算效率。

應(yīng)用題考察的是孩子的建模能力，看是否能從簡單的數(shù)字計(jì)算中遷移到現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用。

總結(jié)一下，小學(xué)階段數(shù)的運(yùn)算板塊，其學(xué)習(xí)順序的邏輯是：了解概念 → 掌握運(yùn)算規(guī)則 → 擴(kuò)展計(jì)算（整數(shù)到分?jǐn)?shù)、小數(shù)） → 簡便計(jì)算，提高效率 → 綜合應(yīng)用。

我整理成一張思維導(dǎo)圖，可以更直觀地呈現(xiàn)整體的學(xué)習(xí)路徑：

3

“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”知識(shí)點(diǎn)梳理

先來過一遍“數(shù)”的知識(shí)。

什么是小數(shù)？

什么是自然數(shù)？

什么是數(shù)位？

什么是計(jì)數(shù)單位？

什么是分?jǐn)?shù)？

這些是關(guān)于計(jì)算的概念知識(shí)，不用刻意背下來，知道是什么、能讀懂題目中的解題關(guān)鍵就可以了。

比如下面這道題，考的就是數(shù)位。

接下來，我們要進(jìn)入“數(shù)的運(yùn)算”板塊。

理解整數(shù)運(yùn)算，打好地基

這是所有運(yùn)算的起點(diǎn)，必須理解透徹。

1、加法：合并的起點(diǎn)

把兩部分合并成一個(gè)整體，是所有運(yùn)算的源頭。

蘇教版

2、減法：加法的逆向思維

從整體中去掉一部分，或者比較兩個(gè)數(shù)的相差。

蘇教版

減法是加法的逆運(yùn)算，它還可以這樣表示：和 - 加數(shù) = 另一個(gè)加數(shù)。

加減法是小學(xué)一、二年級(jí)的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，如果沒有掌握好的話，會(huì)直接影響后續(xù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，所以，一定要花點(diǎn)功夫和時(shí)間，把計(jì)算能力提起來。

3、乘法：加法的效率升級(jí)

當(dāng)加數(shù)都相同時(shí)，加法效率低，乘法就是它的簡便算法。

乘法是求多個(gè)相同加數(shù)和的簡便運(yùn)算。

人教版

4、除法：乘法的逆向拆分

除法是乘法的逆運(yùn)算。積 ÷ 因數(shù) = 另一個(gè)因數(shù)。

這再次強(qiáng)化了逆運(yùn)算關(guān)系，并解決了分配和平均這一大類實(shí)際問題。

乘除法是二、三、四年級(jí)的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，二年級(jí)需要掌握的是表內(nèi)乘除法，等到了四年級(jí)，就要開始學(xué)習(xí)簡便運(yùn)算，難度再上一等級(jí)，所以，每一個(gè)年級(jí)都是掉隊(duì)不得的。

小結(jié)一下，整數(shù)四則運(yùn)算建立了三個(gè)核心邏輯：

• 加減互逆、乘除互逆的逆向思維。

• 乘法是特殊加法的簡化。

• 運(yùn)算的基本順序規(guī)則（先乘除后加減，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)）。

小數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算

當(dāng)問題超出整數(shù)范圍，比如測量身高、分配蛋糕，數(shù)字不能讓我們整除時(shí)，這時(shí)候就要引入小數(shù)和分?jǐn)?shù)了。

數(shù)字變復(fù)雜容易讓孩子生畏，但好消息是核心邏輯和運(yùn)算規(guī)則完全不變。

1、小數(shù)運(yùn)算：整數(shù)的“十進(jìn)制平移”

小數(shù)點(diǎn)是定位器。計(jì)算時(shí)，只要把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊（本質(zhì)是相同數(shù)位對(duì)齊），加減乘除的規(guī)則和整數(shù)一模一樣。

比如，1.23 + 4.5，將4.5看作4.50，就是123個(gè)0.01加450個(gè)0.01，整數(shù)加法規(guī)則直接適用。

2、分?jǐn)?shù)運(yùn)算：關(guān)鍵在于“統(tǒng)一單位”

分?jǐn)?shù)單位（如1/2, 1/3）就像不同的語言，運(yùn)算前必須先統(tǒng)一語言（通分），然后對(duì)分子進(jìn)行整數(shù)運(yùn)算。

其運(yùn)算邏輯依然不變：

• 分?jǐn)?shù)加減法：就是統(tǒng)一單位后，對(duì)分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)（分子）進(jìn)行整數(shù)加減。

• 分?jǐn)?shù)乘除法：乘法是“分子、分母分別進(jìn)行整數(shù)乘除；除法是乘以其倒數(shù)，最終仍化歸為整數(shù)運(yùn)算。

學(xué)習(xí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)運(yùn)算，不是學(xué)習(xí)新規(guī)則，而是學(xué)習(xí)如何將它們翻譯成我們已經(jīng)熟悉的整數(shù)運(yùn)算。通分、小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，都是翻譯的步驟，理解了這一點(diǎn)，剩下的就很好計(jì)算了。

運(yùn)算定律，讓計(jì)算更快更準(zhǔn)

這是四五年級(jí)的重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，是一定要掌握好的部分，理解運(yùn)算定律，就能看透復(fù)雜算式的本質(zhì)。

1、交換律和結(jié)合律

加法交換律：a + b = b + a （兩個(gè)數(shù)相加，交換位置，和不變）

加法結(jié)合律：(a + b) + c = a + (b + c) （三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)相加，或者先把后兩個(gè)相加，和不變）

乘法交換律與結(jié)合律同理。

定律的核心在于湊整。通過重新排隊(duì)和分組，讓計(jì)算瞬間變簡單。

比如：

37 + 86 + 63 → 用加法交換律變成 (37 + 63) + 86 = 100 + 86 = 186

4 × 17 × 25 → 用乘法交換律、結(jié)合律變成 (4 × 25) × 17 = 100 × 17 = 1700

用好它們的關(guān)鍵是 “眼光” ，做題前先掃一眼，看看有沒有能湊成整十、整百、整千的數(shù)字，看到這類數(shù)字就要注意了：25和4，125和8，37和63。

2、乘法分配律

(a + b) × c = a × c + b × c

或 a × (b + c) = a × b + a × c

化“乘法與加法的混合運(yùn)算”為更簡單的兩步乘法加法。

乘法分配律在實(shí)際計(jì)算中可以演變出三種用法：

• 正用（拆括號(hào)）： (100 + 2) × 45 = 100×45 + 2×45 = 4500 + 90 = 4590

• 逆用（提公因數(shù)）： 36 × 72 + 36 × 28 = 36 × (72 + 28) = 36 × 100 = 3600 （這是高頻考點(diǎn)?。?/p>

• 變形用（拆數(shù)）： 103 × 25 = (100 + 3) × 25 = 2500 + 75 = 2575

3、減法性質(zhì)與除法性質(zhì)

減法的性質(zhì)：a - b - c = a - (b + c)

連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)，等于減去這兩個(gè)數(shù)的和。注意有時(shí)能湊整，讓算式變得更簡單，比如：

128 - 37 - 63 = 128 - (37 + 63) = 128 - 100 = 28

除法的性質(zhì)（類似）：a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)

如：3600 ÷ 25 ÷ 4 = 3600 ÷ (25 × 4) = 3600 ÷ 100 = 36

只有減法、除法才有此性質(zhì)，加法和乘法沒有！a ÷ (b + c) ≠ a÷b + a÷c，這是分配律的典型錯(cuò)誤。

綜合與應(yīng)用

一些基礎(chǔ)的應(yīng)用題，只需要用連乘/連除/加減混合就可以解決，這類題需要孩子從題目中找到對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系（不難找），接著用基礎(chǔ)的加減乘除運(yùn)算規(guī)則即可解決。

比如這樣的：

學(xué)校有4個(gè)年級(jí)，每個(gè)年級(jí)3個(gè)班，每班有40人。全校共有多少人？

應(yīng)用題板塊較難的部分是復(fù)雜的模型，這類題目有特定的結(jié)構(gòu)和解題規(guī)律，孩子剛接觸時(shí)可能不會(huì)做，但只要了解了題目的建模規(guī)律后，之后的題目就能舉一反三了。

這類題包括和差倍問題、行程問題、雞兔同籠問題、工程問題等等。下面我列舉幾個(gè)和大家看看。

1、和差倍問題

這類題目通常直接或間接告訴你兩個(gè)數(shù)的“和”、“差”以及它們的“倍數(shù)關(guān)系”。

我們可以按照以下解題步驟來做題：

①判斷是“和差”、“和倍”還是“差倍”。

②畫出線段圖，直觀表示數(shù)量關(guān)系。

③找出或求出“和”與“差”對(duì)應(yīng)的具體數(shù)值。

④套用公式，先求小的那個(gè)數(shù)（1倍數(shù)）。

例如，甲、乙兩班共有98人，若從甲班調(diào)3人到乙班，則兩班人數(shù)相等。求原甲、乙班各多少人？

“共有98人”是“和”，所以這是和差問題。調(diào)人后相等，說明原來甲班比乙班多 3×2=6 人，這是“差”，最后就是套公式計(jì)算。

下面這些核心公式一定用得上：

• 和差問題：(和 + 差) ÷ 2 = 大數(shù)；(和 - 差) ÷ 2 = 小數(shù)

• 和倍問題：和 ÷ (倍數(shù) + 1) = 1倍數(shù)（小數(shù)）

• 差倍問題：差 ÷ (倍數(shù) - 1) = 1倍數(shù)（小數(shù)）

2、行程、工程問題

行程問題核心公式：路程 = 速度 × 時(shí)間 （s = v × t）

相遇問題（相向而行）：速度和 × 相遇時(shí)間 = 總路程

追及問題（同向而行）：速度差 × 追及時(shí)間 = 初始路程差

解題步驟：畫路線圖，標(biāo)出各段速度、時(shí)間、路程，找等量關(guān)系。

工程問題解題核心是要把總工作量看作 “1” 。

核心公式：

工作效率 = 1 ÷ 工作時(shí)間；

合作時(shí)間 = 1 ÷ 工作效率和

解題步驟：先確定“1”，再求出每個(gè)人的工作效率，最后根據(jù)問題求解。

這兩類問題在初中仍是重點(diǎn)，小學(xué)階段理解公式模型比死記硬背更重要。

3、歸一與歸總問題

當(dāng)題目中出現(xiàn)“照這樣計(jì)算”、“同樣的速度”時(shí)，就要考慮用歸一思想了。

正歸一（求總量）：先求單一量，再乘份數(shù)

反歸一（求份數(shù)）：先求單一量，再除總量

當(dāng)題目中出現(xiàn)“計(jì)劃…實(shí)際…”時(shí)，那么就要考慮歸總思想。

解題核心是：總量不變，先求總量，再根據(jù)新條件求其他

我整理了一個(gè)比較細(xì)致的表格，大家可以對(duì)比著看看區(qū)別：

4、植樹問題

先判斷是線段植樹還是環(huán)形植樹！

具體的公式和示例我整理到下面這張表格了：

5、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)模型：“單位1”

所有分?jǐn)?shù)/百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，第一步且最重要的一步就是找準(zhǔn)“單位1”。

“單位1”尋找口訣：“的”前“比”后。比如：

蘋果的1/3是壞的 → “的”字前面“蘋果”是單位1。

今年產(chǎn)量比去年增長了20% → “比”字后面“去年”是單位1。

有兩大基本題型：

已知單位1，求它的幾分之幾（百分之幾）是多少？ → 用乘法。

例：一堆煤有100噸，用去了3/5，用去了多少噸？

解：單位1是“一堆煤”（100噸），求它的3/5：100 × 3/5 = 60噸

已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾（百分之幾）是多少，求這個(gè)數(shù)。 → 用除法。

例：修一段路，已經(jīng)修了全長的40%，正好修了20千米。這條路全長多少千米？

解：“全長的40%”是20千米，求全長（單位1）：20 ÷ 40% = 50千米

進(jìn)階題型（“率”的對(duì)應(yīng)）：

對(duì)于更復(fù)雜的“增加/減少百分之幾”的問題，關(guān)鍵是找到 “已知的具體量” 對(duì)應(yīng)的是單位1的 “幾分之幾（百分之幾）”。

例：一本書現(xiàn)價(jià)36元，比原價(jià)便宜了10%，原價(jià)多少元？

分析：單位1是“原價(jià)”（未知）?！艾F(xiàn)價(jià)比原價(jià)便宜10%”，所以現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的 (1 - 10%) = 90%。已知原價(jià)的90%是36元，求原價(jià)：36 ÷ 90% = 40元。

綜合與應(yīng)用題雖然看起來復(fù)雜，但只要理清對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，就能掌握解題思路了。

另外，除了基本應(yīng)用題的練習(xí)外，平時(shí)也可以讓孩子以專題的形式專攻一類應(yīng)用題，比如雞兔同籠、工程問題等，這類題有一定難度，但卻很訓(xùn)練孩子的思維能力。

好啦，今天的數(shù)和數(shù)的運(yùn)算板塊就聊到這里。

為了幫大家更好的復(fù)習(xí)，我也同步準(zhǔn)備了一些資源：

?資源一：計(jì)算訓(xùn)練，這里包含了1-6年級(jí)所有通用計(jì)算練習(xí)題，需要的姐妹在可以在后臺(tái)回復(fù)“計(jì)算習(xí)題”就可以領(lǐng)取了。

數(shù)和數(shù)的運(yùn)算板塊，計(jì)算絕對(duì)是重中之重，一定要掌握好了。

這份資源可以搭配這篇文章使用：

?資源二：應(yīng)用題訓(xùn)練，這里包含了小學(xué)階段應(yīng)用題的重難點(diǎn)，每道題還附上了解析和答案，題量很多（一共四十多頁），但題題經(jīng)典，考前可以認(rèn)真刷一遍，基本上就可以搞定校內(nèi)80%以上的題目了。

需要的姐妹可以在后臺(tái)回復(fù)“應(yīng)用題練習(xí)”即可領(lǐng)取。

?資源三：這篇文章的PDF版我也準(zhǔn)備好了，有需要打印的姐妹可以在后臺(tái)回復(fù)社群進(jìn)群領(lǐng)取哇。

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