如何協(xié)調(diào)現(xiàn)代物理學的兩大基礎理論——量子力學和廣義相對論之間的矛盾，成為物理學理論研究面臨的最根本問題。

撰文 | 馬永革（北京師范大學物理與天文學院）

20 世紀初，廣義相對論的創(chuàng)立使人類對自然的認識達到了前所未有的高度，而它與同時代另一個革命性的物理學理論——量子力學的矛盾性也日益突出。量子引力的探索正是要協(xié)調(diào)這兩個基本理論之間的矛盾，為物理學大廈建立自洽且牢固的理論基礎，是物理學基礎理論研究的重中之重。從高維時空中弦的振動到時空的原子，人類理智為揭開量子引力的神秘面紗正展現(xiàn)出非凡的智慧和勇氣。

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當代物理學基礎的矛盾性

1.1 廣義相對論是人類智慧的綜合

當今人類社會所取得的一切科技成就，從手機、電腦到核電、衛(wèi)星，無不建立在物理學精確規(guī)律的基礎之上。牛頓于1687 年完成的著作《自然哲學的數(shù)學原理》成功地綜合并發(fā)展了伽利略和開普勒等人的成果，首次提出了普遍適用于天上的天體和地上的萬物的精確的數(shù)學規(guī)律。從此，現(xiàn)代物理學開始在人類歷史上粉墨登場。經(jīng)過兩百多年的發(fā)展，牛頓力學體系已相當完善并成為自然科學理論的典范。然而，20 世紀伊始，愛因斯坦敏銳地意識到牛頓力學中的伽利略相對性原理與電動力學的矛盾性，他于1905 年發(fā)表的論文《論動體的電動力學》顛覆了牛頓的時空觀，首次將時間和空間理解為一個第一性的概念——“時空”相對于觀察者的表現(xiàn)，成功地協(xié)調(diào)了牛頓力學和電動力學的基本觀念，建立起具有龐加萊對稱性的時空結構。緊接著，愛因斯坦直面狹義相對論與牛頓萬有引力理論的矛盾性，基于引力的普適性，將所謂的萬有引力理解為時空幾何的彎曲效應，以1915 年愛因斯坦方程的提出為標志，創(chuàng)立了徹底改變?nèi)祟悓r空和物理學認識的廣義相對論。從牛頓力學到廣義相對論的發(fā)展歷程不難看出，物理學的每一次進步都是一次人類智慧的綜合。

1.2 神奇的量子物理學

如果說廣義相對論的誕生有著清晰的邏輯思維線條，20 世紀的另一個革命性的基本物理理論——量子力學的創(chuàng)立則更多地依賴于對與微觀世界相關的實驗分析。當物理學家試圖用經(jīng)典物理學去理解與電磁場輻射和吸收相關的現(xiàn)象時發(fā)現(xiàn)，微觀的能量具有奇怪的分立性，1905 年愛因斯坦借助普朗克公式明確提出了光子的概念；玻爾進一步將分立能量的設想推廣到原子中的電子，很好地理解了原子的穩(wěn)定性和光譜特性。不僅如此，微觀領域的實驗顯示，微觀粒子僅在與其他物體相互作用時才顯現(xiàn)得像一個粒子，而在自由狀態(tài)中更像是一個波。海森堡和薛定諤以各自不同的方式找到了這種波粒二相體在牛頓時空背景中的不同表象下的演化方程，以此為基礎，狄拉克給出了量子力學的完整理論形式與框架。量子力學的物理可觀測量是量子態(tài)空間上的算符，理論計算只能給出一個物理量在測量時可以取各個可能值 (算符的譜) 的概率而不是某個確定的值。粒子和場的概念能夠很好地融合在量子理論中，基本粒子都可以看作場的量子化。將狹義相對論的時空結構與量子力學相融合，作為粒子物理學基礎的量子場論被成功地建立起來，電磁相互作用、弱相互作用和強相互作用都可以在量子場論中得到很好的描述。

1.3 物理學理論基礎中的問題和矛盾

廣義相對論使得我們對引力和時空的認識發(fā)生了革命性的改變，其理論預言被越來越多的實驗觀測所證實，已成為現(xiàn)代天體物理和宇宙學的理論基礎。但它仍是一個經(jīng)典的理論，時空幾何是一個可以彎曲的連續(xù)體，對物理量測量值的預言是確定性的而非概率性的。這顯然與描述基本粒子的量子力學或量子場論的分立性和不確定性格格不入。兩個基本理論的矛盾集中體現(xiàn)在著名的愛因斯坦方程中，方程的左邊是反映時空幾何彎曲情況的愛因斯坦張量，右邊則是描述物質(zhì)場的能量、動量、應力性質(zhì)的能動張量；由于時空幾何用經(jīng)典理論描述，愛因斯坦張量有確定的觀測值，而物質(zhì)場的本質(zhì)要由量子理論描述，其能動張量應該是算符取值的張量，相應的觀測值應該是概率性的；顯然，確定性的值無法與概率性的值保持相等。解決這一矛盾的最直接方法就是把時空幾何量子化。

由于量子力學的效應通常只在微觀小尺度下表現(xiàn)出來，而廣義相對論一般研究大尺度的時空結構，這兩個基本理論目前仍可以各自獨立地發(fā)展。在廣義相對論這邊，彭羅斯和霍金在20 世紀60 年代證明了奇性定理，表明在物理上合理的條件下廣義相對論的時空無法避免曲率為無窮大的奇點的出現(xiàn)，例如，愛因斯坦方程的宇宙解和黑洞解都會出現(xiàn)奇點。奇點的出現(xiàn)強烈暗示著廣義相對論無法適用于曲率趨近于無窮大的區(qū)域，在這樣一個極小尺度的高能區(qū)域很有可能需要引入量子理論的描述來克服經(jīng)典理論的奇點。在量子場論這邊，由于各種能量尺度的量子漲落都會對物理過程有貢獻，對物理觀測量的直接計算往往都會給出無窮大的結果，對電磁、弱和強相互作用等理論，場論學家可以通過所謂重整化的方法消除理論中的這種奇性。然而，重整化作法的理由尚不清楚，也被稱為“將臟東西掃到地毯下面了”。假如空間在微觀尺度有量子性，具有像原子一樣最小的單元，它所引入的最小截斷將可能為重整化提供依據(jù)?？梢?，廣義相對論和量子場論各自的問題以及兩者之間的矛盾性都強烈地暗示著，當代物理學需要一個量子引力或量子時空的基本理論使自身成為一個自洽的完整的邏輯體系。

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量子引力的不同途徑

如何協(xié)調(diào)現(xiàn)代物理學的兩大基礎理論——量子力學和廣義相對論之間的矛盾，成為物理學理論研究面臨的最根本問題?；仡櫸锢韺W的發(fā)展史，那些革命性的重大進展常常就是在協(xié)調(diào)不同理論和觀念之間矛盾的過程中產(chǎn)生的，前面提到的狹義相對論和廣義相對論的創(chuàng)立皆是如此。通過創(chuàng)建量子引力理論為物理學提供自洽且牢固的理論基礎是很多理論物理學家心目中的圣杯！20 世紀初那兩場物理學革命的成功鼓舞著他們信心滿滿地迎接這一新的世紀性挑戰(zhàn)。然而，探索量子引力的征程遠沒有人們最初想象的那么順利，經(jīng)過近一個世紀艱苦的努力，人類仍然沒能從上帝手中接過量子引力的圣杯。在這條漫漫的探索之路上，各種或驚艷或深邃的思想和方法不斷涌現(xiàn)，這些智慧的火花或許已為我們照亮了前行的道路，為探索中的勇士們指引著方向。從研究思路和方法的角度看，當前量子引力的研究大體可以分為兩個主要方向，我們滄海拾貝，在這兩個方向中挑幾個代表性途徑，談談其中的思想、進展和問題。

2.1 將引力作為相互作用量子化

人們常說自然界有四種基本相互作用，即引力、電磁力、弱力和強力。后三種相互作用都已經(jīng)在量子場論的框架下實現(xiàn)了量子化，量子場論以及建立在其基礎上的粒子物理標準模型的成功鼓舞著研究者們首先嘗試將量子場論的方法應用到引力相互作用的量子化。量子場論的一個核心思想就是將狹義相對論提供的具有龐加萊對稱性的平直的時空結構作為量子場賴以存在的真空背景，量子場或各種基本粒子則是在具有這種對稱性的真空上的各種量子漲落或場振動模式，基本粒子之間通過交換玻色子而發(fā)生相互作用。而在廣義相對論中，引力是時空幾何的彎曲，描述時空幾何的度規(guī)場是一個動力學變量，一般情況下并不是量子場論真空所對應的平直度規(guī)場。因此，將量子場論的方法應用于廣義相對論首先要解決的問題就是如何定義真空背景，微擾量子引力的做法就是將動力學度規(guī)場看成平直度規(guī)場加上擾動度規(guī)場，將擾動度規(guī)場在平直真空背景上做量子化。這種做法可以給出傳播引力相互作用的自旋為2 的引力子，但理論計算中出現(xiàn)的無窮大無法通過重整化消除，也就是說這是一個不可重整化的理論，不可重整化的問題成為應用量子場論于引力的最大障礙。

科學研究中的障礙也可能是一個轉機，為了在量子場論框架下避免引力不可重整化的問題，各種量子引力方案相繼涌現(xiàn)。例如：一個特定的場論在不同能量尺度下可以展現(xiàn)不同的性質(zhì)，漸近安全引力理論試圖放棄微擾可重整化的要求，轉而通過重整化群變換或能量尺度變換在理論空間中找到引力不發(fā)散的不動點，該想法最先由美國學者Weinberg于1979 年提出，從德國學者Reuter 在1996 年的工作開始這個方案逐步取得了一些研究進展，被看作是對引力的非微擾可重整性的研究。對引力理論的修改也可能導致可重整性，1997 年德國學者Wetterich 發(fā)現(xiàn)非局域的有效作用量可以克服歐氏愛因斯坦引力作用量的無界性問題，這個問題曾阻礙了對愛因斯坦引力的歐氏路徑積分量子化的研究，非局域作用量的引入激發(fā)了對非局域引力理論的研究，該方案試圖通過放棄引力作用的局域性和微觀因果結構來得到可重整化的微擾量子引力。還有一種對引力理論的修改方式是放棄時空為第一性的觀念，2009 年美國學者Horava 提出了Horava-Lifshitz 引力理論，試圖通過放棄時空協(xié)變性，即假設在高能的情況下引力不能表現(xiàn)為一個時空度規(guī)，從而實現(xiàn)可重整化的微擾量子引力。這些量子引力的研究方案都沒有超出量子場論的框架，目前仍在探索之中。

另外一個超出量子場論框架而影響最大的研究方案是超弦理論，它起源于意大利學者Veneziano對基本粒子相互作用的研究。該理論的基本設想如下：所謂基本粒子不是空間中的點狀粒子，而是一維弦的振動，以弦的不同類型和不同振動模式統(tǒng)一描述包括引力子在內(nèi)的不同基本粒子。研究發(fā)現(xiàn)，理論的自洽性要求時空具有10 個維度，而且理論具有將費米子和玻色子聯(lián)系起來的超對稱性。一般認為，時空超出四維的額外維度卷曲在極小的尺度下，基本粒子的線狀而非點狀結構為場論中發(fā)散問題提供了自然的解決方案，使得弦理論計算中微擾展開的各項都是不發(fā)散的。由于這些美妙且簡單有效的理論設定，該理論一度被認為是最有希望量子化引力并統(tǒng)一四種基本相互作用的終極方案，被稱為“萬物理論”。然而，弦的不同振動模式所預言的基本粒子數(shù)量遠超過標準模型中基本粒子的數(shù)量，在能量越來越高的粒子物理實驗中并沒有發(fā)現(xiàn)這些額外的基本粒子；而且，弦理論所要求的超對稱性也沒有在實驗中發(fā)現(xiàn)。盡管可以通過調(diào)節(jié)弦理論的基本參數(shù)使得超對稱和額外粒子出現(xiàn)的能標變得高于實驗能達到的能標，但理論的實驗可檢驗性已受到質(zhì)疑。從理論自身的發(fā)展看，弦論學家發(fā)現(xiàn)，10 維時空中可以有五種自洽的超弦理論，種種跡象表明，這五種理論之間存在廣泛的對偶關系，它們和11 維的超引力理論很可能可以看作某個更基本的11 維的M理論的不同極限情況 (見圖1)，尋找M理論的表達形式成為超弦理論研究的一個非常重要而困難的課題。超弦理論的對偶關系還預示著各種維度的膜也可以和弦一樣是基本客體，從而引發(fā)關于膜世界的廣泛討論。由于時空額外維卷曲在小尺度下的可能方式極多，不同方式對四維時空中的物理有不同的影響，這使得可能的自洽理論的空間極大，難以從理論上找到最優(yōu)研究路線。盡管超弦理論的進一步發(fā)展面臨著一定的困難，該理論研究中出現(xiàn)的一些新的觀念和方法已經(jīng)在數(shù)學和物理中產(chǎn)生了深遠的影響。例如，額外維緊致化的觀念激發(fā)了數(shù)學上對卡拉比-丘流形的研究，反德西特-共形場論對偶的發(fā)現(xiàn)激發(fā)了對引力全息性質(zhì)的探討等。

圖1各種超弦理論之間的對偶及背后的M理論

2.2 將引力作為時空幾何量子化

廣義相對論的核心思想在于引力的本質(zhì)是時空幾何，從這個觀點看，引力與其他三種基本相互作用有本質(zhì)的區(qū)別，它不再是通常意義的相互作用力。因此，將適于描述三種基本相互作用的量子場論的微擾方法應用于引力的量子化缺少觀念上的基礎，將引力作為相互作用力做量子化的思路是值得商榷的。更重要的是，廣義相對論帶來物理學思維觀念上的革命是深刻的，由于描述時空幾何的度規(guī)場成為動力學變量，物理學擺脫了自牛頓力學以來一直遵循的絕對時間、絕對空間和絕對時空的觀念，即這些絕對的對象可以影響物質(zhì)的運動，而物質(zhì)的存在或運動卻不能影響這些絕對的對象，這顯然是不合理的。廣義相對論在觀念上的革命使得物理學定律中能夠對物理變量產(chǎn)生實質(zhì)影響的對象本身也必須是動力學變量，物理學定律在這個意義上真正建立在了邏輯合理的基礎之上，這正是廣義協(xié)變性原理的實質(zhì)內(nèi)涵。而微擾量子引力的做法恰恰是退回到絕對真空(時空)背景的觀念中，難以反映廣義相對論的核心思想。因此，微擾量子引力不可重整化的困境不是說明廣義相對論不可以量子化，而是說明丟棄了廣義相對論的核心觀念的量子化做法是行不通的。將廣義相對論的思想與量子力學的思想相融合的直接方式就是將引力作為時空幾何量子化。

1967 年美國學者德維特首先嘗試以度規(guī)場為動力學變量將廣義相對論做正則量子化，從幾何動力學形式出發(fā)，將反映廣義相對論的動力學的哈密頓約束寫成了算符的形式，被稱作正則量子引力的惠勒-德維特方程。然而，惠勒-德維特算符能否在某個量子態(tài)空間上良好定義、如何得到量子約束方程的解等難題一直困擾著該量子引力方案。從1986 年開始美國學者Ashtekar 等人提出了廣義相對論的聯(lián)絡動力學理論，聯(lián)絡能夠將空間彎曲對不同點之間的物理量的影響表達為空間局域轉動對稱性群的某個群元，即聯(lián)絡沿著不同點之間的連線的積分所給出的和樂。意大利學者Rovelli 和美國學者Smolin 隨即將規(guī)范場論中的威爾遜圈態(tài)——閉合的和樂作為正則量子引力的量子態(tài)空間的基本組元，成為圈量子引力理論的出發(fā)點。該理論中，非局域的和樂是比局域定義的度規(guī)更為基本的觀念，巧妙地融合了引力的非局域特征和背景不依賴性，使規(guī)范場的基本概念與廣義相對論的基本概念得以有機結合。通過和樂及其共軛變量可以將哈密頓約束定義為一個自然得到的量子態(tài)空間上的算符，并使得構建量子約束方程的解成為可能。通過不依賴于背景空間的正則量子化過程，空間幾何的量子化得以實現(xiàn)，面積和體積等幾何量成為量子態(tài)空間良好定義的算符，研究表明，它們在微觀尺度下的測量值只能是離散的、概率分布的，而不是像經(jīng)典幾何那樣連續(xù)的、確定性的。幾何的量子態(tài)表現(xiàn)為由一維的量子面積流線組成的類纖維聚合物形態(tài)，稱為自旋網(wǎng)絡態(tài)，多條流線的共同交點含有量子體積的信息 (如圖2)。量子物質(zhì)場則可以定義在自旋網(wǎng)絡上，幾何的離散結構和協(xié)變性的要求能夠有效地消除量子場論計算中出現(xiàn)的無窮大。在理論的一些對稱約化模型的研究中，圈量子引力學家驚奇地發(fā)現(xiàn)，宇宙大爆炸之初的奇點可以在圈量子宇宙學中被量子反彈所避免，黑洞內(nèi)部的奇點在球對稱圈量子黑洞模型中也可以被黑洞到白洞的轉換所消除。這些研究進展使人們看到了解決廣義相對論和量子場論中的核心問題的曙光。以圈量子引力的正則理論為基礎，烏拉圭學者Reisenberger 首先提出了其初步的路徑積分形式，后逐漸發(fā)展成為成熟的自旋泡沫理論，時間和空間在路徑積分表達式中具有明顯協(xié)變的形式，時空邊界量子態(tài)之間的躍遷幾率可以借助時空三角剖分巧妙地進行計算，并與正則理論的相關結果進行比較和印證。自旋泡沫理論的一個重要結果是在特定模型的半經(jīng)典極限下得到了廣義相對論的離散路徑積分形式。盡管圈量子引力仍面臨著在一般情況下如何進行低能近似計算和確定哈密頓約束算符的最終形式等難題，經(jīng)過近三十年的發(fā)展，該理論已成為這個方向上最具代表性且影響最大的引力量子化方案。除了廣義相對論，該方案同樣適用于f(R)修改引力、標量-張量引力、超引力和高維引力等理論。

圖2自旋網(wǎng)絡態(tài)的量子幾何意義

由于聯(lián)絡的和樂成為基本變量，自旋泡沫模型中配分函數(shù)的計算表現(xiàn)為群流形上的積分，De Pietri,Freidel, Krasnov, Rovelli 等人在1999 年的研究工作激發(fā)了一個新的量子引力研究方案——群場論，即將量子引力的路徑積分定義在空間或時空局域轉動對稱性群的流形上，并借鑒圈量子引力的結果，將時空三角剖分的4-單形理解為量子時空幾何的最小單元。該方案可以將場論路徑積分的一些方法應用過來，為量子幾何路徑積分的微擾計算提供了有力的工具。時空幾何的一個要素是因果結構，獨立于圈量子引力理論，1987 年Bombelli,Lee, Meyer, Sorkin 等人提出了另一種將時空幾何量子化的方案——因果集理論，該理論將因果結構看作是比時空度規(guī)更加基本的對象，假定時空的微觀最小單元具有特定的因果結構，時空的大尺度結構則來自這些微觀因果結構的累積效果。時空幾何的概念中除了度規(guī)場還有時空流形，坐標是流形上不可或缺的要素，1994 年法國學者Connes將量子力學算符的非對易性應用于時空流形的坐標，提出了非對易幾何，試圖將時空幾何建立在坐標算符的譜空間上。這些大膽且新穎的想法都是試圖對時空幾何作某種量子化，構成了仍在探索之中的不同的時空量子化方案。

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總結和展望

通過前面的介紹我們看到，廣義相對論和量子力學(或量子場論)各自內(nèi)在的問題以及兩者之間的矛盾性是當代物理學基礎理論面臨的最根本問題，物理學們正試圖通過創(chuàng)建一個自洽的量子引力理論來解決這些基本問題。量子引力的探索在研究思路上大體分為兩個方向，將引力作為相互作用量子化這個方向的研究更多地繼承了量子場論的思想，而將引力作為時空幾何量子化這個方向的研究則更多地繼承了廣義相對論的思想。盡管還沒有取得最后的成功，但這兩個方向的研究都取得了顯著的進展。

超弦理論是將引力作為相互作用量子化這個方向上最具代表性的理論，其以一維弦代替空間中的點狀粒子、時空額外維度、超對稱等新觀點極大地拓寬了研究者們的思路，該理論研究中涌現(xiàn)出的對偶、全息等思想和方法已延伸到物理學理論研究的很多方面。將引力作為時空幾何量子化這個方向上最具代表性的理論是圈量子引力，其空間點之間的關系更為基本、量子面積、量子體積等概念使研究者們體會到量子幾何的獨特性質(zhì)，該理論的模型研究中出現(xiàn)的量子反彈、黑洞到白洞的轉換等現(xiàn)象極大地修正了經(jīng)典廣義相對論對宇宙起源和時空結構的理解。有一個值得注意的有趣現(xiàn)象，在這兩個思路完全不同的量子引力方案中，空間中一維的弦或線都不約而同地成為了最基本的對象。這種殊途同歸是否意味著這個本質(zhì)性的量子客體的真實存在性有待于研究者們?nèi)ミM一步揭示。

毫無疑問，探索者們?yōu)槲锢韺W創(chuàng)建一個自洽的完整的基本邏輯體系的努力仍將繼續(xù)下去。人類既是大自然的產(chǎn)物也是大自然的畫師，物理學的發(fā)展史不斷地印證著人類智慧與自然的和諧，對量子引力的不懈探索必將揭開自然迄今最為神秘的面紗，譜寫人類認識和思想變革的新篇章。

本文經(jīng)授權轉載自微信公眾號“現(xiàn)代物理知識雜志”，原標題“量子引力之探索”，編輯：YWA。

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