方法比結(jié)果更重要

七年級數(shù)學(xué)操作“穩(wěn)定狀態(tài)”

剛剛從小學(xué)步入初中，很多學(xué)習(xí)習(xí)慣需要進(jìn)行調(diào)整，方法要修改，小學(xué)階段允許不求甚解，初中可不行，知其然，更要知其所以然，學(xué)生在面對數(shù)學(xué)操作類活動的時候，經(jīng)驗很重要，但歸納經(jīng)驗，形成數(shù)學(xué)思維更重要，我們追求的不僅是一個結(jié)果，更要學(xué)會數(shù)學(xué)方法。

題目

現(xiàn)有四個正整數(shù)分布在正方形上，規(guī)定一次操作為：將相鄰的兩個數(shù)作差再取絕對值，圖1是小歡兩次操作的示意圖：

(1)圖2是兩次操作的過程，請將空缺的數(shù)補(bǔ)全：

(2)在經(jīng)過若干次操作后，如果這4個整數(shù)最終都變?yōu)?，我們就稱其進(jìn)入了“穩(wěn)定狀態(tài)”，請將2，4，6，8以某種順序排列在圖3所示的正方形上，通過若干次操作，使其進(jìn)入“穩(wěn)定狀態(tài)”，請畫圖呈現(xiàn)操作次數(shù)最少的過程；

(3)1，2，4，m這4個正整數(shù)以如圖4的方式排列在正方形上，如果通過三次操作進(jìn)入“穩(wěn)定狀態(tài)”，請直接寫出所有滿足條件的m值.

解析：

01

(1)先理解每一步操作所需要的數(shù)學(xué)運(yùn)算，如下圖：

所以這個小題就很簡單了，結(jié)果如下：

02

(2)理解“穩(wěn)定狀態(tài)”，我們借助上題的操作，繼續(xù)下去，如下圖：

會發(fā)現(xiàn)在上個小題中，經(jīng)過3次操作，結(jié)果就是“穩(wěn)定狀態(tài)”，這需要我們研究一下，怎樣才會進(jìn)入“穩(wěn)定狀態(tài)”，從倒數(shù)第二次操作的結(jié)果來看，正方形周圍的4個數(shù)相等；從倒數(shù)第三次操作結(jié)果來看，相鄰兩個數(shù)的差相等；

有了以上操作活動經(jīng)驗，再來看第2小題，2，4，6，8這四個數(shù)，每相鄰兩個數(shù)相差2，但要注意最小數(shù)和最大數(shù)之間相差為6，如果按順序排列，我們可以嘗試下，看行不行，如下圖：

總共進(jìn)行了5次操作，經(jīng)驗告訴我們，這并不是次數(shù)最少的操作，原因在于按這四個數(shù)大小順序排列，會出現(xiàn)一個較大的差值，即2和8之間，而“穩(wěn)定狀態(tài)”要求相鄰兩個數(shù)的差盡可能相等，這樣才能保證最后兩次操作后進(jìn)入“穩(wěn)定狀態(tài)”，從穩(wěn)定兩個字也能發(fā)現(xiàn)，需要穩(wěn)定，不要出現(xiàn)過大的差值，基于這個認(rèn)知，我們調(diào)整這四個數(shù)在正方形邊上的位置，如下圖：

將2和8分別旋轉(zhuǎn)在正方形的對邊上，即可保證相鄰兩數(shù)差的絕對值盡可能接近，于是后兩次操作就進(jìn)入了“穩(wěn)定狀態(tài)”；

03

(3)不妨按操作進(jìn)行，只不過結(jié)果用含m的代數(shù)式表示，如下圖：

觀察第1次操作后的結(jié)果，已知2和3作差的絕對值是1，則我們需要讓3和|1-m|作差的絕對值結(jié)果也是1，2和|2-m|作差的絕對值結(jié)果也是1，而|1-m|和|2-m|作差的絕對值結(jié)果是1；

因此可得|1-m|=2,|2-m|=3，又由于m是正整數(shù)，所以分別求出m=3或5.

解題思考

學(xué)生在解這道題的時候，我留意觀察了他們的草稿紙，幾乎都在進(jìn)行窮舉，因為在第2小題過程中，他們先嘗試過按順序，再調(diào)整之后成功得到了結(jié)果，所以在第3小題時，他們也打算用同樣的方式，去蒙下運(yùn)氣，有幾個運(yùn)氣不錯的恰好得到了結(jié)果，運(yùn)氣不佳的則還在換數(shù)嘗試中；

這并不是我想要的數(shù)學(xué)活動，挨個試，這種很笨的方式下，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是得不到鍛煉的，必須引導(dǎo)他們?nèi)ふ移渲械囊?guī)律，所以在第2小題結(jié)束之后，不急著進(jìn)入第3小題的操作，而是復(fù)盤，為什么2，4，6，8這幾個數(shù)要這樣排列？在經(jīng)過數(shù)分鐘的討論之后，學(xué)生得到了那兩條關(guān)鍵經(jīng)驗，再進(jìn)入到第3小題，用字母來表示結(jié)果之后，整個操作才有了數(shù)學(xué)味道。

七年級數(shù)學(xué)操作中，作為教師，應(yīng)該多觀察學(xué)生的操作過程，結(jié)果不重要，怎樣得到的很重要，如果僅以結(jié)果導(dǎo)向數(shù)學(xué)活動，容易讓學(xué)生生成錯誤的經(jīng)驗，這種經(jīng)驗嚴(yán)重依賴試題匹配度，一旦題目條件不太像，或者圖形位置換了，學(xué)生立刻抓瞎，而教師如果不專業(yè)，試圖以大量類似題型進(jìn)行所謂變式訓(xùn)練，會更加重這些錯誤經(jīng)驗的積累，長久下去，就會出現(xiàn)我們經(jīng)常見到的現(xiàn)象“一講就會，一做就錯”，為什么？因為學(xué)生始終沒有掌握方法，只是記住了結(jié)果，然后用結(jié)果去碰死耗子。

數(shù)學(xué)操作，重在操作，重在過程，不要只看重結(jié)果。