來源：量子位 | 公眾號 QbitAI

聞樂 發(fā)自 凹非寺

Gemini又偷偷藏不住了。

內(nèi)部數(shù)學(xué)版學(xué)霸模型FullProof全程不聯(lián)網(wǎng)，直接幫數(shù)學(xué)家證明了代數(shù)幾何領(lǐng)域的一個新定理——

0虧格映射到旗簇空間的motivic類等價結(jié)論。

好好好，咱先來簡單理解一下，就是把一堆無缺口的橡皮筋按一定的規(guī)則套進層層嵌套的盒子里，橡皮筋所有的擺放方式就對應(yīng)了一個空間；

新結(jié)論證明這個空間可以用「一般線性群+仿射空間」的組合來表示，后續(xù)研究相關(guān)問題直接分析這個簡單的樣板就行。

在這項研究中，Gemini埋下關(guān)鍵思路的伏筆，甚至能獨立給出反例，精彩表現(xiàn)直接讓美國數(shù)學(xué)學(xué)會主席都點贊：

Gemini的證明嚴謹、正確、優(yōu)雅……這是我本人也會引以為傲的見解。

那咱就來看看怎么嚴謹、怎么優(yōu)雅的？？

Gemini埋下關(guān)鍵思路伏筆

這篇論文聚焦的核心問題，是確定0虧格映射到旗簇空間的motivic類等價形式。

• 旗簇空間

  是一種由不同維度子空間層層嵌套構(gòu)成的幾何結(jié)構(gòu)，類似大盒套中盒套小盒的收納系統(tǒng)；

• 0虧格映射

  對應(yīng)把無洞的光滑曲線（像橡皮筋）放進這個嵌套空間的所有擺放方式；

• 格羅滕迪克群

  代數(shù)幾何里一個用來給幾何空間分類歸檔的數(shù)學(xué)工具，專門解決“復(fù)雜空間能不能等價成簡單空間”的問題；

• motivic類

  就是代數(shù)幾何里，給各類幾何空間在格羅滕迪克群里貼的身份標簽。

數(shù)學(xué)家想要知道的是，這些復(fù)雜的擺放方式集合，能否在格羅滕迪克群里，找到一個結(jié)構(gòu)簡單且和這個集合性質(zhì)完全等價的替身。

數(shù)學(xué)家采用分次纖維化迭代的思路推進證明，這個關(guān)鍵思路正是Gemini在推導(dǎo)過程中暗示的。

研究人員先搭建旗簇空間的部分旗塔結(jié)構(gòu)，定義對應(yīng)的投影映射，把原本復(fù)雜的映射問題拆解成一層一層的纖維求解問題，證明每一層的纖維都和帶基點的無處零截面空間是同構(gòu)的；

接著計算這類截面空間在格羅滕迪克群里的等價類，再基于motivic平凡纖維化的性質(zhì)，得出結(jié)論，這個等價類的表達式只和向量叢的秩與次數(shù)有關(guān)，和向量叢的具體分裂類型沒有關(guān)系。

最終證明，當代表空間層級特征的數(shù)值β滿足“嚴格單調(diào)”條件時，這個復(fù)雜集合的motivic類，恰好等價于“一般線性
群”與“仿射空間”的組合。

這就為后續(xù)研究提供了極簡的分析模板，也搭建起代數(shù)雙重環(huán)空間與拓撲雙重環(huán)空間之間的聯(lián)系橋梁。

接下來說說Gemini的功勞。

研究初期，數(shù)學(xué)家先提出了一個關(guān)于有限域點計數(shù)的弱猜想，還將這個核心難題拆解成從易到難的階梯式子問題，比如先讓AI解決這類具體案例。

基于Gemini打造的專用數(shù)學(xué)系統(tǒng)FullProof，迅速給出了這些特殊案例的完整證明。

推導(dǎo)過程圍繞多項式三元組的互素性、相交對條件展開，結(jié)合莫比烏斯反演、zeta函數(shù)等工具完成計數(shù)，邏輯非常嚴謹。

還隱含了纖維類獨立性的關(guān)鍵思路，比如證明中指出的選擇數(shù)量與的分裂類型無關(guān)，這也就是關(guān)鍵思路的伏筆。

FullProof輸出的多項式三元組推導(dǎo)手稿

當數(shù)學(xué)家提出“該結(jié)論能否推廣到同倫等價場景”的疑問時，F(xiàn)ullProof獨立給出了有效的反例。

比如論文中提到的的情形，證明不具備的有理同倫型，明確了定理不能直接拓展到同倫等價的范疇。

專用數(shù)學(xué)學(xué)霸

這次用到的Gemini數(shù)學(xué)版（內(nèi)部叫FullProof），特別擅長攻克motivic類這種高階抽象計算難題。

它的工作方式是先從最小的特殊情況入手，先搭邏輯鏈，再推結(jié)論，在數(shù)學(xué)推理上比普通AI嚴謹?shù)枚唷?/p>

重點來了，完成這些推導(dǎo)全程不用聯(lián)網(wǎng)，完全靠模型自己訓(xùn)練時攢下的數(shù)學(xué)知識，現(xiàn)場腦補出全新的證明思路。

作者們特意對比了現(xiàn)有文獻，發(fā)現(xiàn)FullProof的輸出跟已發(fā)表的東西沒有明顯重合，基本確定原創(chuàng)。

對比之前數(shù)學(xué)家們用過的Macaulay2工具，Gemini明顯更厲害也更快。

以前Macaulay2只能做數(shù)值驗證，而Gemini能給出可直接復(fù)用的邏輯框架，大幅縮短了研究周期。

但是話說回來，Gemini目前還沒法獨立做到從特殊案例推廣到通用結(jié)論這一步。

客觀上要依賴數(shù)學(xué)家搭建框架、提煉策略。

不過還是想知道，Gemini藏的這個數(shù)學(xué)學(xué)霸啥時候公開呢～

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2601.07222
參考鏈接：https://x.com/A_G_I_Joe/status/2011213692617285729

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