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種種平均數(shù)有何不同？原文標(biāo)題中Mean是一個(gè)雙關(guān)語，既有“你是什么意思？”的意思，也暗指數(shù)學(xué)中的“平均數(shù)”（Mean）。

圖源：AI生成

作者：Sophie Maclean（HLF海德堡桂冠論壇博客主之一）2026-1-14

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2026-1-15

如果你問別人最喜歡的數(shù)字，大多數(shù)人都會有答案。可能是他們的結(jié)婚日期，可能是一個(gè)對稱性極佳的數(shù)字（我一直喜歡8），也可能是具有文化意義的數(shù)字。然而，很少有人會有最喜歡的平均值，大多數(shù)人聽到這個(gè)問題可能會有些困惑。

所以，我有一個(gè)目標(biāo)。我不僅想讓每個(gè)人都有自己最喜歡的平均值，還想讓大家了解各種平均值構(gòu)成的復(fù)雜體系，以及它們之間的關(guān)聯(lián)。

首先需要說明的是，本文不會討論眾數(shù)（mode）或中位數(shù)（median）。眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)在學(xué)校里常被作為三劍客一并介紹：眾數(shù)是樣本中出現(xiàn)次數(shù)最多的結(jié)果，中位數(shù)則是將數(shù)據(jù)按升序排列后中間位置的數(shù)值。雖然這兩者在統(tǒng)計(jì)學(xué)中都有其應(yīng)用場景，但平均數(shù)（mean）的應(yīng)用范圍卻涵蓋了數(shù)學(xué)的更多領(lǐng)域。

其次要說明的是，我用了復(fù)數(shù)形式的“means”（平均值）。因?yàn)榇_實(shí)存在不止一種平均值。就像中位數(shù)和眾數(shù)是均值的不同類型一樣，平均數(shù)也有不同種類。你在學(xué)校里學(xué)到的“平均數(shù)”，實(shí)際上只是其中一種特定類型的平均數(shù)，不妨稱之為算術(shù)平均數(shù)。我們的探索之旅就從這里開始。

算術(shù)平均數(shù)（arithmetic mean, AM）

算術(shù)平均數(shù)是大家都熟悉的一種——計(jì)算方法是將數(shù)據(jù)集中所有數(shù)值相加，然后除以數(shù)值的個(gè)數(shù)。

也就是說，如果你的數(shù)據(jù)是x?, x?, ..., x?，那么算術(shù)平均數(shù)就是：

(x? + x? + ... + x?)/n

它通常用于求解數(shù)據(jù)集的“中心”數(shù)值，因此在統(tǒng)計(jì)學(xué)中應(yīng)用廣泛。將它與中位數(shù)結(jié)合，還能進(jìn)行更深入的分析。例如，如果一個(gè)國家的算術(shù)平均收入增長速度快于中位數(shù)收入，這可能意味著超級富豪的薪資增長速度超過了大多數(shù)人口。

算術(shù)平均數(shù)在概率論中也非常有用。假設(shè)某個(gè)隨機(jī)事件的可能取值為x?, x?, ..., x?，且每個(gè)取值的發(fā)生概率相等，那么算術(shù)平均數(shù)就是該事件的期望值——即如果反復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)，你期望得到的平均結(jié)果。

介紹完熟悉的算術(shù)平均數(shù)，現(xiàn)在該引入一種新的平均值了。請看幾何平均數(shù)。

幾何平均數(shù)（geometric mean, GM）

對于數(shù)據(jù)集x?, x?, ..., x?，幾何平均數(shù)的定義為：

?√(x??x????x?)

即所有n個(gè)元素乘積的n次方根。值得注意的是，這等價(jià)于以自然常數(shù)e為底、以對所有數(shù)值取自然對數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為指數(shù)的冪：

e^[(lnx? + lnx? +? + lnx?)/n]

幾何平均數(shù)常用于數(shù)據(jù)呈現(xiàn)乘法組合關(guān)系的場景，比如人口增長率，也可用于計(jì)算平均利率。例如，某人投資1000貨幣單位（選擇你喜歡的貨幣），獲得的回報(bào)率依次為+10%、-4%、-8%和+25%，最終資金變?yōu)?214.4貨幣單位。

此時(shí)總回報(bào)率為21.44%，回報(bào)率的幾何平均數(shù)為4.98%（即1+10%、1-4%、1-8%、1+25%這四個(gè)數(shù)相乘之后開4次方?，然后減1。原文寫的幾何平均值為20%，疑有誤，譯者注)，相較于5.75%的算術(shù)平均數(shù)（四個(gè)回報(bào)率+10%、-4%、-8%和+25%，直接相加除以4），它更能反映資金的實(shí)際變化情況（逐次平均變化率，每次都按相同的變化率均勻變化，消除忽高忽低的波動(dòng)，常用于多年的年化收益率計(jì)算場景，譯者注）。

一個(gè)有趣的事實(shí)

關(guān)于幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)，有一個(gè)有趣的結(jié)論：算術(shù)平均數(shù)始終大于或等于幾何平均數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)據(jù)集中所有數(shù)值相等時(shí)，兩者才相等。

當(dāng)n=2（即數(shù)據(jù)集中只有兩個(gè)元素）時(shí)，這個(gè)結(jié)論很容易證明。設(shè)這兩個(gè)元素為a和b。

平方數(shù)恒非負(fù)，因此(a - b)2 ≥ 0，當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等號成立。展開括號可得：

a2 - 2ab + b2 ≥ 0

兩邊同時(shí)加上4ab：

a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab

因式分解左邊：

(a + b)2 ≥ 4ab

兩邊同時(shí)開平方：

a + b ≥ 2√(ab)

最后兩邊除以2：

(a + b)/2 ≥ √(ab)

當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等號成立，這正是我們要證明的結(jié)論！

我們也可以通過圖形來證明這個(gè)不等式：

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)不等式的無字證明，由CMG Lee繪制

圖注1：

在上圖中，O是圓的圓心，P、G、R位于圓周上。由于P和R構(gòu)成直徑，所以△PGR是直角三角形（原文寫的等邊三角形，寫錯(cuò)了，譯者注）。Q是直徑PR上的一點(diǎn)，PQ的長度為a，QR的長度為b。圓的半徑為(a + b)/2，即a和b的算術(shù)平均數(shù)，在圖中以粉色線段AO標(biāo)示。

要計(jì)算紫色線段GQ的長度（設(shè)為x），我們可以利用直角三角形的相似性得到a/x = x/b或射影定理：x2=ab，解得x = √(ab)，即幾何平均數(shù)。從圖中可以清晰地看到，粉色線段AO長于紫色線段GQ（僅當(dāng)Q位于圓心時(shí)，兩者長度相等），這直觀地證明了算術(shù)平均數(shù)大于幾何平均數(shù)。

這個(gè)關(guān)于算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的結(jié)論被稱為AM-GM不等式（取自兩種平均數(shù)的首字母），是全球高中數(shù)學(xué)競賽中的常見知識點(diǎn)。該不等式的一個(gè)巧妙應(yīng)用是：對于周長固定的矩形，當(dāng)它為正方形時(shí)，面積最大！

這是因?yàn)槿绻匦蔚倪呴L為a和b，其周長為2(a + b)，即算術(shù)平均數(shù)的4倍。因此，周長固定意味著算術(shù)平均數(shù)固定，而幾何平均數(shù)（即矩形面積的平方根）有一個(gè)固定的上限，且僅當(dāng)a = b時(shí)才能達(dá)到這個(gè)上限。

調(diào)和平均數(shù)（harmonic mean, HM）

短暫的插曲過后，我們繼續(xù)探索新的平均值，接下來是調(diào)和平均數(shù)。它是所有數(shù)值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。因此，對于數(shù)據(jù)集x?, x?, ..., x?，調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算公式為：

n/(1/x? + 1/x? + ... + 1/x?)

調(diào)和平均數(shù)有一些令人意想不到的應(yīng)用，常用于與比率和速率相關(guān)的場景。例如，一輛汽車以速度x駛出，再以速度y沿原路返回，那么它的平均速度就是x和y的調(diào)和平均數(shù)。

有趣的是，這里我們假設(shè)往返距離相等；如果改為往返時(shí)間相等，那么平均速度就會是x和y的算術(shù)平均數(shù)。

均方根（root mean square, RMS）

最后一種平均值是均方根，顧名思義：先取每個(gè)元素的平方，計(jì)算這些平方值的算術(shù)平均數(shù)，再對結(jié)果開平方。用公式表示為：

√((x?2 + x?2 + ? + x?2)/n)

它有時(shí)也被稱為二次平均數(shù)（quadratic mean），這個(gè)名稱雖然不夠直觀，但也能讓人大致了解其計(jì)算邏輯。

均方根在現(xiàn)實(shí)世界中有諸多應(yīng)用，例如在電氣工程中，交變電流的均方根值等于在特定電阻中產(chǎn)生相同功率的恒定直流電流值。

各種平均值的關(guān)系

正如我們有算術(shù)-幾何平均值不等式（AM-GM不等式）一樣，也存在一個(gè)包含調(diào)和平均數(shù)（HM）和均方根（RMS）的類似不等式。這個(gè)不等式有時(shí)被稱為均方根-算術(shù)-幾何-調(diào)和平均值不等式（RMS-AM-GM-HM不等式），其內(nèi)容為：均方根大于或等于算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)大于或等于幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)大于或等于調(diào)和平均數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)所有元素相等時(shí)，等號成立。

這個(gè)不等式的代數(shù)證明相當(dāng)繁瑣，但完全可行。因此，我將為你呈現(xiàn)一個(gè)優(yōu)美的圖形證明，敬請欣賞！

二次平均數(shù)（均方根）>算術(shù)平均數(shù)>幾何平均數(shù)>調(diào)和平均數(shù)的幾何無字證明，由CMG Lee根據(jù)美國數(shù)學(xué)協(xié)會網(wǎng)站 https://maa.org 上的圖繪制。

圖注2：

A是圓的圓心，N、Q、G、P位于圓周上（NP構(gòu)成直徑）。M是直徑NP延長線上的一點(diǎn)（MG垂直于AG，AQ垂直于AM）。

設(shè)N到M的距離為a（紅色線段NM），P到M的距離為b（藍(lán)色線段PM）。圓的直徑為a - b，因此半徑r = (a - b)/2（灰色線段AQ、AG，也即線段AN、AP）。

A到M的距離為b加上半徑，即(a + b)/2，這是算術(shù)平均數(shù)（橙色線段AM）。對直角三角形△AGM應(yīng)用勾股定理，可得r2 + GM2 = a2。已知r = (a - b)/2，解得GM = √(ab)，即幾何平均數(shù)（綠色線段GM）。

再次應(yīng)用勾股定理，對直角三角形△AMQ計(jì)算線段QM的長度：

√(AM2 + AQ2) = √[((a + b)/2)2 + ((a - b)/2)2] = √[(a2 + b2)/2]

這正是均方根（青色線段QM）。

最后，利用相似三角形求調(diào)和平均數(shù)HM的長度。由相似三角形的性質(zhì)可得HM/GM = GM/AM，因此HM = GM2/AM = 2ab/(a + b)，這確實(shí)是調(diào)和平均數(shù)（紫色線段HM）。

通過這幅圖：QM(代表RMS) ≥ AM ≥ GM ≥ HM，

我們可以直觀地看到：

均方根≥算術(shù)平均數(shù)≥幾何平均數(shù)≥調(diào)和平均數(shù)。

參考資料

https://scilogs.spektrum.de/hlf/_butwhatdoyoumean

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