導語

回顧整個課程，我們從歐拉的七橋問題出發(fā)，穿越抽象的集合論和公理化密林，一覽“連續(xù)性”的畫卷、徜徉于“連通性”與“緊致性”的世界，開啟同倫與同調(diào)的代數(shù)寶庫，最終抵達拓撲的現(xiàn)代應(yīng)用。這一講將帶你重新回溯與審視拓撲學背后的“思維方式”——從空間幾何直覺到抽象理論系統(tǒng)、從局部關(guān)系到全局結(jié)構(gòu)、從孤立的對象到結(jié)構(gòu)關(guān)系和屬性的稠密網(wǎng)絡(luò)。我們還將勾勒拓撲思想的“概念地圖”，介紹之后可深入學習的領(lǐng)域，如點集拓撲、代數(shù)拓撲、幾何與微分拓撲、量子拓撲與范疇論的進一步統(tǒng)一等，并結(jié)合聽眾背景，討論未來的探索方向及與系統(tǒng)科學和其他學科的聯(lián)系。

本期課程將于2026年1月25日下午16:00-18:00北京門頭溝集智谷（First青年電影中心）線下進行，同時線上騰訊會議、集智俱樂部視頻號、b站同步直播，課程學員線上線下均可參與，且有永久查看課程回放權(quán)限，有意線下參會的非課程學員歡迎公開報名參與線下活動（詳情見線下參會方式）。

主題：拓撲總結(jié)與拓展：從幾何直觀到系統(tǒng)思維

課程簡介

目標：理解拓撲思想在科學方法論中的角色，形成跨學科的結(jié)構(gòu)化認知。

這一講主要是對整期課程的回望、整合與升維。從歐拉的七橋問題出發(fā)，我們沿著“連續(xù)性”的主線，穿越集合論與公理化的抽象地帶，理解連通性與緊致性所揭示的整體邏輯，進入同倫與同調(diào)構(gòu)成的代數(shù)結(jié)構(gòu)世界，并最終看到拓撲思想如何在生命、物理、思維、計算與認知等眾多領(lǐng)域中落地生根——這就從直覺觀察走入理論系統(tǒng)，再進一步深化直覺；從發(fā)現(xiàn)問題上升到方法論，再提出新問題，不斷螺旋上升。

本講將以系統(tǒng)觀為核心，對前八講的內(nèi)容進行整體重構(gòu)與深入理解。我們將“空間、連續(xù)、洞、不變量”等概念，放入統(tǒng)一的整體框架中：從局部到整體、從對象到關(guān)系、從形狀到結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。在此，拓撲思維展現(xiàn)了它的高度抽象卻極具遷移力的特性——它幫助我們在復雜系統(tǒng)中識別關(guān)鍵結(jié)構(gòu)和形態(tài)，在細節(jié)、變化與噪聲中把握本質(zhì)和不變性，或用有限信息理解系統(tǒng)整體行為。

在課程的后半部分，我們將系統(tǒng)勾勒拓撲思想的概念地圖與未來展開方向，介紹點集拓撲、代數(shù)拓撲、幾何與微分拓撲、量子拓撲與范疇論等領(lǐng)域如何在同一思想主線下自然分化又彼此統(tǒng)一。同時，課程將結(jié)合不同聽眾的背景，討論拓撲思維如何在本質(zhì)上與系統(tǒng)科學、物理學、生物學、人工智能、思維與認知科學等方向聯(lián)系起來，幫助大家找到各自的深入路徑。

本期課程結(jié)束后將以線下圓桌討論作為重要組成部分。在這一環(huán)節(jié)中，我們將圍繞“拓撲作為系統(tǒng)思維方式”展開開放式交流：拓撲思想如何改變我們理解問題的方式？它在眾領(lǐng)域的研究或?qū)嵺`中可能扮演怎樣的角色？哪些尚未被充分開墾的領(lǐng)域在召喚拓撲視角的洞見與探索？這一討論既幫助大家對消化和內(nèi)化課程的整體內(nèi)容，也能使思想可以真正開始繼續(xù)“生長”。

課程大綱

• 拓撲學方法論回顧：從幾何直覺到抽象思維

• 概念地圖：點—集—空間—變形

• 拓撲學各分支簡介

• 系統(tǒng)科學視角：整體性、聯(lián)系性與結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性

• 實例討論：量子拓撲中的體-邊關(guān)系如何推廣到系統(tǒng)科學

• 總結(jié)與討論

• 進階方向與學術(shù)資源推薦

關(guān)鍵詞

拓撲、點集拓撲、代數(shù)拓撲、微分拓撲、幾何拓撲、量子拓撲、思維方式、方法論、數(shù)學物理、屬性論、系統(tǒng)科學、范疇論、抽象與直觀（具象）、科學技術(shù)體系、科學統(tǒng)一性、邊界、全息、動力學、思維科學、形態(tài)發(fā)生。

課程信息

課程主題：形器有涯，玄理無疆——總結(jié)與拓展：從幾何直觀到系統(tǒng)思維

課程時間：1月25日（周日）下午16:00-18:00

課程形式：1、本場為線下特別課程：北京門頭溝集智谷（First青年電影中心）

2、騰訊會議（會議信息見群內(nèi)通知）；

3、集智俱樂部視頻號/b站同步直播；

4、集智學園網(wǎng)站錄播（3個工作日內(nèi)上線）

課程主講人

金威，北京大學基礎(chǔ)數(shù)學博士，博士后。主要研究方向為拓撲學和數(shù)學物理?，F(xiàn)從事人工智能的基礎(chǔ)理論和算法研發(fā)，并致力于數(shù)學和系統(tǒng)科學方面的教育/科研和科普活動?！痘玖Ｗ樱簲?shù)學、物理學和哲學》一書中文版譯者，《返樸》公眾號作者。研究興趣：屬性論和屬性數(shù)學、拓撲學和數(shù)學物理、系統(tǒng)科學和復雜網(wǎng)絡(luò)、中醫(yī)等。

課程適用對象

1. 理工科領(lǐng)域研究者及高年級學生：適合具備基礎(chǔ)數(shù)學背景（微積分、線性代數(shù)、復變函數(shù)、常微分方程）的理工科高年級本科生、研究生及科研人員。尤其適合關(guān)注復雜系統(tǒng)、非線性動力學、統(tǒng)計物理、信息科學等方向，或希望將數(shù)學思想應(yīng)用于物理、工程、生命與智能/認知系統(tǒng)的學習者。

2. 喜愛探索和創(chuàng)新學習者：面向?qū)Τ橄笏季S、系統(tǒng)建模與跨學科分析有興趣的學生與研究者。鼓勵具備問題意識、善于邏輯推理與思維開放的學習者，通過拓撲學培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化與整體化的科學思維。

報名須知

1. 第一步：微信掃碼填寫報名信息。

https://campus.swarma.org/course/5647?from=wechat

可開發(fā)票

第二步：填寫信息后，付費報名。如需用支付寶支付，請在PC端進入課程頁面報名支付：https://campus.swarma.org/course/5647

第三步：添加運營負責人微信，拉入對應(yīng)主題的課程交流群（微信群）。

PS：為確保專業(yè)性和討論的聚焦，本社區(qū)謝絕脫離課程主題和理論生態(tài)學問題本身的空泛的哲學和思辨式討論；如果出現(xiàn)討論內(nèi)容不符合要求、經(jīng)提醒無效者，會被移除群聊并對未參與部分退費

線下參會方式

線下地點：北京門頭溝集智谷（First青年電影中心）

時間：2026年1月25日（周日）下午16:00-18:00

參與方式：活動參與說明與邀請

一、報名與費用

付費報名課程學員：線上線下均可參與

非課程學員：歡迎掃描下面二維碼，公開報名參與線下活動

二、集智VIP專屬禮遇

為感謝VIP會員的支持，我們已為您預留前排VIP專座與集智手沖咖啡一杯，恭候您的光臨。

（掃碼報名參加線下活動）

課程群內(nèi)討論交流

拓撲學課程：從空間直覺到系統(tǒng)科學

你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數(shù)學上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統(tǒng)中會出現(xiàn)周期軌、可約化結(jié)構(gòu)和“奇怪吸引子”模式？為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、量子物理甚至心理結(jié)構(gòu)，都可以從“拓撲”角度理解？

拓撲學不僅是數(shù)學的抽象分支，更提供了系統(tǒng)的思維方式，讓我們理解連續(xù)性、結(jié)構(gòu)不變性乃至復雜系統(tǒng)的整體規(guī)律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結(jié)，從量子場論到思維科學與腦科學，拓撲學思想正在各學科中普遍而深刻地重塑著我們的認知方式。

集智學園聯(lián)合北京大學博士金威老師開設(shè)，課程于11月23日開啟，歡迎感興趣的讀者加入。

詳情請見：