導(dǎo)語

當(dāng)我們從“形狀的變形”和“洞的計(jì)數(shù)”轉(zhuǎn)入其中的代數(shù)結(jié)構(gòu)，拓?fù)鋵W(xué)就進(jìn)入了代數(shù)時代。本講承接上一講，介紹同調(diào)的核心思想——用代數(shù)對象（如群與正合列）去描述空間的結(jié)構(gòu)。通過MV序列等例子，我們學(xué)習(xí)如何計(jì)算同調(diào)群，并理解歐拉數(shù)的代數(shù)拓?fù)湟饬x和范疇論內(nèi)涵。更重要的是，我們將從哲學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)角度，探討“拓?fù)涞膶蛹壗Y(jié)構(gòu)”：一個系統(tǒng)的“洞”與“約束”，往往正是其結(jié)構(gòu)的靈魂。

主題：同倫與同調(diào)簡介（二）

課程簡介

目標(biāo)：掌握同調(diào)的基本概念與計(jì)算方法，進(jìn)一步理解代數(shù)結(jié)構(gòu)如何表達(dá)空間特征。

本講承接上一講的同倫思想，引入同調(diào)論的核心觀念：用一系列代數(shù)對象（群、鏈復(fù)形與長正合序列）來系統(tǒng)刻畫空間的結(jié)構(gòu)。同調(diào)不再僅僅關(guān)心“是否存在某種繞行”，而是將空間拆解為由點(diǎn)、邊、面及其高維類似物構(gòu)成的整體，通過“邊界”與“循環(huán)”的代數(shù)關(guān)系，精確描述不同維度上的洞與結(jié)構(gòu)層級。

課程首先會將以上的拓?fù)鋵ο蟠鷶?shù)化，構(gòu)建必要的代數(shù)工具：單純同調(diào)、奇異同調(diào)和胞腔同調(diào)群。之后將系統(tǒng)地展示同調(diào)論中的幾個核心要素：第一，以Mayer–Vietoris（MV）序列為例，展示拓?fù)鋵W(xué)如何通過“分解—拼合”的方式計(jì)算同調(diào)群；第二，從范疇論視角看待同調(diào)論，并由此理解歐拉示性數(shù)的代數(shù)拓?fù)湟饬x，以及為什么同調(diào)理論可以看作歐拉示性數(shù)的范疇化；第三，講解Hurewicz定理，說明同調(diào)理論與同倫理論的深刻聯(lián)系。在這一過程中，大家將體會到：拓?fù)洳蛔兞坎⒎橇闵⒌臄?shù)值，而是被組織在一整套相互制約、彼此關(guān)聯(lián)的代數(shù)結(jié)構(gòu)之中。

更進(jìn)一步，本講將從哲學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)的視角審視同調(diào)思想。并展示其在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（曲面分類與映射度）、拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析/機(jī)器學(xué)習(xí)和精神分析中的應(yīng)用。我們將看到，“洞”并不僅是缺失，更是一種約束與可能性的來源：在復(fù)雜系統(tǒng)中，正是這些不可消除的結(jié)構(gòu)，刻畫了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、演化路徑與可達(dá)性邊界。從這一意義上說，同調(diào)論不僅是拓?fù)鋵W(xué)的技術(shù)工具，也是理解復(fù)雜結(jié)構(gòu)層級與組織方式的重要思想模型。

課程大綱

同調(diào)概述：洞的數(shù)量與空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)

• 同調(diào)思想：洞的數(shù)量與結(jié)構(gòu)，“邊緣”的代數(shù)刻畫

• 同調(diào)群與正合列

• 同調(diào)論的基本計(jì)算方法：Mayer-Vietoris(MV)序列及例子

• 同倫與同調(diào)的關(guān)系——Hurewicz定理簡介

• 代數(shù)拓?fù)涞幕舅枷耄ㄓ么鷶?shù)結(jié)構(gòu)研究拓?fù)淇臻g）；范疇化思想（續(xù)，同調(diào)群作為歐拉數(shù)的范疇化）

• 持續(xù)同調(diào)及其應(yīng)用簡介

• 曲面分類與拉康的精神分析（主體）拓?fù)鋵W(xué)

關(guān)鍵詞

同調(diào)、虧格、正合列、單純同調(diào)、奇異同調(diào)、胞腔同調(diào)、MV序列、Hurewicz定理、歐拉示性數(shù)、代數(shù)拓?fù)洹⒎懂牷?、龐加萊同調(diào)球、映射度、結(jié)構(gòu)層級

課程信息

課程主題：勘玄府眾竅由辨，布算譜諸群序列——同倫與同調(diào)簡介（二）

課程時間：1月4日（周日）晚19:00-21:00

課程形式：騰訊會議（會議信息見群內(nèi)通知）；集智學(xué)園網(wǎng)站錄播（3個工作日內(nèi)上線）

課程主講人

金威，北京大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)博士，博士后。主要研究方向?yàn)橥負(fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)物理?，F(xiàn)從事人工智能的基礎(chǔ)理論和算法研發(fā)，并致力于數(shù)學(xué)和系統(tǒng)科學(xué)方面的教育/科研和科普活動?！痘玖Ｗ樱簲?shù)學(xué)、物理學(xué)和哲學(xué)》一書中文版譯者，《返樸》公眾號作者。研究興趣：屬性論和屬性數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)物理、系統(tǒng)科學(xué)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、中醫(yī)等。

課程適用對象

1. 理工科領(lǐng)域研究者及高年級學(xué)生：適合具備基礎(chǔ)數(shù)學(xué)背景（微積分、線性代數(shù)、復(fù)變函數(shù)、常微分方程）的理工科高年級本科生、研究生及科研人員。尤其適合關(guān)注復(fù)雜系統(tǒng)、非線性動力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理、信息科學(xué)等方向，或希望將數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于物理、工程、生命與智能/認(rèn)知系統(tǒng)的學(xué)習(xí)者。

2. 喜愛探索和創(chuàng)新學(xué)習(xí)者：面向?qū)Τ橄笏季S、系統(tǒng)建模與跨學(xué)科分析有興趣的學(xué)生與研究者。鼓勵具備問題意識、善于邏輯推理與思維開放的學(xué)習(xí)者，通過拓?fù)鋵W(xué)培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化與整體化的科學(xué)思維。

報(bào)名須知

1. 課程形式：騰訊會議，前兩課線上同步直播，集智學(xué)園網(wǎng)站錄播，部分課程設(shè)置線下課。

2. 課程周期：2025年11月23日-2026年1月，線上課程每周日19：00-21：00進(jìn)行。

3. 課程定價：前兩節(jié)課程免費(fèi)，全部課程原價599

付費(fèi)流程

https://campus.swarma.org/course/5647?from=wechat

可開發(fā)票

2. 課程頁面添加學(xué)員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

課程群內(nèi)討論交流

拓?fù)鋵W(xué)課程：從空間直覺到系統(tǒng)科學(xué)

你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數(shù)學(xué)上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統(tǒng)中會出現(xiàn)周期軌、可約化結(jié)構(gòu)和“奇怪吸引子”模式？為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、量子物理甚至心理結(jié)構(gòu)，都可以從“拓?fù)洹苯嵌壤斫猓?/p>

拓?fù)鋵W(xué)不僅是數(shù)學(xué)的抽象分支，更提供了系統(tǒng)的思維方式，讓我們理解連續(xù)性、結(jié)構(gòu)不變性乃至復(fù)雜系統(tǒng)的整體規(guī)律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結(jié)，從量子場論到思維科學(xué)與腦科學(xué)，拓?fù)鋵W(xué)思想正在各學(xué)科中普遍而深刻地重塑著我們的認(rèn)知方式。

集智學(xué)園聯(lián)合北京大學(xué)博士金威老師開設(shè)，課程于11月23日開啟，歡迎感興趣的讀者加入。

詳情請見：