導(dǎo)語

在前幾講中，我們游歷了拓撲學(xué)的深刻理論與眾多應(yīng)用，由此可見拓撲學(xué)不僅存在于抽象的數(shù)學(xué)世界。這一講將更加徹底地重塑你的觀念：運動軌跡、時空和內(nèi)部自由度空間是怎樣彎曲的？DNA如何在細胞中纏繞又解開？為什么物理世界中會存在“拓撲相變”和“物質(zhì)拓撲態(tài)”？分析數(shù)據(jù)時，怎樣用“拓撲形狀”識別復(fù)雜結(jié)構(gòu)？拓撲量子計算又是怎樣利用“內(nèi)蘊形”、其代數(shù)不變量及相互關(guān)系處理信息的？……這一講將繼續(xù)帶大家打破數(shù)學(xué)、生物、物理、計算與認知的邊界，進一步理解“拓撲”如何成為連接理論與現(xiàn)實的橋梁。

集智學(xué)園聯(lián)合北京大學(xué)博士金威老師開設(shè)，以“結(jié)構(gòu)不變性”為核心線索，貫通數(shù)學(xué)思想史與現(xiàn)代系統(tǒng)科學(xué)。課程已于11月23日開啟，歡迎加入課程群交流。

主題：拓撲思想在理論與現(xiàn)實中的應(yīng)用

課程簡介

目標(biāo)： 進一步認識拓撲思想在自然與人工系統(tǒng)中的應(yīng)用，理解“內(nèi)蘊形及其關(guān)系”與“系統(tǒng)穩(wěn)定性”及“系統(tǒng)的狀態(tài)與變化”的關(guān)系。

幾何中刻畫“彎曲”的曲率在各尺度中廣泛存在：在宏觀世界的工程與力學(xué)系統(tǒng)中，曲率出現(xiàn)在運動學(xué)中；在宇觀層次，它刻畫時空，是廣義相對論的核心要素；在微觀尺度上，粒子間的規(guī)范場與相互作用由纖維叢的曲率來刻畫。而曲率的整體積分又被拓撲性質(zhì)所決定。由此，拓撲、幾何與物理在“整體性”“局部-整體關(guān)系”和“對偶性”等核心概念下深刻地統(tǒng)一起來。

在生命科學(xué)中，DNA 的復(fù)制、轉(zhuǎn)錄與重組是高度受限的拓撲過程：雙螺旋如何在狹小的細胞空間中纏繞、打結(jié)，又被精準(zhǔn)地解開？紐結(jié)論為理解這些過程提供了不可替代的語言。在凝聚態(tài)物理中，人們發(fā)現(xiàn)某些物質(zhì)的性質(zhì)并非由局部對稱性，而是由系統(tǒng)的整體拓撲結(jié)構(gòu)所決定，“拓撲相變”與“拓撲物態(tài)”由此成為理解新型材料與量子現(xiàn)象的核心概念。

當(dāng)今時代數(shù)據(jù)規(guī)模與系統(tǒng)復(fù)雜度不斷提升，拓撲思想也進入了計算與信息科學(xué)領(lǐng)域。拓撲數(shù)據(jù)分析（TDA）利用同調(diào)與持續(xù)同調(diào)，從高維、噪聲數(shù)據(jù)中提取穩(wěn)定的“形狀特征”，為人工智能、模式識別與復(fù)雜系統(tǒng)分析等提供了新的工具。在量子信息與計算領(lǐng)域，拓撲量子計算則試圖利用拓撲不變量的穩(wěn)定性，對抗環(huán)境擾動與退相干問題，將“形之不變”轉(zhuǎn)化為信息處理的可靠來源。

本講將以一系列跨學(xué)科實例為線索，展示拓撲如何成為連接數(shù)學(xué)理論、自然現(xiàn)象與工程實踐的共同語言。通過這些案例，學(xué)生將體會到：面對具體細節(jié)的汪洋大海，，我們可以用拓撲思維抓住系統(tǒng)整體的結(jié)構(gòu)性本質(zhì)；也具備了理解復(fù)雜系統(tǒng)穩(wěn)定性、狀態(tài)演化與認知結(jié)構(gòu)的獨特而深刻的視角。本課程亦將在此處開始回望全程，反思拓撲思維在科學(xué)與哲學(xué)層面的意義。

課程大綱

• 曲率及其應(yīng)用（續(xù)）

• 紐結(jié)論與DNA的拓撲異構(gòu)（酶）

• 拓撲數(shù)據(jù)分析（TDA）與人工智能

• 拓撲相與凝聚態(tài)物理

• 拓撲量子計算、量子拓撲、范疇論與思維科學(xué)中的結(jié)構(gòu)不變性

• 互動討論：拓撲思維的數(shù)學(xué)、科學(xué)與哲學(xué)意義

關(guān)鍵詞

關(guān)鍵詞：紐結(jié)理論、DNA、拓撲數(shù)據(jù)分析、拓撲相變、拓撲量子計算

課程信息

課程主題：見大象之形，致無窮之用——拓撲思想在理論與現(xiàn)實中的應(yīng)用

課程時間：1月18日（周日）晚19:00-21:00

課程形式：騰訊會議（會議信息見群內(nèi)通知）；集智俱樂部視頻號、b站同步直播，集智學(xué)園網(wǎng)站錄播（3個工作日內(nèi)上線）

課程主講人

金威，北京大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)博士，博士后。主要研究方向為拓撲學(xué)和數(shù)學(xué)物理?，F(xiàn)從事人工智能的基礎(chǔ)理論和算法研發(fā)，并致力于數(shù)學(xué)和系統(tǒng)科學(xué)方面的教育/科研和科普活動。《基本粒子：數(shù)學(xué)、物理學(xué)和哲學(xué)》一書中文版譯者，《返樸》公眾號作者。研究興趣：屬性論和屬性數(shù)學(xué)、拓撲學(xué)和數(shù)學(xué)物理、系統(tǒng)科學(xué)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、中醫(yī)等。

課程適用對象

1. 理工科領(lǐng)域研究者及高年級學(xué)生：適合具備基礎(chǔ)數(shù)學(xué)背景（微積分、線性代數(shù)、復(fù)變函數(shù)、常微分方程）的理工科高年級本科生、研究生及科研人員。尤其適合關(guān)注復(fù)雜系統(tǒng)、非線性動力學(xué)、統(tǒng)計物理、信息科學(xué)等方向，或希望將數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于物理、工程、生命與智能/認知系統(tǒng)的學(xué)習(xí)者。

2. 喜愛探索和創(chuàng)新學(xué)習(xí)者：面向?qū)Τ橄笏季S、系統(tǒng)建模與跨學(xué)科分析有興趣的學(xué)生與研究者。鼓勵具備問題意識、善于邏輯推理與思維開放的學(xué)習(xí)者，通過拓撲學(xué)培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化與整體化的科學(xué)思維。

報名須知

1. 課程形式：騰訊會議，前兩課線上同步直播，集智學(xué)園網(wǎng)站錄播，部分課程設(shè)置線下課。

2. 課程周期：2025年11月23日-2026年1月，線上課程每周日19：00-21：00進行。

3. 課程定價：前兩節(jié)課程免費，全部課程原價599

付費流程

https://campus.swarma.org/course/5647?from=wechat

可開發(fā)票

2. 課程頁面添加學(xué)員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

課程群內(nèi)討論交流

拓撲學(xué)課程：從空間直覺到系統(tǒng)科學(xué)

你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數(shù)學(xué)上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統(tǒng)中會出現(xiàn)周期軌、可約化結(jié)構(gòu)和“奇怪吸引子”模式？為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、量子物理甚至心理結(jié)構(gòu)，都可以從“拓撲”角度理解？

拓撲學(xué)不僅是數(shù)學(xué)的抽象分支，更提供了系統(tǒng)的思維方式，讓我們理解連續(xù)性、結(jié)構(gòu)不變性乃至復(fù)雜系統(tǒng)的整體規(guī)律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結(jié)，從量子場論到思維科學(xué)與腦科學(xué)，拓撲學(xué)思想正在各學(xué)科中普遍而深刻地重塑著我們的認知方式。

集智學(xué)園聯(lián)合北京大學(xué)博士金威老師開設(shè)，課程于11月23日開啟，歡迎感興趣的讀者加入。

詳情請見：